四次C-Bézier曲線的拼接技術(shù)研究

龍艷婷

(西安技師學(xué)院 高壓電器系， 陜西 西安 710077)

0 引言

自由曲線曲面造型一直是CAGD(computer aided geometric design)中重要的研究內(nèi)容，先后經(jīng)歷了參數(shù)樣條、Coons曲面、Bézier和B樣條曲線曲面，直至NURBS，已經(jīng)取得了十分豐富的研究成果.然而，Bézier與B樣條方法雖能簡潔地描述自由曲線曲面，卻只能采用近似的方法處理工程中常用的二次曲線曲面；NURBS 方法可以用統(tǒng)一的形式表示自由曲線曲面與二次曲線曲面，但由于采用了有理的描述方式，使得它在造型設(shè)計中存在計算復(fù)雜等問題，且其權(quán)因子、參數(shù)化、曲線曲面連續(xù)性等問題至今也沒完全解決[1]， 從而使NURBS在工程曲線曲面中的應(yīng)用優(yōu)勢難以得到充分發(fā)揮.

由于生產(chǎn)實踐的需要，人們?nèi)圆粩嗟靥剿髦鞣N新曲線曲面的構(gòu)造方法.C-Bézier曲線作為一種較新穎的曲線構(gòu)造方法[2-4]，在保留傳統(tǒng)Bézier和有理Bézier曲線許多優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，能夠方便、精確地構(gòu)造二次曲線.與NURBS曲線相比，C-Bézier曲線具有算法簡單、存儲空間小、運(yùn)算速度快、參數(shù)選擇容易等特點(diǎn)，因此研究C-Bézier曲線的相關(guān)理論具有重要的理論和實際應(yīng)用價值[5, 6].

近年來，針對C-Bézier 曲線，人們進(jìn)行了大量的相關(guān)研究.如：文獻(xiàn)[5]研究了三次C-Bézier曲線的形狀修改問題，通過修改形狀參數(shù)和控制頂點(diǎn)分別給出了2種調(diào)整三次C-Bézier 曲線形狀的有效方法；文獻(xiàn)[6]給出了三次C-Bézier曲線的分割算法及G1拼接條件，極大地增強(qiáng)了該曲線表達(dá)復(fù)雜曲線的能力；文獻(xiàn)[7]則基于彈性均勻細(xì)梁的應(yīng)力能和擾動能的光順優(yōu)化，提出了一種三次C-Bézier曲線的光順逼近算法；為了進(jìn)一步增強(qiáng)三次C-Bézier曲線的形狀控制能力，文獻(xiàn)[8]對其進(jìn)行了形狀分析.上述的研究工作主要是針對三次C-Bézier曲線展開的，而對四次C-Bézier曲線[9]的相關(guān)理論與算法卻一直缺乏研究.

為此，本文基于文獻(xiàn)[9]中所提出的四次C-Bézier曲線的基本理論，給出了該曲線G1、G2和C1、C2光滑拼接的充要條件，以解決四次C-Bézier曲線造型中復(fù)雜曲線難以用單一曲線來表示的問題.

1 四次C-Bézier曲線的定義

定義1對任意的t∈[0,α],α∈[0,2π]，稱

(1)

為空間φ=span{sint,cost,t2,t,1}上的正規(guī)B基[9].式中，

u4(t)=t2-2cosC(t),

S=sinC(α)=α-sinα,

sinC(t)=t-sint,cosC(t)=1-cost,

Z3(t)=sinC(t)/S.

不難證明，式(1)中的正規(guī)B基具有與四次Bézier基函數(shù)類似的性質(zhì)，如好的端點(diǎn)性質(zhì)、權(quán)性、正性以及極限性質(zhì)等.

定義2給定5個控制頂點(diǎn)Pi∈Rn(n=2,3;i=0,1,…,4),對0≤t≤α，定義曲線：

(2)

稱式(2)所定義的曲線為四次C-Bézier曲線[9].式中，bi(t;α)(i=0,1,…,4)為式(1)所定義的正規(guī)B基，α∈[0,2π]為形狀控制參數(shù).顯然，當(dāng)參數(shù)α→0時，四次C-Bézier曲線逼近于四次Bézier曲線.圖1給出了一簇當(dāng)參數(shù)取不同值時的C-Bézier曲線，圖1中的曲線從上到下對應(yīng)的參數(shù)α依次取值為2,π,6,2π.

圖1 α取不同值的四次C-Bézier曲線

由式(1)和式(2)不難推出四次C-Bézier曲線具有凸包性、離散性質(zhì)、變差縮減性、幾何不變性以及如下端點(diǎn)性質(zhì)：

(3)

式中，

2 四次C-Bézier曲線的G1、C1光滑拼接

在實際應(yīng)用中，利用四次C-Bézier曲線進(jìn)行造型設(shè)計時，常會遇到復(fù)雜曲線的造型問題，而復(fù)雜的曲線往往又難以用單一的曲線來表示，因此要解決的一個關(guān)鍵問題是如何實現(xiàn)單一曲線間的光滑拼接，這是四次C-Bézier曲線能方便、靈活應(yīng)用于復(fù)雜曲線造型的關(guān)鍵.

為了討論方便，不妨假設(shè)待拼接的兩條四次C-Bézier曲線為P(t;α1)和Q(t;α2)，其控制頂點(diǎn)分別為Pi(i=0,1,…,4)和Qi(i=0,1,…,4).下面給出曲線P(t;α1)和Q(t;α2)間的拼接條件.

定理1相鄰四次C-Bézier曲線P(t;α1)和Q(t;α2)間G1光滑拼接的充要條件為

(4)

式中，λ>0為常數(shù).

證明為了使得曲線能達(dá)到G1連續(xù)，首先要求曲線P(t;α1)的末端和曲線Q(t;α2)的首端滿足位置連續(xù)(即G0連續(xù))， 從而有

P4=P(α1;α1)=Q(0;α2)=Q0

(5)

其次，還要滿足兩相鄰曲線在連接處切矢的方向相同，即

Q′(0;α2)=λP′(α1;α1),λ>0

(6)

根據(jù)四次C-Bézier曲線的端點(diǎn)性質(zhì)式(3)有

(7)

式中，

將式(7)代入到式(6)，再結(jié)合式(5)即可證明式(4)成立.

當(dāng)兩相鄰四次C-Bézier曲線滿足定理1中的條件時，曲線在公共點(diǎn)處達(dá)到了G1連續(xù)，其幾何意義表示為：當(dāng)兩條相鄰四次C-Bézier曲線拼接時，其控制頂點(diǎn)P3,P4(=Q0)和Q1必須共線、且有序排列.四次C-Bézier曲線的G1連續(xù)同三次Bézier曲線十分類似，且其幾何直觀性都很強(qiáng). 若將式(4) 中的λ值取為1，則可得如下定理.

定理2相鄰四次C-Bézier曲線P(t;α1)和Q(t;α2)間C1光滑拼接的充要條件為

(8)

顯然，兩條滿足C1連續(xù)的四次C-Bézier曲線在拼接點(diǎn)處的切矢是相等的.由式(4)和式(8)可知，除靠近拼接點(diǎn)處的2個控制頂點(diǎn)對曲線的G1和C1連續(xù)性有影響外，兩條曲線各自的形狀參數(shù)α1,α2對曲線的G1和C1連續(xù)性也具有靈活的調(diào)節(jié)作用.此外，在保持兩條四次C-Bézier曲線間G1或C1連續(xù)性不變的情況下，還可以通過修改形狀參數(shù)來靈活地調(diào)整曲線的形狀.

3 四次C-Bézier曲線的G2、C2拼接

兩相鄰曲線在拼接點(diǎn)處滿足G2連續(xù)的充要條件是[10]：(1) 滿足G1連續(xù)條件；(2) 兩曲線在拼接點(diǎn)處的曲率相等；(3) 兩曲線在拼接點(diǎn)處的副法向量方向相同.下面，利用這一充要條件來推導(dǎo)四次C-Bézier曲線G2、C2光滑拼接的條件.

定理3相鄰四次C-Bézier曲線P(t;α1)和Q(t;α2) 間G2光滑拼接的充要條件為

(9)

式中，

λ>0,d為任意常數(shù).

證明由條件(1)有

(10)

且P(t;α1)在t=α1處的副法向量D1和Q(t;α2)在t=0處的副法向量D2分別為

D1=P′(α1;α1)×P″(α1;α1)

D2=Q′(0;α2)×Q″(0;α2)

由式(10)和條件(3)可知：P′(α1;α1),P″(α1;α1), Q′(0;α2),Q″(0;α2) 4個向量共面，且由式(10)可得

P″(α1;α1)=cQ″(0;α2)+dQ′(0;α2)

式中，c>0,d為任意常數(shù).

再依據(jù)條件(2)可得

故有c=λ-2，從而有

P″(α1;α1)=λ-2Q″(0;α2)+dQ′(0;α2)

(11)

式中，λ>0,d為任意常數(shù).

根據(jù)曲線端點(diǎn)性質(zhì)式(3)有

(12)

最后將式(12)代入式(11)，再結(jié)合式(4)即可證得式(9)成立.

此外，在滿足式(8)的情況下，兩相鄰四次C-Bézier曲線要達(dá)到C2連續(xù)則還需滿足其二階導(dǎo)數(shù)相等，即P″(α1;α1)=Q″(0;α2)，再根據(jù)曲線的端點(diǎn)性質(zhì)即可得如下定理.

定理4相鄰四次C-Bézier曲線P(t;α1)和Q(t;α2)間C2光滑拼接的充要條件為

(13)

式中，K1,K2;L1,L2;R1,R2;W1,W2的取值如式(9)中所定義.

4 曲線拼接步驟與實例

4.1 曲線拼接的步驟

利用四次C-Bézier曲線優(yōu)良的形狀可調(diào)性及其該曲線的光滑拼接技術(shù)，可以方便設(shè)計各種造型復(fù)雜的組合曲線.由定理1中的結(jié)論可知，實現(xiàn)兩相鄰四次C-Bézier曲線P(t;α1)和Q(t;α2)間G1光滑拼接的基本步驟為：

Step1. 給定初始曲線P(t;α1)的形狀參數(shù)α1以及它的控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,…,4) ；

Step2. 令Q0=P4，使得曲線P(t;α1)和Q(t;α2)達(dá)到位置連續(xù)(即G0連續(xù))；

Step3. 自由給定參數(shù)α2和λ，再按照式(4)可計算出曲線Q(t;α2)的控制頂點(diǎn)Q1；

Step4. 最后自由給定曲線Q(t;α2)剩余的3個控制頂點(diǎn)Q2、Q3和Q4，即可實現(xiàn)兩相鄰四次C-Bézier曲線間的G1光滑拼接.

類似的，由定理3中的結(jié)論可知，實現(xiàn)兩相鄰四次C-Bézier曲線P(t;α1)和Q(t;α2)間G2光滑拼接的基本步驟為：

Step1. 給定初始曲線P(t;α1) 的形狀參數(shù)α1以及它的控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,…,4)；

Step2. 令Q0=P4，使得曲線P(t;α1) 和Q(t;α2) 達(dá)到位置連續(xù)(即G0連續(xù))；

Step3. 自由給定參數(shù)α2和λ，再按照式(4)可計算出曲線Q(t;α2) 的控制頂點(diǎn)Q1；

Step4. 其次先自由給定參數(shù)d，然后根據(jù)式(9)中的第2個等式計算出曲線Q(t;α2) 的控制頂點(diǎn)Q2；

Step5. 最后，自由給定曲線Q(t;α2)的控制頂點(diǎn)Q3和Q4，即可實現(xiàn)兩曲線的G2光滑拼接.

顯然，在上述曲線G1(或G2)光滑拼接的基本步驟中，若令λ=1(或λ=1,d=0)即可得到兩相鄰四次C-Bézier曲線C1(或C2)光滑拼接的基本步驟.

4.2 曲線拼接的實例

(a)拼接生成的葫蘆 (b)修改參數(shù)后的葫蘆圖2 葫蘆圖形設(shè)計實例

圖2給出了一個利用四次C-Bézier曲線的拼接技術(shù)生成葫蘆圖形的實例.其中，圖2中葫蘆圖形的左右兩邊曲線都是由3條四次C-Bézier曲線段以G1光滑拼接而成.從拼接的步驟和所給實例可以看出，拼接后的組合曲線不僅可以通過調(diào)整參數(shù)的取值來靈活修改自身的局部形狀，而且并不影響到拼接后曲線的光滑程度.

圖3給出了一組李寧商標(biāo)曲線圖形的造型實例.圖3(a)～(f)中商標(biāo)圖形的上、下兩條曲線都是由兩條四次C-Bézier曲線段拼接而成.顯然，還可以靈活地通過修改形狀參數(shù)來改變商標(biāo)圖形的局部形狀，從而可設(shè)計出各種造型的李寧商標(biāo)圖形以及實現(xiàn)李寧商標(biāo)圖形的變形動畫.

圖3 李寧商標(biāo)圖形的變形

圖4給出了一個用四次C-Bézier曲線拼接技術(shù)生成的花瓶圖形.圖4中，花瓶的瓶身是用1段四次C-Bézier曲線表示的半圓??；而花瓶的瓶頸、瓶底則是2段不同的四次C-Bézier曲線段，它們與瓶身曲線光滑拼接，如圖4(a)所示.

(a)待拼接的3段曲線 (b)拼接技術(shù)生成的花瓶圖4 花瓶圖形設(shè)計實例

此外結(jié)合拼接技術(shù)，利用四次C-Bézier曲線還可以構(gòu)造工程中各種常用的造型曲面，如旋轉(zhuǎn)曲面、掃掠面、直紋面和平移面等. 圖5給出了一個旋轉(zhuǎn)花瓶曲面造型實例，其中旋轉(zhuǎn)花瓶曲面的母線(如圖5(a)所示)是由3條四次C-Bézier曲線以G1光滑拼接而成.

(a)花瓶旋轉(zhuǎn)曲面的母線 (b)旋轉(zhuǎn)花瓶曲面圖5 設(shè)計旋轉(zhuǎn)花瓶曲面

5 結(jié)束語

為了解決四次C-Bézier曲線造型中復(fù)雜組合曲線的設(shè)計問題，給出了兩相鄰四次C-Bézier曲線間G1、C1和G2、C2光滑拼接的充要條件.理論分析與造型實例表明，四次C-Bézier曲線不僅能夠精確地構(gòu)造二次曲線和具有靈活的形狀可調(diào)性，而且其光滑拼接的條件也具有簡單、直觀的特點(diǎn)，可以用來設(shè)計多種不同的復(fù)雜曲線，所以在工程曲線曲面設(shè)計中有著廣泛的應(yīng)用前景.

[1] Piegl L, Tiller W. The NUBRS book, 2nd edition[M].New York: Sp ringer, 1997.

[2] Zhang Jiwen.C-Curves: an extension of cubic curves[J].Computer Aided Geometric Design, 1996, 13(3): 199-217.

[3] Zhang Jiwen.Two different forms of C-B-splines[J].Computer Aided Geometric Design, 1997, 14(1): 31-41.

[4] Zhang Jiwen.C-Bézier curves and surfaces[J].Graphical Models and Image Processing, 1999, 61(1): 2-15.

[5] 樊建華,張紀(jì)文,鄔義杰.C-Bézier曲線的形狀修改[J].軟件學(xué)報, 2002, 13(11) : 2 194-2 199.

[6] 樊建華,鄔義杰,林 興.C-Bézier曲線分割算法及G1拼接條件[J].計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)報, 2002, 14(5): 421-424.

[7] 楊雅迪,秦新強(qiáng),胡鋼等.C-Bézier曲線的光順逼近算法[J].計算機(jī)應(yīng)用, 2008, 28(12): 3 132-3 134.

[8] 葉正麟, 吳榮軍. 平面C-Bézier曲線的奇拐點(diǎn)分析[J]. 計算數(shù)學(xué), 2005, 27(1): 63-70.

[9] 陳秦玉,楊勛年,汪國昭.四次C-曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯, 2003, 18(1): 45-50.

[10]胡 鋼, 秦新強(qiáng), 韓西安,等.擬三次Bézier曲線曲面的拼接技術(shù)[J].西安交通大學(xué)學(xué)報, 2010, 44(11): 46-50, 60.