黃河下游水沙及平灘流量的多時(shí)間尺度分析

李夢楚，胡春宏

（中國水利水電科學(xué)研究院 流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100038）

小波分析是20世紀(jì)80年代初發(fā)展起來的一種信號時(shí)、頻局部化分析新方法。目前在信號處理、圖像壓縮、語音編碼、模式識別、地震勘探、大氣科學(xué)以及許多非線性科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)取得了大量的研究成果。隨著小波理論的形成和發(fā)展，它的優(yōu)勢逐漸引起許多水科學(xué)工作者的重視并且引入水文學(xué)科中［1-2］。水文時(shí)間序列是一個(gè)觀測到的樣本，是隨時(shí)間變化的時(shí)變序列，幾乎都是非平穩(wěn)的。對于這一類非平穩(wěn)序列，需要提取某一時(shí)段（或極小瞬間）的頻域信息，或某一頻段所對應(yīng)的時(shí)間信息。而小波變換是一種具有時(shí)頻多分辨率的分析方法，能把時(shí)間序列在時(shí)間和頻率域上同時(shí)展開，進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，研究它們在不同周期隨時(shí)間變化的特性［1］。

從1993年Kumar和Foufoular-Gegious［3］將小波變換介紹到水文學(xué)中，到目前已取得了一定的研究成果，主要表現(xiàn)在水文系統(tǒng)多時(shí)間尺度分析、水文時(shí)間序列變化特性分析、水文系統(tǒng)預(yù)測預(yù)報(bào)和水文系統(tǒng)隨機(jī)模擬等方面。關(guān)于黃河水沙變化的小波分析多是關(guān)于徑流量的分析［4-5］，也有一些關(guān)于上游輸沙量的分析［6］，但對于黃河下游研究較少，也沒有人把小波分析引進(jìn)到河床演變研究中來。

本文選取黃河下游小浪底、花園口、高村和利津四站，利用小波理論研究此4站的水量、沙量序列多時(shí)間尺度變化，并以花園口、高村、利津三站平灘流量序列作為河道斷面形態(tài)特征參數(shù)與水沙序列變化進(jìn)行對比，對于黃河下游水沙變化及水沙變化對斷面形態(tài)的影響研究都有重要意義。

1 小波方法概述［1］

1.1 小波函數(shù) 小波函數(shù)是具有震蕩特性、能夠迅速衰減到零的一類函數(shù)，即也稱基小波，其伸縮和平移構(gòu)成一簇函數(shù)系：

式中：Ψa，b(t)稱子小波；t為時(shí)間，a為尺度因子或頻率因子，反映了小波的周期長度；b為時(shí)間因子或平移因子，反映了在時(shí)間上的平移。

1.2 小波變換 對于能量有限信號f(t)∈L2(R)，其連續(xù)小波變換定義為

當(dāng)研究離散信號f(iΔt)(i=1，2，…，N；N為樣本容量；Δt為取樣時(shí)間間隔)時(shí)，式（2）的離散形式表達(dá)為

Wf(a，b)能同時(shí)反映時(shí)域參數(shù)b和頻域參數(shù)a的特性，它是時(shí)間序列f(t)或f(iΔt)通過單位脈沖響應(yīng)的濾波器的輸出。當(dāng)a較小時(shí)，對頻域的分辨率低，對時(shí)域的分辨率高；當(dāng)a增大時(shí)，對頻域的分辨率高，對時(shí)域的分辨率低。因此，小波變換實(shí)現(xiàn)了窗口的大小固定、形狀可變的時(shí)域局部化。

Wf(a，b)隨參數(shù)a和b變化，可作出以b為橫坐標(biāo)，a為縱坐標(biāo)的關(guān)于Wf(a，b)的二維等值線圖，稱為小波變換系數(shù)圖。通過小波變換系數(shù)圖可得到關(guān)于時(shí)間序列變化的小波變化特征。在尺度a相同情況下，小波變換系數(shù)隨時(shí)間的變化過程反映了系統(tǒng)在該尺度下的變化特征；正的小波變換系數(shù)對應(yīng)于偏多期，負(fù)的小波變換系數(shù)對應(yīng)于偏少期，小波變換系數(shù)為零對應(yīng)于突變點(diǎn)；小波變換系數(shù)絕對值越大，表明該時(shí)間尺度變化越顯著。

1.3 小波方差 將時(shí)間域上的關(guān)于a的所有小波變換系數(shù)的平方進(jìn)行積分，即為小波方差

小波方差隨尺度a的變化過程稱小波方差圖。它反映了波動(dòng)的能量隨尺度的分布。通過小波方差圖，可以確定一個(gè)水文序列中存在的主要時(shí)間尺度，即主周期。

2 水沙序列分析

水沙序列資料采用小浪底、花園口、高村、利津四站1952—2009年年水量、年沙量、汛期、非汛期水量、沙量資料。小浪底站年水沙量過程如圖1。

采用Morlet小波為母函數(shù)。Morlet小波為復(fù)數(shù)小波，定義為φ(t)=eiω0te-t22，式中ω0為常數(shù)且當(dāng)ω0≥5時(shí)Morlet小波就能近似滿足允許性條件，其小波變換系數(shù)的模和實(shí)部是兩個(gè)重要的變量。模的大小表示特征時(shí)間尺度信號的強(qiáng)弱，實(shí)部表示不同特征時(shí)間尺度信號在不同時(shí)間上的分布和位相兩方面的信息。將各序列和Morlet小波函數(shù)代入式（3），取不同的a和b，計(jì)算小波變換系數(shù)的模平方和實(shí)部，作它們的二維等值線圖，并求出小波方差，作圖。Morlet小波變換系數(shù)的模值表示能量密度，

由于運(yùn)用小波分析時(shí)間序列需較長資料序列，因此采用以端點(diǎn)為中心對稱延拓的方法將兩端數(shù)據(jù)外延，消除邊界效應(yīng)。同時(shí)為應(yīng)用方便將數(shù)據(jù)進(jìn)行距平處理。小波變換系數(shù)的模值越大，表明其所對應(yīng)的時(shí)段和尺度的周期性越明顯，模平方圖即能量圖；小波系數(shù)的實(shí)部包含著給定時(shí)間和尺度信號相對于其他時(shí)間和尺度信號的強(qiáng)度和位相兩方面的信息；小波方差的峰值則對應(yīng)主要周期，小波方差越大即表明在該尺度下周期變化明顯。

圖2（a）、（b）分別給出了小浪底站年水量距平序列Morlet小波變換系數(shù)的模平方和實(shí)部的時(shí)頻分布，（a）中虛線表示負(fù)位相，對應(yīng)偏少期，實(shí)線表示正位相，對應(yīng)偏多期，交替處即為突變點(diǎn)。由圖可以看出，18～30a時(shí)間尺度十分突出，周期中心在23a，在1952—2009年都表現(xiàn)明顯，正負(fù)位相交替出現(xiàn)。12～18a時(shí)間尺度也比較強(qiáng)，周期中心在14a，在1952—2009年都表現(xiàn)明顯，正負(fù)位相交替出現(xiàn)。2～6a時(shí)間尺度在1952—1980年表現(xiàn)比較明顯，周期中心主要在3a左右，正負(fù)位相交替出現(xiàn)。6～11a時(shí)間尺度在1968—1995年表現(xiàn)比較明顯，其周期中心在9a左右，正負(fù)位相交替出現(xiàn)。

由圖3（a）、（b）可以看出年沙量周期變化、強(qiáng)弱、突變點(diǎn)分布及其位相結(jié)構(gòu)。8～16a時(shí)間尺度表現(xiàn)明顯在1952—1990年左右，周期中心在11a，1985—2009年在此時(shí)間尺度附近體現(xiàn)為11～19a及5～10a時(shí)間尺度，周期中心分別為14a和8a。17～30a時(shí)間尺度在1952—2009年全時(shí)段都體現(xiàn)比較明顯，周期中心在23a。3～7a周期在1952—1995年表現(xiàn)比較明顯，周期中心主要在5a左右。30a以上周期也有所體現(xiàn)，但由于采用的時(shí)間序列較短，不很明顯。

用式（4）計(jì)算小波方差，并作出小浪底站年水沙量距平序列的小波方差圖如圖4、圖5。由圖可清楚看出，小浪底年水量具有3、9、14、23a的變化周期，其中23a是主要周期；小浪底年沙量具有5、11、23、36a的變化周期，其中11a是主要周期。1a自然周期能量也較大，但忽略之。

小浪底站年水量與年沙量序列總體來說變化規(guī)律是一致的，都體現(xiàn)出了4a左右、10a左右、23a左右的周期變化。同樣方法分析小浪底站汛期、非汛期水量、沙量以及花園口、高村、利津三站的年水沙量、汛期、非汛期水沙量，可得類似結(jié)果，將四站水沙變化周期列于表1（表中黑體表示為此序列主周期）?？芍髡鞠嗤蛄凶兓疽恢拢晁颗c汛期、非汛期水量變化周期也基本一致，非汛期沙量與年沙量、汛期沙量的周期稍有差異。水沙總體變化周期都是一致的。

中國大陸華北地區(qū)年降水存在2、4、7、15、26a左右的主周期，15a左右為第一主周期，西北地區(qū)存在2、4、9、20a左右的主周期，20a左右為第一主周期［11］。而太陽黑子存在9a、41a的周期變化特征［10］。故可知黃河下游水沙變化周期與年降水變化相關(guān)，可能也與太陽黑子活動(dòng)有關(guān)。

表1 四站水沙變化周期 （單位：a）

3 平灘流量分析

采用花園口、高村、利津三站1950—2008年平灘流量資料（來源于黃委會(huì)）?；▓@口站平灘流量序列如圖6。

同樣的，對平灘流量序列也進(jìn)行延拓、距平，進(jìn)行如上分析。以花園口為例，分析如下：

圖7（a）、（b）分別給出了花園口站平灘流量距平序列mor?let小波變換系數(shù)的模平方和實(shí)部的時(shí)頻分布，由圖可以看出花園口站平灘流量周期變化、強(qiáng)弱、突變點(diǎn)分布及其位相結(jié)構(gòu)。18～30a時(shí)間尺度十分突出，周期中心在24a，在1950—2008年都表現(xiàn)明顯，正負(fù)位相交替出現(xiàn)。12～20a時(shí)間尺度在1950—1975年表現(xiàn)明顯，周期中心在16a，正負(fù)位相交替出現(xiàn)。7～12a時(shí)間尺度在1975—2009年表現(xiàn)比較明顯，周期中心主要在10a左右，正負(fù)位相交替出現(xiàn)。5～10a時(shí)間尺度在1950—1975年表現(xiàn)比較明顯，其周期中心在7a左右，正負(fù)位相交替出現(xiàn)。作小波方差圖如圖8?？煽闯?4a時(shí)間尺度表現(xiàn)非常明顯，為花園口站平灘流量主要周期，其他周期表現(xiàn)較弱。

高村、利津兩站同理分析，將平灘流量變化周期列于表2（表中黑體表示為此序列主周期）。

由此可見，平灘流量的變化與水沙變化周期基本一致，平灘流量變化受到水沙變化周期影響。

4 不同尺度下水沙與平灘流量變化綜合分析

為進(jìn)一步分析，選取小尺度3a、中尺度10a、大尺度23a的各序列小波變換系數(shù)實(shí)部變化作圖進(jìn)行分析（以小浪底年水沙量、花園口平灘流量為例）。

圖9給出了小浪底站年水沙量及花園口站平灘流量3a的小波變換實(shí)部變化過程，正相位對應(yīng)偏多時(shí)期，負(fù)相位對應(yīng)偏少時(shí)期，小尺度下變異點(diǎn)不具有代表性，有許多偽突變點(diǎn)，應(yīng)在中尺度和大尺度下判斷，故變化點(diǎn)不一一列出。

表2 花園口、高村、利津平灘流量變化周期（單位：a）

由圖9可以看出，在20世紀(jì)70年代中期以前年水沙量序列與平灘流量序列變化基本一致；70年代中期到80年代中期這一時(shí)段內(nèi)，3個(gè)序列變化不同步，影響因素比較復(fù)雜，由于多時(shí)間尺度是從整體序列分析出來的，而同一尺度下的豐枯變化又是相對于本身序列的數(shù)值變化得出的［6］，初步分析認(rèn)為可能與1974年、1986年三門峽水庫調(diào)水調(diào)沙及1986年龍羊峽水庫建成運(yùn)用有關(guān)；80年代后期以后3個(gè)序列變化逐漸趨于一致，90年代后期到2003年左右平灘流量序列與水沙序列變化稍有紊亂后歸于一致，可能與小浪底水庫建成運(yùn)用有關(guān)。

圖10給出了小浪底站年水沙量及花園口站平灘流量10a的小波變換實(shí)部變化過程，可以看出：小浪底年水量序列在1953年以前、1958—1963年、1968—1973年、1977—1982年、1986—1991年、1996—2002年、2007年以后各時(shí)段為負(fù)相位，表示年水量偏少；而1953—1958年、1963—1968年、1973—1977年、1982—1986年、1991—1996年、2002—2007年各時(shí)段為正相位，表示年水量偏豐。由此可推斷在此尺度下2009年以后兩三年內(nèi)仍然處于流量偏少時(shí)段，2012年以后會(huì)處于流量偏豐時(shí)段。小浪底年沙量序列在1954年以前、1960—1965年、1970—1976年、1981—1986年、1991—1994年、1998—2003年、2007年以后各時(shí)段為負(fù)相位，表示年沙量偏少；而1954-1960年、1965—1970年、1976—1981年、1986—1991年、1994—1998年、2003—2007年各時(shí)段為正相位，表示年沙量偏多。由此可推斷在此尺度下2009年以后兩三年內(nèi)仍然處于年沙量偏少時(shí)段，2012年會(huì)處于年沙量偏多時(shí)段?；▓@口平灘流量序列在1953年以前、1957—1963年、1969—1974年、1979—1984年、1989—1994年、2000—2006年各時(shí)段為負(fù)相位，表示平灘流量偏??；而1953—1957年、1963—1969年、1974—1979年、1984—1989年、1994—2000年、2006年以后各時(shí)段為正相位，表示平灘流量偏豐。由此可推斷在此尺度下2009年以后兩年內(nèi)仍然處于平灘流量偏豐時(shí)段，2011年以后會(huì)處于平灘流量偏豐時(shí)段。

在中尺度下，水沙變化及平灘流量變化是一致的。沙量變化及平灘流量變化始終跟隨水量變化，符合實(shí)際力學(xué)規(guī)律，且能夠體現(xiàn)出河床演變滯后于水沙變化的現(xiàn)象，沒有明顯的紊亂的時(shí)段。

圖11給出了小浪底站年水沙量及花園口站平灘流量23a的小波變換實(shí)部變化過程，可以看出：小浪底年水量序列在1957年以前、1968—1980年、1991—2003年各時(shí)段為負(fù)相位，表示年水量偏少；而1957—1968年、1980—1991年、2003年以后各時(shí)段為正相位，表示年水量偏豐。由此可推斷在此尺度上2009年以后5、6a內(nèi)仍然處于流量偏豐時(shí)段，2015年以后會(huì)處于流量偏少時(shí)段。小浪底年沙量序列在1957—1969年、1980—1992年、2003年以后各時(shí)段為負(fù)相位，表示年沙量偏少；而1957年以前、1969—1980年、1992—2003年各時(shí)段為正相位，表示年沙量偏多。由此可推斷此尺度上2009年以后5、6a內(nèi)仍然處于年沙量偏少時(shí)段，2015年以后會(huì)處于年沙量偏多時(shí)段?；▓@口平灘流量序列在1956年以前、1967—1979年、1991—2003年各時(shí)段為負(fù)相位，表示平灘流量偏小；而1956—1967年、1979—1991年、2003年以后各時(shí)段為正相位，表示平灘流量偏豐。由此可推斷2009年以后5、6a內(nèi)仍然處于平灘流量偏豐時(shí)段，2015年以后會(huì)處于平灘流量偏少時(shí)段。

在大尺度下可看到，水沙序列呈相反趨勢，水量偏多期對應(yīng)于沙量偏少期，反之亦然。而平灘流量的變化基本與年水量變化一致，略有所超前，在圖9上補(bǔ)充了小浪底站汛期水量的變化，發(fā)現(xiàn)平灘流量的變化與汛期水量的變化更為吻合，是跟隨汛期水量變化而變化的，所以在長時(shí)間尺度上汛期水量對于造床的貢獻(xiàn)可能更大。

綜上可知，在大、中、小不同時(shí)間尺度上，水沙序列、平灘流量序列的小波變換實(shí)部變化基本一致，在小尺度和大尺度上體現(xiàn)出的不同步可能有兩個(gè)主要原因：一是黃河流域水沙異源的特性，二是人類活動(dòng)特別是大型水庫建設(shè)的影響。

將小浪底年水沙序列及花園口平灘流量序列在中、大尺度上得變異點(diǎn)列于表3。同尺度下各序列變異點(diǎn)基本吻合，比較穩(wěn)定。序列的奇異點(diǎn)可能在不同尺度上是不一致的，與時(shí)間尺度有關(guān)。一般在較大尺度上尋找奇異點(diǎn)，從而判斷奇異性的存在，但也要綜合各個(gè)尺度進(jìn)行系統(tǒng)分析。此結(jié)果基本吻合1960年三門峽水庫建成投運(yùn)，1968年劉家峽水庫蓄水運(yùn)用，1969年開始的三門峽水庫第二期改建，2002年小浪底水庫建成完工等大的歷史事件，故人類活動(dòng)在很大程度上影響了水沙序列的變化，下游河道也因此產(chǎn)生很大影響。

表3 小浪底年水沙序列及花園口平灘流量序列在10a、23a時(shí)變異點(diǎn)

5 結(jié)語

從1952年到2009年，下游來水來沙經(jīng)歷了3個(gè)階段：1960年以前的天然階段、1960—1999年三門峽水庫單獨(dú)運(yùn)用階段以及1999年以后小浪底水庫投入運(yùn)用。本文選取全時(shí)段進(jìn)行研究，先在多時(shí)間尺度層面對整個(gè)黃河下游水沙及平灘流量變化周期進(jìn)行了整體規(guī)律的研究，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律比較明顯，又在不同時(shí)間尺度上進(jìn)行了分析，從宏觀到微觀，總結(jié)了在不同自然條件及人類活動(dòng)影響下黃河下游的變化情況。通過對黃河下游小浪底、花園口、高村、利津4站水沙序列及花高利三站平灘流量序列進(jìn)行小波分析，發(fā)現(xiàn)了在多時(shí)間尺度下水沙與平灘流量的變換特征，結(jié)果表明：（1）黃河下游水量主要存在3a、9a、14a、23a變化周期，其中23a為最顯著周期；沙量主要存在5a、11a、23a、36a變化周期，其中11a為最顯著周期；平灘流量主要存在24a變化周期。水沙序列存在相似的多時(shí)間尺度變化特征，平灘流量序列受到水沙序列顯著周期的影響。水沙變化周期與華北、西北地區(qū)降水變化周期基本吻合，也可能與太陽黑子變化有關(guān)。（2）在小尺度（3a）下，年水量、年沙量、平灘流量曲線變化基本一致，在某些時(shí)段發(fā)生紊亂；在中尺度（10a）下，年水量、年沙量、平灘流量曲線變化有一定相關(guān)性及同步性，相位基本一致；而大尺度（23a）下，年水量、平灘流量曲線變化基本一致，平灘流量與汛期流量變化相關(guān)性更強(qiáng)，與年沙量序列相位相反。各尺度下水量變化、沙量變化與平灘流量變化有所不一致可能是由于受到人類活動(dòng)及自然情況的影響，也可能是自然規(guī)律的反映，需進(jìn)一步研究。（3）各尺度下各序列的突變點(diǎn)基本一致，隨著時(shí)間尺度的增大，小時(shí)間尺度上的一些突變點(diǎn)逐漸退化為平常點(diǎn)，相反，隨著時(shí)間尺度的降低，除原有的突變點(diǎn)外，還不斷增加突變點(diǎn)，大時(shí)間尺度上的一些平常態(tài)，在低層次看來則是突變態(tài)。因此，突變點(diǎn)與時(shí)間尺度有密切關(guān)系。黃河下游水沙及平灘流量序列的突變點(diǎn)主要為1957、1968、1980、1991、2003年左右。

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