利用Noether法構(gòu)造KP方程新的守恒律

陳曉艷

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 陜西 西安 710127)

0 引言

偏微分方程的守恒律是物理守恒量定義在數(shù)學(xué)上的推廣,對(duì)研究非線性發(fā)展方程的線性化與可積性都有重要的應(yīng)用,因此出現(xiàn)了很多種求偏微分方程守恒律的方法.其中Noether法[1,2]是一個(gè)方便快捷的方法,對(duì)于Euler-Lagrange方程,Noether定理給出了由拉格朗日函數(shù)伴隨的Noether對(duì)稱對(duì)應(yīng)的守恒律可以用一個(gè)精確的公式表示[3].近年來,文獻(xiàn)[4-6]運(yùn)用Noether法成功的求解了(1+1)維的非線性擾動(dòng)波動(dòng)方程,非線性Schrodinger方程,組合KdV方程的守恒律.

KP方程

(ut+uxxx-6uux)x+3uyy=0

(1)

最早出現(xiàn)在二維流體運(yùn)動(dòng)的研究中,是KdV方程向空間二維的自然推廣.它在物理學(xué)的許多分支如等離子體物理、場(chǎng)論等中有著非常廣泛的應(yīng)用,常用來描述二維小振幅弱色散波,如二維淺水波、未磁化等離子體聲波等[7-9].并且該方程所具有的對(duì)稱性是無窮維的對(duì)稱Lie群,其代數(shù)結(jié)構(gòu)具有圈(Loop)代數(shù)性質(zhì),它與共形場(chǎng)論和弦理論中有廣泛應(yīng)用的Kac Moody代數(shù)和Virasoro代數(shù)具有密切的聯(lián)系.髙維的實(shí)際物理模型往往是不可積的,而KP方程是少數(shù)幾個(gè)高維的完全可積模型之一.因此對(duì)它的不斷深入研究將有利于物理實(shí)際問題的解決.文獻(xiàn)[10,11]求出了KP方程的精確解,文獻(xiàn)[12]研究了KP方程的對(duì)稱,2011年,文獻(xiàn)[13]利用KP方程的Kac-Moody-Virasoro代數(shù)(KMVA)構(gòu)造了其守恒律.

本文是在以往文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,利用Noether法再次研究了KP方程的守恒律的構(gòu)造,得到了方程允許的拉格朗日函數(shù)伴隨的Noether對(duì)稱,以及不同于以前文獻(xiàn)的新的守恒向量和守恒律,這對(duì)于我們了解KP方程的性質(zhì)和解的穩(wěn)定性都具有重要的意義.

1 基本理論

本節(jié)將給出Euler算子,Lie-B?cklund對(duì)稱算子,Noether算子,拉格朗日函數(shù)及守恒律等基本定義.

對(duì)p階具有n個(gè)自變量x=(x1,x2,…,xn) 及一個(gè)因變量u的偏微分方程

E(x,u,u(1),…,u(p))=0

(2)

u關(guān)于xi(i=1,2,…,n)的導(dǎo)數(shù)為

ui=Di(u),uij=DjDi(u),…

定義1[1,2]Euler算子的定義

(3)

定義2[1,2]Lie-B?cklund對(duì)稱算子為

(4)

其中ζi1i2…is的定義為:

ζi=Di(η)-ujDi(ξj)

ζi1i2…is=Dis(ζi1i2…is-1)-uji1…is-1Dis(ξj)

將Lie-B?cklund對(duì)稱算子寫成特征函數(shù)的形式為:

(5)

其中ω=η-ξjuj是Lie特征函數(shù).

定義3[1,2]Lie-B?cklund對(duì)稱算子伴隨的Noether算子的定義如下:

i=1,…,n

(6)

定義4[1,2]對(duì)于方程(2),若存在函數(shù)G(x,u,u(1),…,u(r)) ∈Λ,r≤p,使得方程(2)等價(jià)

(7)

則稱G為方程(2)的拉格朗日函數(shù),稱(7)式為對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange微分方程.

定義5[1,2]一個(gè)向量T=(T1,…,Tn),Ti∈Λ,i=1,2,…,n使得

DiTi=0

(8)

對(duì)于方程(2)的所有解成立,則(8)式稱為方程(2)的局部守恒律.

兩類平凡守恒律包括:第一類是方程DiTi=0中的向量T=(T1,…,Tn)本身是0;第二類是對(duì)于任意函數(shù)的散度形式DiTi=0均成立.

定理1[1,2,5]對(duì)于Lie-B?cklund對(duì)稱算子(4),若存在向量B=(B1,B2,…,Bn),使得

Y(G)+GDi(ξi)=Di(Bi)

(9)

成立,則Lie-B?cklund對(duì)稱算子是一個(gè)Noether對(duì)稱算子且伴隨有(7)的Lagrange函數(shù).

2 構(gòu)造KP方程的守恒向量和守恒律

方程(2)允許的拉格朗日函數(shù)為

(10)

則Euler-Lagrange方程為

(11)

對(duì)應(yīng)于拉格朗日函數(shù)L的Noether對(duì)稱算子Y的決定方程為

Y(L)+LDi(ξi)=Di(Bi)

(12)

其中:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

將(10)(13)式代入(12)式有:

(18)

再將(14)～(17)式代入(18)式后,展開并分離u的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),可得到以下的方程組:

解上述方程組得到:

ξ1=c1x+c2y+c3t+c4,ξ2=c5y+c6t+c7,

ξ3=c8t+c9

B2=-3c10u+f(x,y,t)，

則由上面的結(jié)果可知方程(1)允許的拉格朗日函數(shù)伴隨的Noether對(duì)稱算子具有下面的一般表達(dá)形式:

即得到對(duì)應(yīng)的守恒向量為

+c9x+c10y+c11t+c12)uy

+c9x+c10y+c11t+c12)ux

因此方程(1)的守恒律為

DiTi|方程(1)=(DxT1+DyT2+DtT3)|方程(1)

+c9x+c10y+c11t+c12)uy)+

+c9x+c10y+c11t+c12)ux)=0

Noether法是一種簡(jiǎn)潔的構(gòu)造守恒律的方法,還可以應(yīng)用到其他非線性偏微分方程守恒律的構(gòu)造中,這為我們以后的研究工作提供了極大的方便.

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