動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)頻率和解耦率的穩(wěn)健優(yōu)化方法

吳 杰，周勝男

(1.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510641;2.廣東省汽車工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510641)

改善動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的性能，既可以降低動(dòng)力總成本身的振動(dòng)，又能降低其傳遞到車架或車身上的反力以及車內(nèi)噪聲。目前，國(guó)內(nèi)外研究者主要采用確定性方法對(duì)懸置系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)［1-3］，即假定懸置系統(tǒng)參數(shù)(例如，懸置剛度和安裝位置等)為確定值。但是，在懸置的制造、安裝和使用過(guò)程中，懸置剛度不可避免地存在一定程度的偏差或波動(dòng)。進(jìn)行動(dòng)力總成剛體振動(dòng)模態(tài)的頻率配置和解耦布置是動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本任務(wù)［1，3］，頻率和解耦率的計(jì)算方法詳見文獻(xiàn)［3］。當(dāng)懸置剛度存在不確定性時(shí)，在設(shè)計(jì)階段準(zhǔn)確預(yù)測(cè)懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率的變化特征，對(duì)分析和提高懸置系統(tǒng)性能的穩(wěn)健性有重要意義。

基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，Qatu［4］計(jì)算分析了懸置剛度的變化對(duì)動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)頻率配置的影響;Sirafi和Chang［5］仿真研究了橡膠懸置剛度和副車架剛度的變化對(duì)懸置系統(tǒng)解耦率的影響;翁建生等［6］考慮了懸置系統(tǒng)的穩(wěn)健性要求，提出了懸置系統(tǒng)模糊多目標(biāo)優(yōu)化方法;吳杰等［7］將懸置剛度、安裝位置和角度當(dāng)作正態(tài)隨機(jī)變量，對(duì)懸置系統(tǒng)的解耦率進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)。盡管通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以近似得到一些不確定參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，但Ben-Haim［8］指出:小的隨機(jī)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性誤差會(huì)造成較大的系統(tǒng)穩(wěn)健性分析偏差。與得到不確定參數(shù)真實(shí)的統(tǒng)計(jì)特性相比，獲得不確定參數(shù)的變化范圍通常比較容易［9-10］。Jiang 等［12］把結(jié)構(gòu)載荷、彈性模量或泊松比等非設(shè)計(jì)參數(shù)當(dāng)作區(qū)間參數(shù)，提出了一種區(qū)間規(guī)劃方法，但沒有考慮最優(yōu)設(shè)計(jì)變量的波動(dòng)問題。

文中采用區(qū)間數(shù)描述懸置剛度變化的不確定性。提出了計(jì)算懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率變化范圍的改進(jìn)區(qū)間截?cái)喾椒ā？紤]到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量的波動(dòng)問題，提出了區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化方法，對(duì)懸置系統(tǒng)的解耦率和頻率進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化。

1 頻率和解耦率的區(qū)間分析方法

1.1 計(jì)算函數(shù)值精確變化區(qū)間的組合方法

區(qū)間分析方法有廣泛的工程實(shí)際背景。例如，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，零件的尺寸要求為x(名義值)，容差為±Δx，則加工出來(lái)的零件實(shí)際尺寸必然在［x-Δx，x+Δx］范圍內(nèi)變化，稱x為區(qū)間參數(shù)，Δx稱為區(qū)間參數(shù)的半徑。

若區(qū)間值函數(shù)f(，，…，)是每個(gè)區(qū)間變量的單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)的精確變化區(qū)間可以由其在所有區(qū)間變量左右端點(diǎn)處的組合而計(jì)算得到［11］。

令=［，］=［)，］，i=1，2，…，n，則當(dāng)區(qū)間變量取端點(diǎn)值時(shí)，f的所有可能取值為:

其中，Ei=L，R，i=1，2，…，n，m=1，2，…，2n。

函數(shù)f的精確變化區(qū)間為:

通過(guò)靈敏度分析可知，當(dāng)懸置剛度在其名義值附近波動(dòng)±1%～±5%時(shí)，懸置系統(tǒng)的六階固有頻率和各方向解耦率均為各懸置剛度參數(shù)的單調(diào)函數(shù)。因此，可以采用組合方法求得固有頻率和解耦率的精確變化范圍。當(dāng)變量較多時(shí)，組合方法的計(jì)算效率較低。

1.2 計(jì)算函數(shù)值近似變化區(qū)間的區(qū)間截?cái)喾椒?/h3>

當(dāng) Δ1≤t，Δ2≤t時(shí)，

當(dāng) Δ1＞t，Δ2＞t時(shí)，

當(dāng) Δ1≤t，Δ2＞t時(shí)，

當(dāng) Δ1＞t，Δ2≤t時(shí)，

然而，上述方法畢竟是建立在假設(shè)“允許的函數(shù)近似區(qū)間值的最大相對(duì)偏差為2t”之上的。當(dāng)函數(shù)精確區(qū)間值的相對(duì)不確定量與t接近時(shí)，文獻(xiàn)［11］中t的取值方法是正確的，例如文獻(xiàn)［11］的10桿結(jié)構(gòu)中，當(dāng)各桿的截面積有±1%的誤差時(shí)(此時(shí)t=δmax=0.01)，各桿應(yīng)力的精確區(qū)間值的相對(duì)不確定量均在0.01附近波動(dòng)，計(jì)算精度很高。

但很多實(shí)際問題中，函數(shù)精確區(qū)間值的相對(duì)不確定量可能遠(yuǎn)大于t(與t不在一個(gè)數(shù)量級(jí))，此時(shí)文獻(xiàn)［11］中的t的取值方法將失效。對(duì)動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)而言，當(dāng)懸置剛度在其各自區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，某些方向解耦率的變化區(qū)間的相對(duì)不確定量遠(yuǎn)大于懸置剛度變化的百分比(即相對(duì)不確定量δ)，因此，必須改進(jìn)文獻(xiàn)［11］中t的取值方法。

假設(shè)各懸置剛度參數(shù)變化區(qū)間的相對(duì)不確定量均為δ，δ取值為1%～5%。在此，針對(duì)頻率和解耦率給出不同的t值取值方法:

(1)動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)各頻率區(qū)間值的相對(duì)不確定量與t相差不大，仍采用區(qū)間截?cái)嗍?3)至式(6)進(jìn)行預(yù)估區(qū)間值的修正，為提高計(jì)算精度，取t=δ/2;

(2)由于某些方向上解耦率區(qū)間值的相對(duì)不確定量遠(yuǎn)大于t，因此，用k(t)(t的某種函數(shù))取代t。計(jì)算解耦率變化區(qū)間時(shí)，針對(duì)不同的懸置剛度變化百分比，用最小二乘法得到k(t)的最佳取值:

當(dāng) Δ1≤t，Δ2≤t時(shí)，

當(dāng) Δ1＞t，Δ2＞t時(shí)，

當(dāng) Δ1≤t，Δ2＞t時(shí)，

當(dāng) Δ1＞t，Δ2≤t時(shí)，

其中，k(t)為t的函數(shù)，t=δ。

當(dāng)k(t)取不同形式的函數(shù)時(shí)，采用最小二乘法擬合近似區(qū)間值和精確區(qū)間值，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k(t)為有理分式，并且分子和分母分別為t的一次函數(shù)和二次函數(shù)時(shí)，即k(t)=(k0t+k1)/(t2+k2t+k3)時(shí)，擬合效果最好。根據(jù)懸置系統(tǒng)的初始剛度，圖1給出了k(t)的擬合效果，擬合得到的參數(shù)為:k0=-0.001 693，k1=0.010 27，k2=0.000 481 8，k3=-2.369E-6。

圖1 k(t)的擬合效果Fig.1 Fitting result of k(t)

2 解耦率的區(qū)間可靠度

假設(shè)解耦率的近似區(qū)間值用［，］表示，其要求的安全變化區(qū)間值用［，］表示，在數(shù)據(jù)不全的情況下，一般假設(shè)解耦率是均勻分布在區(qū)間［，］上的。從物理意義上理解，若［］與［］有交叉，則該懸置系統(tǒng)在一定程度上可以滿足各方向解耦率的變化區(qū)間的要求，用R度量這種“滿足程度”，用1-R度量“不滿足程度”，并定義R為區(qū)間可靠度。

當(dāng)［，］完全屬于［］時(shí)，R=1;當(dāng)［，］完全位于［］之外時(shí)，R=0;當(dāng)［，xE］與［，］有交叉時(shí)，按下式計(jì)算R［11］:

3 頻率的區(qū)間概率度

當(dāng)懸置剛度為區(qū)間參數(shù)時(shí)，懸置系統(tǒng)頻率必然有一定的變化區(qū)間，在此，用區(qū)間概率度來(lái)度量頻率約束條件的滿足程度。區(qū)間概率度表征一個(gè)區(qū)間數(shù)大于另一個(gè)區(qū)間數(shù)的“程度”。

定義區(qū)間概率度［12］:

由式(12)可知，0≤PAI≤BI≤1。例如，設(shè)第i個(gè)約束條件為≤gi(xI)≤，寫成概率度約束條件為≥α_R，且≥α_L，其中，和分別是第i個(gè)頻率約束的上、下界;α_L和α_R分別為滿足約束條件i的指定的左、右區(qū)間概率度。

4 頻率和解耦率的區(qū)間優(yōu)化模型

發(fā)動(dòng)機(jī)在整車中的安裝位置限制較嚴(yán)格，一般不改變懸置的安裝位置和角度。因此選擇四個(gè)懸置的剛度為優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。

假設(shè)剛度的不確定性由其名義值變化±1%～±5%表征，具體數(shù)值與制造工藝水平及使用工況有關(guān)。為了使懸置系統(tǒng)的頻率和解耦率更加穩(wěn)健，在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)綜合考慮各種不確定因素對(duì)優(yōu)化結(jié)果可能產(chǎn)生的影響。為此提出區(qū)間優(yōu)化方法，考慮最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生波動(dòng)時(shí)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，而不僅僅是考慮非設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性［12］。

提出懸置系統(tǒng)解耦率的區(qū)間優(yōu)化模型為:

其中，當(dāng)剛度參數(shù)在其名義值附近波動(dòng)時(shí)，為各解耦率的變化范圍，和分別為dRatio的左、右約束界限，mid()和δ()分別為的中點(diǎn)和相對(duì)不確定量，wi和vi為權(quán)重;Frei(i=1，2，…，6)是懸置系統(tǒng)的6個(gè)固有頻率，是各固有頻率的變化區(qū)間，和和分別為Frei的左、右約束界限;6個(gè)固有頻率的約束界限分別為:6 ～12 Hz，6 ～12 Hz，8 ～10 Hz，6 ～15 Hz，9 ～11 Hz和6～15 Hz;和(i=1，2，…，6)分別表示給定的滿足約束條件i的左、右區(qū)間概率度;stiffi(i=1，…，12)是剛度設(shè)計(jì)變量和分別為stiff的左、右約束界限，此處假設(shè)stiffi可以在其初值附近變化±25%。

為方便對(duì)比，下面給出確定性優(yōu)化模型:

可以看出，區(qū)間優(yōu)化模型不但要使懸置系統(tǒng)在各個(gè)方向具有盡量高的解耦率，并且當(dāng)最優(yōu)剛度參數(shù)發(fā)生波動(dòng)時(shí)，還要保證解耦率變化區(qū)間的半徑最小，使得各解耦率盡可能的穩(wěn)健。而確定性優(yōu)化方法只能保證得到各方向最大的解耦率，當(dāng)最優(yōu)剛度參數(shù)發(fā)生波動(dòng)時(shí)，不能保證解耦率的穩(wěn)健性。

在區(qū)間優(yōu)化迭代過(guò)程中，每得到一組設(shè)計(jì)參數(shù)值，便假設(shè)該組設(shè)計(jì)參數(shù)在其名義值附件發(fā)生一定程度的波動(dòng)(±1%～±5%)，利用提出的改進(jìn)區(qū)間截?cái)喾椒ㄟM(jìn)行頻率和解耦率的區(qū)間分析，進(jìn)而計(jì)算優(yōu)化目標(biāo)值和約束條件值。當(dāng)然，由于每次迭代時(shí)剛度參數(shù)的不同，區(qū)間截?cái)喾椒ㄖ械膋(t)也不同。文中嘗試在每次優(yōu)化迭代時(shí)，使用由初始剛度參數(shù)經(jīng)最小二乘法擬合得到的k(t)中的最優(yōu)系數(shù)。雖然每次迭代中由該組系數(shù)計(jì)算的解耦率的近似區(qū)間值與精確區(qū)間值有一定偏差，但由式(13)可以看出，優(yōu)化目標(biāo)是使得解耦率的名義值最大以及解耦率區(qū)間值的寬度最小。因此，優(yōu)化迭代的搜索方向受每次迭代時(shí)解耦率區(qū)間值的計(jì)算精度的影響很小，可以忽略不計(jì)。

5 算例

圖2為具有4個(gè)懸置的某轎車橫置動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)。

圖2 動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的六自由度模型Fig.2 6DOF model of a powertrain mounting system

動(dòng)力總成坐標(biāo)系G0-XYZ的原點(diǎn)G0位于動(dòng)力總成質(zhì)心，Y軸平行于發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸軸線方向并指向發(fā)動(dòng)機(jī)前端，X軸水平指向汽車后方，Z軸垂直曲軸向上。每個(gè)懸置簡(jiǎn)化成沿其三個(gè)彈性主軸方向具有剛度和阻尼的元件［1，3］，懸置的三個(gè)彈性主軸分別用ui，vi和wi表示(i=1，2，…，n，n為懸置個(gè)數(shù))。動(dòng)力總成重量為 215 kg，表1給出了動(dòng)力總成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積，表2給出了懸置的初始靜剛度，一般為經(jīng)驗(yàn)值。假設(shè)式(14)中所有頻率約束條件的左、右區(qū)間概率度均要求為1.0。

表1 動(dòng)力總成在GCS中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積(kg·m2)Tab.1 Inertia properties of the powertrain in the GCS(kg·m2)

表2 懸置的靜剛度(N/mm)Tab.2 Static stiffness of each mount(N/mm)

表3和表4分別給出了優(yōu)化前的懸置系統(tǒng)頻率和解耦率的區(qū)間分析結(jié)果。由表3可知，用文中提出的改進(jìn)區(qū)間截?cái)喾椒ㄓ?jì)算得到的頻率的近似區(qū)間值精度很高，經(jīng)計(jì)算，最大的相對(duì)誤差僅為0.043%;而由文獻(xiàn)［11］中方法計(jì)算的區(qū)間值普遍寬于本文方法得到的區(qū)間值，最大相對(duì)偏差為2.54%。

由表4可知，由本文方法計(jì)算的解耦率近似區(qū)間值的計(jì)算精度較好，經(jīng)計(jì)算，最大的三個(gè)相對(duì)誤差分別為11.33%、10.82% 和 7.83%，其它的相對(duì)誤差均在6%以下;而由文獻(xiàn)［11］中方法計(jì)算的區(qū)間值的最大的三個(gè)相對(duì)誤差分別為50.68%、47.04%和27.68%。這表明，文中提出的區(qū)間分析方法精度較文獻(xiàn)［11］中的方法有較大程度地提高?？梢钥闯?，優(yōu)化前懸置系統(tǒng)的解耦率較低，并且區(qū)間半徑較大，表明該懸置系統(tǒng)性能的穩(wěn)健性較差，需進(jìn)行懸置剛度的優(yōu)化匹配。

優(yōu)化結(jié)束后，表5、表6分別給出了當(dāng)確定性優(yōu)化最優(yōu)剛度和區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值波動(dòng)時(shí)，解耦率和頻率的變化區(qū)間。從表5可知，區(qū)間優(yōu)化和確定性優(yōu)化均可較大程度地提高懸置系統(tǒng)的解耦率;區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處的解耦率稍低于確定性優(yōu)化，這是因?yàn)樵趨^(qū)間優(yōu)化模型中考慮了解耦率的穩(wěn)健性要求，所以不可避免地導(dǎo)致解耦率稍有降低，兩者是不可兼得的。但是，從表6可知，在區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處的各階頻率變化區(qū)間的上界大多小于確定性優(yōu)化，從而可以提高各頻率約束條件的區(qū)間概率度，即穩(wěn)健性。

表3 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)固有頻率的區(qū)間分析結(jié)果(Hz)Tab.3 Variation intervals of the initial frequencies of the powertrain mounting system(Hz)

表4 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)解耦率的區(qū)間分析結(jié)果(%)Tab.4 Variation intervals of the initial decoupling ratios of the powertrain mounting system(%)

表5 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)解耦率的變化區(qū)間(%)Tab.5 Variation intervals of the decoupling ratios after optimization(%)

表6 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)固有頻率的變化區(qū)間(Hz)Tab.6 Variation intervals of the frequencies after optimization(Hz)

表7給出了在確定性優(yōu)化和區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處，式(14)中各約束條件的左、右區(qū)間概率度。可以看出，當(dāng)最優(yōu)剛度值有所波動(dòng)時(shí)，在區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處的各約束條件左、右區(qū)間概率度均要大于或等于確定性優(yōu)化，穩(wěn)健性有較大幅度的提高，在Roll和Pitch方向尤為明顯。

一般的，對(duì)沿Z軸(垂直方向)和Pitch方向(繞發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸扭轉(zhuǎn)方向)的解耦程度要求較高，其它方向解耦程度可適當(dāng)放寬要求。假設(shè)要求Z軸和Pitch方向的解耦率高于90%，表8給出了優(yōu)化前后沿Z軸方向和Pitch方向的解耦率的區(qū)間可靠度。由表8可知，優(yōu)化前Z軸和Pitch方向解耦率的區(qū)間可靠度幾乎均為零。這表明該懸置系統(tǒng)剛度參數(shù)的匹配不合理，不能滿足沿Z軸方向和Pitch方向的解耦率要求。

表7 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)頻率約束的區(qū)間概率度Tab.7 Interval probability degrees of the constraints as the optimal design variables vary around their nominal values

由表8可知，區(qū)間優(yōu)化和確定性優(yōu)化都能使Z方向的區(qū)間可靠度達(dá)到1.0，解耦率都達(dá)到98%以上，并且相差很小，可以忽略不計(jì)。在Pitch方向，雖然區(qū)間優(yōu)化結(jié)果的區(qū)間可靠度稍低于確定性優(yōu)化，但從實(shí)際解耦率的變化區(qū)間來(lái)看，區(qū)間優(yōu)化較優(yōu)化前大幅度提高了該方向的解耦率，并且區(qū)間優(yōu)化對(duì)應(yīng)的解耦率區(qū)間半徑要小于確定性優(yōu)化，從工程角度來(lái)看，區(qū)間優(yōu)化方法取得了較好地優(yōu)化效果。

表8 優(yōu)化前后懸置系統(tǒng)沿Z軸和Pitch方向解耦率的區(qū)間可靠度Tab.8 Interval reliabilities of the decoupling ratios in Z and Pitch directions as the stiffness parameters vary around their nominal values

另外，從表6也可以看出，在Roll和Pitch方向，確定性優(yōu)化結(jié)果對(duì)應(yīng)的頻率變化區(qū)間的上界均超過(guò)了約束范圍，這意味著動(dòng)力總成與其它部件可能產(chǎn)生共振。因此，區(qū)間優(yōu)化方法在保證不產(chǎn)生共振的情況下，稍微降低Pitch方向的解耦率是可以接受的。

6 結(jié)論

為使懸置系統(tǒng)的性能更加穩(wěn)健，提出了懸置系統(tǒng)解耦率和頻率的區(qū)間優(yōu)化方法，對(duì)某轎車懸置系統(tǒng)的懸置剛度進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化。具體結(jié)論有:

(1)提出的區(qū)間優(yōu)化方法能有效增大懸置系統(tǒng)各方向的解耦率，并提高解耦率的穩(wěn)健性。與確定性優(yōu)化方法相比較，區(qū)間優(yōu)化方法可以較大幅度地提高頻率的穩(wěn)健性;

(2)可根據(jù)具體問題中優(yōu)化目標(biāo)和約束條件的相對(duì)重要程度給定約束條件的區(qū)間概率度，較確定性優(yōu)化方法更加靈活實(shí)用;

(3)區(qū)間優(yōu)化方法在設(shè)計(jì)階段綜合考慮各種不確定因素對(duì)優(yōu)化結(jié)果可能造成的影響，能得到抗噪能力較強(qiáng)的穩(wěn)健優(yōu)化方案。

(4)動(dòng)力總成質(zhì)量和慣量參數(shù)也存在測(cè)量誤差，為更全面地對(duì)懸置系統(tǒng)進(jìn)行不確定性分析和優(yōu)化，應(yīng)該將它們也看作區(qū)間變量，這部分工作將另文介紹。

［1］呂振華，范讓林.動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)振動(dòng)解耦設(shè)計(jì)方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2005，41(4):49-54.

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