新型旋轉式壓電慣性電機振子的沖擊振動分析

邢繼春，許立忠，王春光

(1.燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島 066004;2.秦皇島技師學院，河北 秦皇島 066001)

基于壓電效應的電機，稱為壓電電機。壓電電機的種類型很多。除了各種類型的摩擦接觸式超聲電機外，還有非接觸型超聲電機、離合器耦合型壓電電機、直線型表面波電機、真空型超聲電機、沖擊型壓電電機等。此類電機在精密驅動領域已經(jīng)發(fā)展為一種獨特的驅動形式，例如超真空用精密位移裝置、微型機器人手臂、掃描隧道顯微鏡等［1-2］。

新型旋轉式壓電慣性電機，是利用壓電晶體的逆壓電效應和慣性位移原理，用鋸齒波作為激勵電信號產(chǎn)生慣性沖擊力驅動電機旋轉［3］。與其它驅動方式相比，壓電型慣性沖擊驅動具有結構簡單、能夠在高速運動的同時實現(xiàn)長距離納米級定位、容易實現(xiàn)多自由度驅動和不需要專用的位置保持裝置等特點［4］。近年來國內(nèi)外研究人員利用壓電慣性沖擊原理研制了一系列直線型和旋轉型壓電電機，并對該種電機的運動機理以及驅動信號和電機的結構參數(shù)對電機的性能的影響進行了闡述［5-7］。本文通過對電機核心部件振子的受迫沖擊振動分析，進一步揭示此種電機的運動機理。

1 電機的結構設計

圖1為旋轉式慣性電機示意圖。主要由振子、下軸、連接件、上軸、底座組成。其中慣性振子是由壓電雙晶體片、粘結劑、振子金屬體構成。壓電陶瓷片的尺寸10 mm×5 mm×0.5 mm，并且沿厚度方向極化。

圖1 電機結構示意圖Fig.1 The configuration of vibrator

2 激勵信號

對慣性式旋轉壓電電機，激勵方式非常重要。由于壓電陶瓷片的容性負載特性比較突出，所以整個電機可以等效為一個容性負載。

圖2 激勵信號的電壓波形Fig.2 Applied electrical signal wave

在時域內(nèi)，得到驅動電壓為:

根據(jù)電容充放電原理，在激勵電壓信號處于上升沿時，壓電陶瓷片兩端電壓響應為:

在激勵電壓信號處于下降沿時，壓電陶瓷片兩端電壓響應為:

3 沖擊受迫響應

如圖3所示是旋轉式壓電慣性電機振子結構圖。振子結構是由梁和環(huán)組合而成，利用梁—環(huán)面內(nèi)彎曲原理計算梁的模態(tài)函數(shù)φn(x)。

由于壓電陶瓷片厚度hp很薄，其每片平均電場為:

圖3 簡化的振子結構圖Fig.3 The configuration of Simplified vibrator

根據(jù)振型疊加原理，梁彎曲振動位移可表示為:

此時的pzt元件只能貼在梁的上表面、下表面或上下表面。因此，pzt元件的應變?yōu)?

其中，h為梁的高度。

由第2類壓電方程，可得到梁彎曲應力為:

其中，e31為壓電應力常數(shù)矩陣為機械剛度常數(shù)矩陣。分布的pzt元件應變能可寫成:

其中，b為pzt元件的寬度。另外，均勻梁(不含pzt元件)的應變能用下式表示:

梁在振動中的動能(含pzt元件):

其中，mij為梁的廣義質量。

由于阻尼的存在，振子的耗散函數(shù)為:

其中，cij為梁的廣義阻尼。

其中:M=［mij］為均勻梁的廣義質量矩陣;C=［cij］為均勻梁的廣義阻尼矩陣;K=［kij］為均勻梁廣義剛度矩陣;F(t)為廣義力列陣。

當利用位移振型正交性條件，可導出:

其中:Mj，Cj和Kj為均勻梁第j階模態(tài)質量、模態(tài)阻尼、模態(tài)剛度，且模態(tài)力為用4片pzt來激振振子，壓電片的長度為lp，寬度為b，厚度為hp，1，2片平均作用點為xa，3，4 片平均作用點為xb。

利用正交性導出廣義力列陣為:

利用杜哈梅積分寫出壓電振子在激勵信號下有阻尼受迫振動的通解為:

考慮阻尼的情況下，在激勵電壓信號處于上升沿時，振子的強迫響應為:

其中:

（1）夯實組織保障。為有效推進全市預算績效管理，市人民政府成立了由市長任組長、常務副市長任副組長，市財政局等單位負責人為成員的預算績效管理工作領導小組。

在激勵電壓信號處于下降沿時，振子的強迫響應為:

其中:

將式(17)、(18)代入式(5)得到壓電振子梁位移響應為:

壓電振子梁速度響應為

壓電振子梁加速度響應為:

4 結果分析

4.1 壓電陶瓷片兩端電壓分析

取旋轉型慣性壓電電機的驅動電壓峰值為30 V，占空比μ=0.8，驅動電路電阻為100 Ω，單個壓電陶瓷片的電容為2.4 nF。圖4為在不同頻率的鋸齒波信號驅動下，電容兩端電壓的響應情況。結果表明:

圖4 在不同頻率激勵信號下壓電陶瓷片兩端電壓Fig.4 The voltage of piezoelectric element under different frequency excitation signal

(1)壓電振子在較低頻率激勵下，壓電陶瓷片兩端電壓Vc的響應與激勵信號波形基本相同，只是Vc的峰值略小于激勵信號峰值30 V，為29.95 V。這是因為式(2)和式(3)中的指數(shù)項的值很小趨近0。

(2)壓電振子在較高頻率激勵下，壓電陶瓷片兩端電壓Vc的響應與激勵信號波形不同，并且隨著激勵頻率的增大Vc的峰值降低。隨著激勵信號頻率的增大，Vc的波形也由鋸齒波逐漸變?yōu)樯仙嘏c下降沿對稱的波形。

(3)由于旋轉型慣性壓電電機振子的工作模態(tài)為一階固有頻率32 031 rad/s，并且激勵信號的頻率低于其工作頻率。選擇低于其工作頻率的激勵信號時，壓電陶瓷片兩端電壓Vc的響應與激勵信號波形基本相同。

4.2 振子受迫振動分析

振子材料選用銅，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，取激勵電壓峰值A=30 V，研究壓電振子梁端部在工作模態(tài)下的位移、速度與加速度響應(見圖5)。圖5表明:

表1 振子參數(shù)Tab.1 The parameters of the vibrator

圖5 振子位移、速度與加速度響應Fig.5 The displacement，velocity and acceleration of vibrator

(1)在頻率較低ω?ωj時，振子梁端部的響應波形與激勵波形相似，由于阻尼的存在振子瞬態(tài)響應不顯著。隨著頻率的增加，振子梁端部的響應波形由近似鋸齒波變?yōu)榻普倚盘?，振子的瞬態(tài)響應越來越顯著。

(2)在頻率較低ω?ωj時，在激勵信號上升沿和下降沿時間段的初始時刻瞬態(tài)速度響應隨激勵頻率的增加顯著。由于阻尼的存在，隨時間推移，速度衰減一個恒值。隨著頻率增加，下降沿的時間變短，速度響應未能衰減至恒值。激勵頻率接近振子固有頻率時，瞬態(tài)速度響應顯著，速度響應波形逐漸趨于正弦波形，相位與位移信號相差90°。

(3)在頻率較低ω?ωj時，在激勵信號上升沿和下降沿時間段的初始時刻瞬態(tài)加速度響應隨激勵頻率的增加顯著。由于阻尼的存在隨時間推移，加速度衰減至0。隨著頻率增加，下降沿的時間變短，加速度響應未能衰減至0。激勵頻率接近振子固有頻率時，瞬態(tài)響應顯著，加速度響應波形逐漸趨于正弦波形，相位與位移信號相差180°。

4.3 旋轉型慣性電機運動機理分析

旋轉式壓電慣性電機空載時軸承的摩擦力矩計算公式:

其中:f為滾動摩擦系數(shù)(0.001～0.015);d為軸承內(nèi)徑;F為軸承負載，即上軸、下軸、連接件、振子的重力。

旋轉式壓電慣性電機能夠產(chǎn)生旋轉的臨界加速度a0，則有:

其中，Jr為振子環(huán)的轉動慣量。

在一個周期內(nèi)，振子系統(tǒng)梁端部位移響應和加速度響應如圖6所示。

圖7為振子振動分析示意圖。假設振子由于激勵信號突變所產(chǎn)生的慣性力矩M，以及慣性電機的最大靜摩擦力矩Mc。如圖6所示，將振子梁端部的加速度響應分為六個區(qū)域。在a，d，c，f區(qū)域為慣性力矩大于最大靜摩擦力矩，在b，e區(qū)域為慣性力矩大于摩擦力矩。水平虛線為產(chǎn)生運動的臨界加速度值。

慣性電機在一個周期所轉過角度的大小，由其在該時間段內(nèi)所獲得和轉動沖量矩的大小決定。也就是說在a區(qū)域由振子端部加速度響應曲線和上水平虛線所圍成的面積與f區(qū)域振子端部加速度響應曲線和下水平虛線所圍成的面積之差。若為正逆時針旋轉，若為負順時針旋轉。

圖6 振子梁端部位移和加速度響應Fig.6 The displacement and acceleration responses of the vibrator-beam end

圖7 振子運動分析圖Fig.7 The analytical chart of Vibrator movement

為了更好的提高慣性電機的運行效果，根據(jù)旋轉型慣性壓電電機原理，可以盡可能的減小a，d區(qū)域面積，擴大c，f區(qū)域面積。同時，適當選擇摩擦副也可以提高電機的驅動力矩。

4.4 激勵信號的占空比對振子的影響

(1)在頻率較低ω?ωj時，壓電振子梁端部的瞬態(tài)響應由于阻尼的存在得到充分衰減。上一周期下降沿的瞬態(tài)響應，對相鄰周期上升沿的影響較小。上升沿對應的振子端部瞬態(tài)響應不明顯。激勵信號的占空比為μ=0.1～0.9區(qū)間時，由于上升沿和下降沿的突變所產(chǎn)生的慣性力矩較小，驅動力矩M小于靜摩擦力矩Mc，電機處于靜止狀態(tài)。如果改變占空比，使其處于0＜μ＜0.1區(qū)間，則上升沿斜率增加獲得較大慣性力矩(大于最大靜摩擦力矩)，慣性電機轉子出現(xiàn)逆時針旋轉。而在0.9＜μ＜1區(qū)間，下降沿斜率增加獲得較大慣性力矩(大于最大靜摩擦力)，慣性電機轉子出現(xiàn)順時針旋轉。

(2)為了獲得較大的驅動力矩，應該盡可能的減小a區(qū)域面積，擴大f區(qū)域面積，有利于電機軸順時針旋轉。在激勵信號占空比μ=0.5時，a區(qū)域面積最小。這是因為激勵信號的上升沿和下降沿時間相等，壓電振子梁端部的瞬態(tài)響應由于阻尼的存在得到充分衰減。并且激勵信號上升沿和下降沿的斜率變小，壓電陶瓷片電壓變化變緩，壓電振子慣性力矩減小。

(3) 當激勵信號頻率接近壓電振子工作模態(tài)的固有頻率。壓電振子端部位移響應和加速響應幅值明顯增大。在一個周期內(nèi)，a，d和c，f超出虛線區(qū)域的面積基本相等，電機軸發(fā)生左右往復旋轉。在不同激勵信號占空比情況下，差別不大。

4.5 振子參數(shù)改變對電機運行的影響

振子產(chǎn)生的加速度響應曲線與臨界加速度a0(水平虛線)所圍成的面積可以反映慣性沖擊力矩的大小，該面積為;

振子材料選用銅，上軸和下軸選用鋁，連接件選用絕緣塑膠材料。取激勵電壓峰值A=30 V，激勵鋸齒波信號頻率為4×103rad/s。其它系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，改變振子外環(huán)半徑R2，計算V值如表2所示。改變振子梁長l，振子環(huán)外半徑和內(nèi)半徑差保持1 mm，計算V值見表3。改變振子梁高h，計算V值見表4。從表2～表4可知:

(1)隨著振子環(huán)外半徑R2的增加，臨界加速度a0逐漸降低，而V值逐漸增大。

(2)隨著振子梁長l的增加，臨界加速度a0逐漸降低，同時V值逐漸減小。

(3)隨著振子梁厚h的增加，臨界加速度a0逐漸增大，同時V值逐漸減小。

由此可知，增大振子環(huán)外半徑R2、減小振子梁厚h和振子梁長l，可以增加振子的慣性沖擊力矩。

表2 不同R2下的a0和V值Tab.2 The value ofa0andV under differentR2

表3 不同l下的a0和V值Tab.3 The value ofa0andV under differentl

表4 不同h下的a0和V值Tab.4 The value ofa0andV under differenth

5 結論

本文根據(jù)電容充放電原理，推導了壓電陶瓷片兩端電壓響應公式，并利用杜哈梅積分推導出壓電振子在激勵信號下阻尼受迫響應公式。運用動力學方法分析了旋轉型慣性電機運動機理，可以通過減小a，d區(qū)域面積，擴大c，f區(qū)域面積以及適當選擇摩擦副提高電機的驅動力矩。研究了激勵信號的占空比對振子沖擊力矩的影響規(guī)律，以及振子參數(shù)對振子沖擊力矩的影響規(guī)律。結果表明，增大振子環(huán)外半徑R2、減小振子梁厚h和振子梁長l，可以增加振子的慣性沖擊力矩。這些研究工作為旋轉式壓電慣性電機的設計與控制奠定了理論基礎。

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