非飽和地基中Love波的傳播特性

陳煒昀， 夏唐代， 王志凱， 孫苗苗

（1.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310058；2.浙江大學(xué) 巖土工程研究所，杭州 310058；3.浙江萬(wàn)科南都房地產(chǎn)有限公司，杭州 310058；4.浙江省水利河口研究院，杭州 310027）

表面波的傳播在土木工程、地震工程和地球物理學(xué)等許多領(lǐng)域都有著重要的實(shí)際意義，并受到廣泛地關(guān)注。目前，應(yīng)用較廣泛的表面波無(wú)損檢測(cè)方法（SASW法）就是利用面波（如Rayleigh波和Love波）的彌散特性通過(guò)分析現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試結(jié)果來(lái)反演土層參數(shù)（如土層剪切波速度等）的一種方法。此外，在地震工程中，Love波動(dòng)理論成功地揭示了地震記錄中出現(xiàn)的頻散波現(xiàn)象［1］。理想彈性介質(zhì)中Love波的傳播機(jī)理已得到完善的研究［2，3］，但是這些研究將各類(lèi)地基彈性化處理，實(shí)際應(yīng)用的合理性還有待證實(shí)。隨后，越來(lái)越多的學(xué)者［4-7］將土體視為由一種飽和流體多孔彈性固體所組成的多孔介質(zhì)。Deresiewicz［4］首先應(yīng)用 Biot［5］的經(jīng)典模型研究了這種多孔介質(zhì)層中的Love波，建立了關(guān)于頻率和相速度的多孔介質(zhì)中的Love波的彌散方程。夏唐代［6］運(yùn)用有限元法推導(dǎo)出飽和土中Love面波的彌散特性方程，并且討論了飽和土中Love面波波速度的彌散特性及位移分布規(guī)律。夏唐代［6］根據(jù)Love波的傳播特性提出了一種有效地基動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算方法。Wang等［7］利用迭代法求解了橫觀各向同性的飽和多孔介質(zhì)中Love波的頻散方程，并給出了Love波的彌散曲線和衰減曲線。文獻(xiàn)［8］運(yùn)用解析法建立了交通荷載作用下雙層地基中Love波的特征方程，并分析了不同情況下Love波的彌散性和位移分布特征。

上述研究主要是針對(duì)地基土或巖石孔隙中只包含一種成分（水、氣或油）的情形。然而實(shí)際上，地球表面絕大部分覆蓋的巖石或土的孔隙中同時(shí)包含有兩種或兩種以上不同的流體，如水，氣體和油，使得其土體動(dòng)力特性也會(huì)有明顯的變化，因此，對(duì)非飽和土中Love波彌散特性研究更有實(shí)際意義。但是至今很少有涉及到針對(duì)飽和度對(duì)多孔介質(zhì)中Love波的影響的研究，這使得本文的研究具有更大的現(xiàn)實(shí)意義。

本文研究了非飽和土中Love波的傳播特性，得到了相應(yīng)的彌散方程，首先分析了飽和度對(duì)非飽和地基土層中剪切波傳播的影響，然后利用文獻(xiàn)［7］中的迭代法求解了該方程并得到了不同模態(tài)Love波的頻散和衰減曲線，分析了地基土體飽和度、頻率與Love波傳播波速、衰減系數(shù)的關(guān)系，最后討論了飽和度變化對(duì)Love波的水平位移分布特征的影響。

1 問(wèn)題描述

現(xiàn)考慮一個(gè)厚度為H，覆蓋在一個(gè)各向同性、均勻的半無(wú)限彈性體上的非飽和土層中Love波的傳播。建立的笛卡爾坐標(biāo)系如圖1所示，其中x-y平面在非飽和多孔介質(zhì)層與彈性體之間的水平分界面上，z軸垂直向下指向半空間。

圖1 Love波傳播示意圖Fig.1 Geometry of the Love wave problem

Wei等［9-10］建立了非飽和多孔介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系和基本波動(dòng)方程：

式中：Nss，Nsl，Nsg，Nll，Nlg，Ngg為獨(dú)立參量［9］；μs為土骨架的宏觀拉梅常數(shù)；ns，nl，ng分別為固體骨架、水、空氣的體積分?jǐn)?shù)；ρs，ρl，ρg分別為三相的密度；ξl和ξg分別為流體和氣體的耦合作用參數(shù)，Garg［11-12］等提出以下關(guān)系式：

式中：ηl和ηg為流體粘度；k為該多孔介質(zhì)的絕對(duì)滲透率；和分別為液體和氣體的相對(duì)滲透率；Van［13］給出了目前應(yīng)用較廣的VG模型，描述了相對(duì)滲透率與飽和度Sr關(guān)系式：

式中：m稱(chēng)為VG模型參數(shù)。

2 非飽和土層中的場(chǎng)方程

對(duì)于本文考慮的反平面剪切運(yùn)動(dòng)，只y方向有非零位移分量uy和，以下推導(dǎo)中用上標(biāo)*表示對(duì)應(yīng)上覆土層的物理量。令固相、氣相、液相的位移為簡(jiǎn)諧時(shí)間變化，則：

將式 （8）代入式（1）～式（3），得：

其中，γ2=κ2-，且：

從式 （10）～式 （13）可以看出，一方面，復(fù)數(shù)κ表明非飽和多孔介質(zhì)層中的Love波是耗散的；另一方面，液相和氣相的位移和土骨架的位移是相互耦合的。解二階偏導(dǎo)方程 （10）可得到非飽和土層中的波場(chǎng)如下：

其中，A1和A2為常數(shù)，γ*2=κ*2-。

當(dāng)z＞0，下覆彈性半空間的位移沿y方向分量可表示為：

3 邊界條件和彌散方程

對(duì)于本文所討論的問(wèn)題，假設(shè)上覆非飽和多孔介質(zhì)層與下部彈性體之間的接觸良好。當(dāng)z=0時(shí)，接觸平面上應(yīng)力和位移連續(xù)，假設(shè)孔隙中的水和氣體不能透過(guò)接觸面?？梢缘玫揭韵碌倪吔鐥l件：

由邊界條件得：

要使上式中A1，A2，A3有非零解，則其系數(shù)行列式必須為零，因此可以得到Love波的彌散方程：

彌散方程（23）是一個(gè)復(fù)數(shù)形式的超越方程，無(wú)法獲得解析解，通常只有數(shù)值解或近似解?，F(xiàn)通過(guò)分離其實(shí)部和虛部可由如下2個(gè)實(shí)方程代替：

因?yàn)橐阎ǖ乃p系數(shù)很小 （δ?1），利用文獻(xiàn)［7］中的迭代方法求解。

另外，根據(jù)式 （20）～式（22），再結(jié)合式 （14）、式（15），可以得到上下兩種介質(zhì)的水平位移分別為：

波在傳播過(guò)程必須要耗散，因此Love波的波場(chǎng)公式（15）中γ的虛部必須大于零，另外，這里假設(shè)Re（γ*）＞0，可得Love波的波速范圍如下：

其中，非飽和土層和下部彈性半空間中的剪切波速和cs可分別表示為：

表1 非飽和土的基本參數(shù)［14］Tab.1 Basic parameters of unsaturated soil

4 數(shù)值分析

本文首先考慮無(wú)限空間內(nèi)非飽和孔隙介質(zhì)中剪切波的傳播并談?wù)擄柡投燃邦l率對(duì)剪切波速的影響。算例中孔隙介質(zhì)物理常數(shù)取自Columbia非飽和砂土［14］，如表1。考慮的頻率范圍從1～107Hz，涵蓋了土木工程，地球物理學(xué)，及地震工程中可能遇到的頻率范圍［15］。然后分析在低頻率條件下，非飽和土中Love波的傳播特性。考慮一個(gè)厚度為10 m的非飽和土層覆蓋在一個(gè)彈性半空間上。非飽和土層物理常數(shù)同樣取自Columbia非飽和砂土［14］，如表1。假設(shè)下部彈性半空間的密度與上部土層中固相介質(zhì)的密度相同，拉梅常數(shù)μs=9 MPa。故下部半空間中剪切波速cs=58.28 m/s。通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了Love波的彌散曲線及其他相關(guān)曲線。

4.1 飽和度對(duì)剪切波速的影響

圖2表示在不同的頻率下剪切波速隨著飽和度的變化趨勢(shì)。所考慮的飽和度變化范圍為0.01～0.99?？梢钥闯鲈陬l率較低時(shí)（ω＜106Hz），剪切波速隨著飽和度的增加而減小。另外，結(jié)果顯示，當(dāng)頻率較低時(shí)，頻率變化對(duì)剪切波波速影響很小。圖3表示在不同的飽和度條件下剪切波速隨著頻率的變化趨勢(shì)。所考慮的頻率變化范圍為1～107Hz?？梢钥闯觯?dāng)頻率較低時(shí)，頻率對(duì)剪切波速的影響很小，當(dāng)頻率較高時(shí)，不同飽和度下的剪切波速將隨著頻率增加而增加。飽和度越高，土層中Love波波速開(kāi)始增加所需要的頻率越低。

圖2 不同飽和度時(shí)的剪切波速Fig.2 Velocity of shear waves with different saturation

圖3 不同飽和度時(shí)的剪切波速Fig.3 Velocity of shear waves with different frequency

4.2 飽和度對(duì)LOVE波相速度和衰減的影響

圖4給出了第n階模態(tài)波（n=1，2，3）對(duì)應(yīng)不同飽和度時(shí)的相速度曲線。在頻率較低時(shí)，地基中的Love波的波速與下部介質(zhì)中的剪切波速接近；當(dāng)頻率較高時(shí)，則趨近于上層地基中的剪切波速。從圖4可以看出，各種模態(tài)的Love波在不同飽和度條件下的波速都是隨著頻率增加而減小的。飽和度越高，Love波波速越低。這是由于Love波是由上下不同介質(zhì)中的剪切波SH波干涉產(chǎn)生的。當(dāng)飽和度升高時(shí)，上部土層中剪切波速減小，所干涉產(chǎn)生的Love波波速也隨之降低。從圖4看出，在頻率較低時(shí)，波速減小較快，當(dāng)頻率較高時(shí)，波速趨于緩慢。當(dāng)飽和度不同時(shí)，第1模態(tài)的Love波的截止頻率都等于0 Hz。但是從圖4看出，當(dāng)飽和度分別為：0.2，0.4，0.6，0.8 和 0.99 時(shí)，第 2 模態(tài)波的截止頻率值分別為：31 Hz，28 Hz，26 Hz，24 Hz 和23 Hz；第2模態(tài)波的截止頻率值分別為：61 Hz，58 Hz，51 Hz，48 Hz和45 Hz。因此，高模態(tài) （n≥2）的 Love波的截止頻率值和飽和度有關(guān)，飽和度越高，截止頻率越低。

圖5出了對(duì)應(yīng)不同飽和度時(shí)Love波的衰減曲線。從圖中可以看出，三種模態(tài)的Love波的衰減在不同飽和度條件下，都是隨著頻率的增加先迅速增加而后趨于緩慢。而且飽和度越高，波衰減越快。

圖4 不同飽和度時(shí)的Love波的頻散曲線Fig.4 Dispersion curve of Love waves with different saturation

圖5 不同飽和度時(shí)的Love波的衰減曲線Fig.5 Attenuation curve of Love waves with different saturation

4.3 飽和度對(duì)LOVE波水平位移分布的影響

圖6和圖7分別給出了頻率分別為10 Hz和40 Hz時(shí)不同飽和度時(shí)的第1階和第2階模態(tài)波水平位移分布曲線。圖中位移幅值均采用了無(wú)量綱化?？梢钥闯鯨ove波的最大位移總是出現(xiàn)在自由表面上。對(duì)于下部彈性半空間（z≤0）而言，飽和度的變化對(duì)其水平位移分布影響較為顯著。飽和度越高，水平位移幅值減小越快，相應(yīng)的位移影響深度越小。另外，從圖中可以看出，高階模態(tài)波的水平位移較低階模態(tài)波衰減更快，其位移影響深度也越小。

5 結(jié)論

本文運(yùn)用解析法建立了非飽和土層中Love波的彌散特征方程和位移方程，并利用迭代法對(duì)彌散方程和位移方程進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算分析。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，在實(shí)際工程中關(guān)注的頻域范圍內(nèi)（ω≤106Hz），地基中的剪切波速不受頻率變化影響，且隨飽和度增加而逐漸減少。

此外，算例結(jié)果表明飽和度對(duì)土層中Love波的波速、衰減和水平位移分布影響較為顯著。高階模態(tài)（n≥2）Love波的截止頻率和飽和度有關(guān)，飽和度越高，截止頻率越低。實(shí)際地震波的頻率較小，主要為第1階模態(tài)的Love波。本文理論為分析實(shí)際工程提供了理論依據(jù)，有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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