惠特尼1934～1936年微分流形工作的歷史分析

鄧明立 王 濤

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，石家莊 050024)

哈斯勒·惠特尼(Hassle Whitney，1907～1989)是著名的美國(guó)數(shù)學(xué)家，專長(zhǎng)為微分拓?fù)洌缒暄芯繄D論，1982年沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主。惠特尼一生發(fā)表近80篇論文，三部專著，即《幾何積分論》(Geometric integration theory，1957)、《復(fù)解析簇》(Complexanalyti varieties，1972)和《數(shù)學(xué)活動(dòng)》(Math activities，1974)。他是一系列新概念、新理論的開創(chuàng)者，其中最主要的是擬陣、上同調(diào)、纖維叢、示性類、分類空間、分層等。［1］

評(píng)價(jià)一個(gè)數(shù)學(xué)家的尺度多種多樣，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，其中獲得獎(jiǎng)項(xiàng)無(wú)疑是一個(gè)重要的方面，特別當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)家連續(xù)獲得多項(xiàng)大獎(jiǎng)，足以說(shuō)明他所從事的數(shù)學(xué)工作的重要性和大家對(duì)他的認(rèn)可。從惠特尼獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)來(lái)說(shuō)，我們不難看出惠特尼是20世紀(jì)有很大影響力的數(shù)學(xué)家?；萏啬嵊?936年發(fā)表在數(shù)學(xué)年刊(Annals of Math)上的《微分流形》(Differentiablemanifolds)系統(tǒng)闡述了他關(guān)于微分流形的認(rèn)識(shí)，這之前他已經(jīng)通過2篇論文建立了自己的理論，但以這篇文章最系統(tǒng)，現(xiàn)已成為經(jīng)典文獻(xiàn)，1966年菲爾茲獎(jiǎng)得主斯梅爾(S.Smale，1930～)的獲獎(jiǎng)?wù)撐募匆昧嘶萏啬岬倪@篇文獻(xiàn)，另外從Google學(xué)術(shù)搜索上可以看到這篇文章的引用次數(shù)高達(dá)586次!

微分拓?fù)涞闹饕芯繉?duì)象是微分流形，而微分流形能起到將拓?fù)?、代?shù)、幾何、分析以及理論物理緊密聯(lián)系在一起的中心作用(如李群是微分流形)，這些學(xué)科的日益融合已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展的主流方向之一，有關(guān)流形的研究在20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。微分流形已經(jīng)成為微分幾何、微分方程和微分拓?fù)溲芯康闹饕獙?duì)象之一。

惠特尼熱愛爬山，喜歡音樂，他的數(shù)學(xué)風(fēng)格就像爬山一樣充滿了探險(xiǎn)精神而并不局限于某一領(lǐng)域。1929年他考上了伯克霍夫(G.D.Birkhoff，1884～1944)的博士研究生，致力于圖論研究，后受困于四色猜想，又由于他對(duì)函數(shù)幾何性質(zhì)的喜愛，便轉(zhuǎn)向了拓?fù)鋵W(xué)。在轉(zhuǎn)向拓?fù)洳坏絻扇甑臅r(shí)間里便給出了微分流形的一般定義，證明了嵌入定理，完成了微分流形內(nèi)外蘊(yùn)定義的統(tǒng)一，這些現(xiàn)在已經(jīng)成為微分流形的基本定理。

由于微分流形在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要性，數(shù)學(xué)史家對(duì)其已有不少歷史研究。其中迪厄多內(nèi)(J.Dieudonné，1906～1992)從代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)涞臍v史角度對(duì)惠特尼關(guān)于微分流形的工作進(jìn)行了粗略的論述［2］;20世紀(jì)80年代，數(shù)學(xué)史家肖爾茲(E.Scholz)在專著［3］中詳細(xì)論述了流形自黎曼(C.F.B.Rimeann，1826～1866)到龐加萊(H.Poincaré，1854～1912)時(shí)期的發(fā)展歷史，其后又在《流形的概念，1850～1950》(The Concept of Manifold，1850～1950)對(duì)流形后續(xù)的歷史進(jìn)行了補(bǔ)充研究［4］;尤拉托(Giuseppe Iurato)的《關(guān)于微分流形的歷史》(On the History of Differentiable Manifolds)對(duì)微分流形的歷史演變進(jìn)行了深度分析［5］，但微分流形拓?fù)鋵W(xué)的歷史仍留有不少問題。其中迪厄多內(nèi)在《代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)涞臍v史，1900～1960》中指出正是惠特尼首先給出了內(nèi)蘊(yùn)定義的微分流形存在嵌入的證明，不僅如此，惠特尼還考慮了這些嵌入流形的整體性質(zhì)。但何以惠特尼能率先完成這一開創(chuàng)性研究呢?迪厄多內(nèi)沒有給出原因。另外，肖爾茲沒有涉及惠特尼的貢獻(xiàn)。尤拉托雖然提到了惠特尼的工作，但他主要是論述被忽略的意大利數(shù)學(xué)家迪尼(Dini)在微分流形概念演變中所做的貢獻(xiàn)?？傮w來(lái)說(shuō)，有關(guān)論述惠特尼對(duì)微分流形貢獻(xiàn)的文獻(xiàn)偏少，這與惠特尼所做的貢獻(xiàn)不相稱，對(duì)微分流形的歷史也是一個(gè)缺失。鑒于此，筆者在掌握原始文獻(xiàn)和研究資料的基礎(chǔ)上，試圖回答上述遺留問題，給出1934～1936年惠特尼關(guān)于微分流形工作完整的歷史分析。

1 惠特尼轉(zhuǎn)向拓?fù)湓虺跆?/h2>

惠特尼的祖父是語(yǔ)言學(xué)家，外祖父是天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，并曾任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主席，父親是法官，母親雖然是個(gè)藝術(shù)家，但是卻對(duì)政治異常感興趣，少時(shí)惠特尼只喜歡做機(jī)械玩具，并沒有數(shù)學(xué)上的偏好。然而他還是走上了外祖父的道路而沒有像父母一樣熱衷于政治，否則這將是數(shù)學(xué)界的一個(gè)重大損失。1921～1923年，惠特尼到瑞士上學(xué)，除了學(xué)習(xí)法文和德文外，最讓他興奮的是學(xué)會(huì)了高超的爬山技術(shù)。1924年他到耶魯大學(xué)學(xué)習(xí)物理，1928年取得物理學(xué)士學(xué)位，出于對(duì)音樂的熱愛，惠特尼僅用一年又取得了音樂學(xué)士學(xué)位，這無(wú)疑說(shuō)明了惠特尼在音樂方面的天分。大學(xué)畢業(yè)后，由于對(duì)四色問題感興趣，他考取了哈佛大學(xué)伯克霍夫的博士研究生，在伯克霍夫的指導(dǎo)下，惠特尼成長(zhǎng)很快，到1932年拿到博士學(xué)位時(shí)，他已經(jīng)寫了近10篇論文，完全是圖論的。由于他工作出色，1931～1933年任美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)研究員，1933年在哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系任講師，這時(shí)他的方向也從圖論改為拓?fù)洹＃?］

那么惠特尼是如何從圖論轉(zhuǎn)向拓?fù)鋵W(xué)的呢?筆者認(rèn)為有以下三個(gè)方面的原因。

1.1 惠特尼的圖論研究中廣泛存在著拓?fù)鋵W(xué)思想

哥尼斯堡七橋問題和四色猜想是圖論中的兩個(gè)經(jīng)典問題，也是圖論和拓?fù)鋵W(xué)的共同起源，圖論和拓?fù)溆泻芏嘞嗨浦帲缍伎紤]整體性質(zhì)，忽略距離因素等。

惠特尼在1931～1934年的主要興趣在于圖論(解決四色猜想)，這一時(shí)期他發(fā)表了十多篇文章，所用的方法主要是拓?fù)鋵W(xué)方法。

在惠特尼有關(guān)圖論的論文中，廣泛存在著諸如(圖)同構(gòu)、(圖)連通、(圖)對(duì)偶、(圖)嵌入等術(shù)語(yǔ)［6］，以及在同胚意義下對(duì)圖進(jìn)行分類［7］，他還定義了圖的拓?fù)洳蛔兞浚?］，而按照同胚對(duì)拓?fù)淇臻g進(jìn)行分類是拓?fù)鋵W(xué)永恒的主題，這都和他后來(lái)轉(zhuǎn)入拓?fù)鋵W(xué)有相當(dāng)大的關(guān)聯(lián)。惠特尼對(duì)圖論做了很大的貢獻(xiàn)，其關(guān)于圖論的工作主要分為四個(gè)方面:可平面圖，可平面圖的哈密頓回路，著色問題以及擬陣?yán)碚摚?］。筆者認(rèn)為惠特尼關(guān)于可平面圖的研究和他后來(lái)證明的嵌入定理在思想上是一脈相承的。

在圖論中，可平面圖是指有平面嵌入的一類圖，一個(gè)平面嵌入可用一個(gè)一一映射來(lái)表示?？善矫鎴D涉及圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即一個(gè)線路能否展布在平面上而不相交，這要求圖不可有自交點(diǎn)。平面圖的研究顯然涉及平面拓?fù)鋵W(xué)，尤其是若爾當(dāng)曲線定理，好在這個(gè)定理已經(jīng)于1905年由維布倫(O.Veblen，1880～1960)證明了。

微分流形的嵌入也是一個(gè)一一映射，即要求流形以一一的方式映入歐氏空間，而流形的象集顯然是歐氏空間的一個(gè)子流形并且要求和原流形是微分同胚的。

圖和流形分別是圖論和拓?fù)鋵W(xué)的主要研究對(duì)象，由于各式各樣的圖和流形非常之多，因此數(shù)學(xué)家追求刻畫同胚意義下的圖和流形來(lái)做代表，圖的可平面化和流形嵌入正是這個(gè)意義下的同胚，由于同胚要求映射為一一映射，故反映在圖論上要求一個(gè)圖在嵌入時(shí)任意兩邊不能相交。而在流形上稍復(fù)雜，要求切映射不能退化，兩者都要求不允許出現(xiàn)自交點(diǎn)，在這一點(diǎn)上兩者是一樣的。而嵌入的對(duì)象平面和歐氏空間則要求簡(jiǎn)單和重要。

1930年，波蘭數(shù)學(xué)家?guī)炖蟹蛩够?K.Kuratowski，1896～1980)在研究一維圖嵌入到平面這一問題時(shí)，得到了一個(gè)基本定理，一個(gè)圖能嵌入到平面當(dāng)中，當(dāng)且僅當(dāng)它們不含K5和K3，3為子圖?；萏啬嵬ㄟ^自己建立的對(duì)偶概念重新證明了這一定理［10］，這使得他對(duì)于這一定理有了深刻的理解。之后他轉(zhuǎn)向了拓?fù)鋵W(xué)，類似于圖論，惠特尼開始考慮微分流形是否有像可平面圖那樣的性質(zhì)。

其實(shí)，從現(xiàn)代觀點(diǎn)來(lái)看，這二者的數(shù)學(xué)意義是一樣的。

因此惠特尼和歐拉(L.Euler，1707～1783)、庫(kù)拉托夫斯基等被認(rèn)為是拓?fù)鋱D論的先驅(qū)。

惠特尼的圖論工作主要圍繞四色猜想展開，這個(gè)猜想在當(dāng)時(shí)幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意力，惠特尼取得了不小的進(jìn)展，他得到了幾個(gè)與四色猜想等價(jià)的命題，但發(fā)現(xiàn)證明它們頗為困難，這些都或多或少促使惠特尼轉(zhuǎn)向了拓?fù)?。離開自己耕耘的圖論，對(duì)于惠特尼來(lái)說(shuō)似乎是無(wú)可奈何，然而從另一方面說(shuō)，惠特尼無(wú)疑又是幸運(yùn)的，這是因?yàn)樵谒篮媲?，惠特尼及時(shí)地扭轉(zhuǎn)了方向，從而不至于把自己限制在這個(gè)難題里面。不僅如此，惠特尼準(zhǔn)確地把握住了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)主流，他適時(shí)地轉(zhuǎn)入了拓?fù)鋵W(xué)并做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，微分拓?fù)鋵W(xué)由此得以興起和發(fā)展。

如此看來(lái)，惠特尼轉(zhuǎn)入拓?fù)鋵W(xué)真是自己和數(shù)學(xué)界的大幸!

1.2 惠特尼的幾何思想為微分流形的研究奠定了先決條件

惠特尼一生的興趣始終在函數(shù)的幾何性質(zhì)上，這一點(diǎn)可從他的專著《幾何積分論》看出，他以幾何的觀點(diǎn)重新闡述了微積分理論，這點(diǎn)與分析學(xué)家頗有不同，惠特尼關(guān)于微分流形的研究成果也總結(jié)在該書中［11］。早在他從事圖論的研究過程中，他開始著手解決這樣一個(gè)問題:函數(shù)的延拓。

這個(gè)問題始自英年早逝的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家烏雷松(P.Urysohn，1898～1924)，1925年烏雷松證明了:如果A是n維歐氏空間E中的閉子集，f(x)為A中定義的連續(xù)函數(shù)，則f可延拓成為整個(gè)E上的連續(xù)函數(shù)F［12］。

惠特尼的想法是，把連續(xù)映射推廣到可微的情形?，F(xiàn)在看來(lái)，這一轉(zhuǎn)變對(duì)于惠特尼的研究方向所起的作用越來(lái)越不可忽視。筆者認(rèn)為這一轉(zhuǎn)變起著從圖論轉(zhuǎn)向微分流形中轉(zhuǎn)站的作用。有了這一套工具在手，惠特尼從微分的觀點(diǎn)來(lái)看拓?fù)洌@與之前的方式大不相同，正是這一觀點(diǎn)上的轉(zhuǎn)變，為惠特尼從事微分流形的研究奠定了先決條件。

1932年惠特尼證明了:存在F不僅連續(xù)，而且在E-A上可微，甚至解析;如果f(x)在A中m次可微，則在A上，F(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)與f的對(duì)應(yīng)相等［13］?；萏啬岵粌H考慮了A為閉集，而且考慮了A為任意子集的情形，接著他研究了泰勒展開余項(xiàng)的可微性［14—17］。但這是一個(gè)非常困難的問題，直到2005年才得到了完全的解決。

惠特尼關(guān)于函數(shù)幾何性質(zhì)的一系列工作的最大特點(diǎn)是十分重視歐氏空間上分析的一些技巧，這些技巧在之后惠特尼研究微分流形浸入和嵌入中得到了應(yīng)用。

至此我們大體得到了惠特尼從圖論轉(zhuǎn)到拓?fù)鋵W(xué)的路線:惠特尼從1931～1934年主要從事兩個(gè)方向的研究:圖論和函數(shù)的幾何性質(zhì)。由于圖論方向受困于四色猜想，惠特尼轉(zhuǎn)而研究函數(shù)的幾何性質(zhì)，在可平面圖思想的指引下，函數(shù)幾何性質(zhì)的技巧可完全用于證明微分流形的嵌入，至此惠特尼轉(zhuǎn)到微分流形可以說(shuō)是水到渠成了。

1.3 惠特尼與其他拓?fù)鋵W(xué)家的交流強(qiáng)化了惠特尼與拓?fù)涞年P(guān)聯(lián)

惠特尼不愿意在一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)做過多的停留，這點(diǎn)在他身上體現(xiàn)的淋漓盡致，其實(shí)這是和惠特尼高度原創(chuàng)性分不開的，一般認(rèn)為惠特尼是個(gè)特立獨(dú)行的人［2，19］。另一點(diǎn)值得注意的是，雖然如此，但他不是閉門造車，其實(shí)他也和其他一些數(shù)學(xué)家有交流。這些數(shù)學(xué)家中有:亞歷山大(J.W.Alexander，1888 ～1971)、霍普夫(H.Hopf，1894 ～1971)、德拉姆(G.de Rham，1903～1990)等。亞歷山大、德拉姆也是著名的登山專家，他們?cè)跉W洲數(shù)次攀爬阿爾卑斯山?；萏啬崦鞔_表示非常欣賞德拉姆的工作［20］，無(wú)獨(dú)有偶，德拉姆正是以微分不變量定義了拓?fù)洳蛔兞?，他以微分的形式定義了一種同調(diào)，現(xiàn)在看來(lái)，這種同調(diào)是一種上同調(diào)，德拉姆的巧妙之處在于用到了微分流形上函數(shù)可微的優(yōu)良性質(zhì)。

至此看來(lái)，與其說(shuō)惠特尼轉(zhuǎn)向拓?fù)溆衅渑既恍裕蝗缯f(shuō)惠特尼轉(zhuǎn)入拓?fù)涫且患厝恢隆?/p>

從表1中我們能清晰地看到惠特尼從1931～1936年研究方向的轉(zhuǎn)變。1931～1933年間，惠特尼致力于四色問題的證明，共發(fā)表了9篇圖論方面的論文。從1934年開始，惠特尼開始對(duì)微分映射的幾何性質(zhì)感興趣，這種愛好伴隨了他一生。在這短短的一年里，惠特尼連續(xù)發(fā)表了5篇關(guān)于可微函數(shù)的論文［13—17］，這時(shí)他的主要精力已集中于拓?fù)鋵W(xué)。1935年，除了在圖論方向給出了擬陣?yán)碚摰牡旎晕恼峦猓溆鄤t是關(guān)于可微函數(shù)解析延拓和微分流形［18，22—23］。1936年惠特尼發(fā)表了他的《微分流形》，為微分流形的基本概念劃上了完美的句號(hào)?；萏啬?931～1936年發(fā)表的文章類別和數(shù)目見表1。

表1 惠特尼1931～1936年的論文

因此，筆者認(rèn)為:1934年可以算做惠特尼轉(zhuǎn)入拓?fù)鋵W(xué)的初始時(shí)間，1935年惠特尼完全轉(zhuǎn)入拓?fù)鋵W(xué)，因?yàn)檫@一年在莫斯科召開了一次拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)。

2 惠特尼和1935年莫斯科拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)

1935年9月4日到10日在莫斯科召開的國(guó)際拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)是一次真正意義上的大規(guī)模專門會(huì)議，幾乎所有拓?fù)鋵W(xué)的頭面人物都出席了，包括后來(lái)對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)影響很大的馮諾依曼(John Von Neumann，1903 ～1957)和韋伊(AndréWeil，1906 ～1998)，這次會(huì)議非常成功，取得了圓滿的結(jié)果，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響［20，21］。

20世紀(jì)30年代，由于希特勒的上臺(tái)和排猶政策，整個(gè)歐洲可謂是山雨欲來(lái)風(fēng)滿樓，大戰(zhàn)一觸即發(fā)。隨著一大批德國(guó)數(shù)學(xué)家移居美國(guó)，德國(guó)數(shù)學(xué)界一蹶不振，哥廷根學(xué)派已然不可和過去30年同日而語(yǔ)。而另一個(gè)數(shù)學(xué)大國(guó)法國(guó)正處于人才斷層時(shí)期，到那時(shí)還沒有完全從第一次世界大戰(zhàn)中恢復(fù)過來(lái)，整個(gè)法國(guó)對(duì)歐洲大陸包括拓?fù)鋵W(xué)在內(nèi)的新數(shù)學(xué)幾乎一無(wú)所知。雖然有布爾巴基學(xué)派奮起直追，但是仍然落后于其他國(guó)家。剩下的則是一些小國(guó)，如荷蘭和瑞士，雖有一些數(shù)學(xué)家在從事拓?fù)鋵W(xué)工作，但其規(guī)模和所起的作用顯然不能和法國(guó)、德國(guó)當(dāng)年輝煌時(shí)相提并論。西歐受法西斯影響很大，但東歐的數(shù)學(xué)發(fā)展十分良好，波蘭強(qiáng)烈的民族數(shù)學(xué)精神鼓舞著每一位波蘭拓?fù)鋵W(xué)家，蘇聯(lián)更是有以亞歷山大洛夫(P.S.Aleksandrov，1896～1982)為首的莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派。

在大西洋的另一邊，普林斯頓高等研究院剛剛成立，6位研究人員中竟然有4位是拓?fù)鋵W(xué)家，他們是外爾(H.Weyl，1885～1955)、亞歷山大、維布倫、莫爾斯(H.M.Mrose，1892～1977)，20世紀(jì)以來(lái)美國(guó)拓?fù)鋵W(xué)始終保持著強(qiáng)勁的勢(shì)頭。

進(jìn)入20世紀(jì)30年代以后，原先停頓的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)又得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，那個(gè)階段拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展最終體現(xiàn)在莫斯科拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)。1935年9月惠特尼作為美國(guó)代表團(tuán)幾位成員之一參加了在蘇聯(lián)莫斯科舉行的國(guó)際拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)。

這次大會(huì)成為拓?fù)鋵W(xué)史的里程碑，其數(shù)學(xué)意義主要在于:由于在上同調(diào)群中引入了上積的概念，從而可使上同調(diào)群賦予環(huán)的結(jié)構(gòu)，這是之前同調(diào)群中所沒有的性質(zhì)，因此可視為上同調(diào)理論的開端;而且在之前1932年蘇黎世國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上被壓制的同倫群理論再次被提出來(lái)，同倫理論開始真正發(fā)展起來(lái);再次，關(guān)于向量叢認(rèn)識(shí)上的成熟直接指向纖維叢和示性類理論，這些都極大地促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展。

本次大會(huì)對(duì)惠特尼產(chǎn)生了巨大的影響［20］，首先是對(duì)惠特尼信心的鼓舞，有如此大的學(xué)術(shù)共同體，使惠特尼興奮不已，這極大地堅(jiān)定了惠特尼從事拓?fù)鋵W(xué)的決心。此外，惠特尼還逐漸形成了自己的研究風(fēng)格。他自己十分喜歡微分，因而在當(dāng)時(shí)他青睞德拉姆的工作，而霍普夫又是他最喜歡的數(shù)學(xué)家，他的目的就是綜合二者所長(zhǎng)，用現(xiàn)代的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)也就是尋找代數(shù)拓?fù)渑c微分拓?fù)涞年P(guān)聯(lián)，筆者認(rèn)為他的研究風(fēng)格很大程度上決定了他這三年來(lái)的研究方向。

莫斯科拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)之后，年青一代拓?fù)鋵W(xué)家逐漸接替了老一代拓?fù)鋵W(xué)家，惠特尼正是在這次大會(huì)后脫穎而出的。從某種程度上說(shuō)，莫斯科拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)是歐洲數(shù)學(xué)最后繁榮的一個(gè)縮影。由于各種原因，蘇聯(lián)拓?fù)鋵W(xué)每況愈下，而西歐的血雨腥風(fēng)使得大量數(shù)學(xué)家逃往美國(guó)，拓?fù)鋵W(xué)的中心這時(shí)才真真正正地移到了美國(guó)。

3 惠特尼1934—1936年微分流形工作的歷史分析

流形的概念起源于黎曼，歷經(jīng)龐加萊、外爾和其他數(shù)學(xué)家的研究，到了20世紀(jì)30年代，已經(jīng)初步給出了流形的公理化定義。需要指出的是，當(dāng)時(shí)人們對(duì)于流形的認(rèn)識(shí)尚處于初級(jí)階段，即對(duì)拓?fù)淞餍魏臀⒎至餍尾患訁^(qū)分，雖然獨(dú)立定義了拓?fù)淞餍魏臀⒎至餍危撬腥硕颊J(rèn)為凡是拓?fù)淞餍伪乜梢再x予唯一的微分結(jié)構(gòu)，因此定義拓?fù)淞餍魏臀⒎至餍卧谏厦孢@些數(shù)學(xué)家眼里是等價(jià)的。為了研究流形的幾何、拓?fù)湟约爸\求計(jì)算上的方便，很多數(shù)學(xué)家選用微分流形作為出發(fā)點(diǎn)。微分流形上有大量的可微函數(shù)，而函數(shù)可微是非常好的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，維布倫和懷特黑德(J.H.C.Whitehead，1904～1960)于1931年和1932年給出了高維流形的公理化內(nèi)蘊(yùn)定義。

黎曼在1854年《論幾何學(xué)的基本假設(shè)》中首先提出了n維流形的概念，他把n維流形設(shè)想為局部與n維歐氏空間相仿的對(duì)象。黎曼的思想是將高斯(C.F.Gauss，1777～1855)的曲面內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)推廣到任意維數(shù)，所謂內(nèi)蘊(yùn)就是幾何性質(zhì)不依賴于外在空間的選取，因此黎曼的流形定義是內(nèi)蘊(yùn)的。由于當(dāng)時(shí)根本沒有度量空間和拓?fù)淇臻g的概念，所以黎曼腦海中的流形是一個(gè)相當(dāng)原始的概念。1900年希爾伯特(D.Hilbert，1862～1943)嘗試以鄰域定義二維流形，顯示了公理化的威力。外爾在查閱了希爾伯特的論文后，于1913年首先在他的名著《黎曼面的思想》中內(nèi)在地定義了二維復(fù)流形，這成為日后定義微分流形的模范。［3］

19世紀(jì)末，龐加萊在引進(jìn)組合拓?fù)鋵W(xué)基本概念的同時(shí)，通過一系列方程和不等式定義了n維流形［3］。由于方程和不等式依賴于歐氏空間的選取，因此龐加萊的定義是外蘊(yùn)的。換句話說(shuō)，是作為已經(jīng)嵌入于歐氏空間中的子流形來(lái)定義的。流形的內(nèi)外蘊(yùn)定義方式是一個(gè)值得研究的問題，內(nèi)蘊(yùn)定義的微分流形是否一定可以在某個(gè)歐氏空間中“實(shí)現(xiàn)”為子流形?這顯然是一個(gè)基本的問題，而且長(zhǎng)時(shí)間沒有得到解決。

1934年惠特尼轉(zhuǎn)入拓?fù)鋵W(xué)之后馬上意識(shí)到這些問題很重要，從1935年開始，惠特尼在美國(guó)國(guó)家科學(xué)院學(xué)報(bào)(Proc.Nat.Acd.Sci)和數(shù)學(xué)年刊上先后發(fā)表了4篇關(guān)于微分流形的文章，文章給出了微分流形的抽象定義，證明了現(xiàn)在被稱之為惠特尼浸入和嵌入定理的命題，發(fā)展了球叢(纖維叢)的概念，并定義了后來(lái)以其名字命名的示性類①中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊為其命名，即惠特尼示性類。，從而一舉奠定了惠特尼在拓?fù)鋵W(xué)的地位。

惠特尼在1935～1936年先后發(fā)表的四篇文章，分別是《歐氏空間中的微分流形》［22］(Differentiable manifolds in Euclidean Space)、《球空間》［23］(Sphere Spaces)、《微分流形》［24］以及《流形在一組解析流形的嵌入》［25］(The Imbedding of Manifolds in Families of Analytic Manifolds)，在這四篇文章中，以第一篇和第三篇的歷史意義最為巨大，現(xiàn)代數(shù)學(xué)史著作中多提到的就是這兩篇。

惠特尼在1935年的《歐氏空間中的微分流形》率先完成了這一開創(chuàng)性的研究，此文章于1935年9月刊于數(shù)學(xué)年刊。這篇文章的主旨是對(duì)歐氏空間中抽象微分流形的嵌入理論進(jìn)行總結(jié)?；萏啬岙?dāng)時(shí)用的嵌入是imbedding，現(xiàn)在已經(jīng)普遍用embedding，兩者并無(wú)意義上的不同。

惠特尼給出一個(gè)非常重要的概念:浸入(immersion)，他稱為正則映射(regularmap)，這是Cr映射，滿足其切映射在每一點(diǎn)的局部范圍內(nèi)是單射?；萏啬衢_篇寫到:

我們?cè)谶@里給抽象的微分流形在歐氏空間中的嵌入以及解析流形對(duì)這些流形的逼近進(jìn)行一個(gè)總結(jié)。作為一個(gè)推論，任何微分流形可以被賦予解析黎曼度量。(［22］，462 頁(yè))

整篇文章為三個(gè)部分:第一部分是微分流形在歐氏空間的嵌入，在這里惠特尼給出了微分流形的定義，論述了嵌入定理。第二部分是解析流形對(duì)微分流形的逼近，第三部分是微分流形在一族解析流形的嵌入。

惠特尼的部分術(shù)語(yǔ)和現(xiàn)在不同，惠特尼統(tǒng)一稱為“嵌入”，但意義是一樣的。由正則Cr映射引導(dǎo)的“嵌入”就是現(xiàn)代意義下的浸入，如果這個(gè)映射還是一一映射則就是現(xiàn)代意義下的嵌入。

由于在第三部分中，涉及“正則位置”這個(gè)概念，而惠特尼說(shuō)明，如果M是一個(gè)微分流形，則M處于正則位置當(dāng)且僅當(dāng)球空間是一個(gè)乘積空間。而這和球叢理論是分不開的，于是惠特尼接著發(fā)了一篇論文《球空間》，和上面那篇論文連在一起發(fā)表在數(shù)學(xué)年刊上。

在這篇文章中惠特尼給出了球空間的定義和具體例子，并定義了相同底空間上不同球空間的不變量，但是這篇文章和上面那篇文章一樣，都沒有給出詳細(xì)的證明。這以后惠特尼并沒有在球空間上過多停留，而是繼續(xù)研究微分流形的嵌入理論，直到1937年的文章又重新提到球空間，并指出球空間在微分流形的拓?fù)渲姓加兄匾匚?。?shí)際上惠特尼對(duì)球空間和示性類的研究主要是為了用于證明更高層次的浸入和嵌入定理。

這兩篇文章并不長(zhǎng)，合起來(lái)共8頁(yè)，類似于一個(gè)摘要。1936年惠特尼發(fā)表的兩篇文章是對(duì)這兩篇文章的擴(kuò)充，并給出了詳細(xì)的證明。

1935年9月在莫斯科拓?fù)鋾?huì)議召開之際，惠特尼提交了《微分流形》，這篇文章于1936年2月10日刊于數(shù)學(xué)年刊，這正是微分拓?fù)涞牡旎?。開篇惠特尼就交代了研究問題的實(shí)質(zhì):

這篇論文的主要目的是為微分流形的拓?fù)浜陀橙肫渌餍蔚挠成涞囊话阊芯刻峁┮粋€(gè)純粹的具有解析特征的工具。一個(gè)微分流形一般被認(rèn)為有兩種定義，一是局部鄰域同胚于n維歐氏空間，這些鄰域的重疊部分由微分變換聯(lián)系，或者作為n維歐氏空間的子集，由附近的每一個(gè)點(diǎn)定義為表達(dá)一些在其他方面的可微函數(shù)的坐標(biāo)來(lái)定義。(［24］，645頁(yè))

這其實(shí)就是論述微分流形內(nèi)外蘊(yùn)定義的區(qū)別，第一個(gè)定義就是微分流形的內(nèi)蘊(yùn)定義，這個(gè)定義是由維布倫和懷特黑德給出的，惠特尼對(duì)這個(gè)定義進(jìn)行了修改，從而使這個(gè)定義更一般，也更接近現(xiàn)代。第二個(gè)定義則完全由惠特尼獨(dú)創(chuàng)，即考慮定義在歐氏空間中的子流形。但是這兩個(gè)定義是什么關(guān)系呢?對(duì)此惠特尼給出了兩個(gè)基本的定理:

第一個(gè)基本定理就是第一個(gè)定義并不比第二個(gè)定義寬泛，任何微分流形都可以嵌入在歐氏空間中。(［24］，645頁(yè))

顯然惠特尼認(rèn)為內(nèi)蘊(yùn)定義的微分流形都可以嵌入到歐氏空間中而作為歐氏空間的子流形，這使得一系列問題得到了簡(jiǎn)化。

第二個(gè)基本定理就是處理流形的光滑化問題。(［24］，645頁(yè))給出基本定理后，惠特尼更加詳細(xì)地闡述了嵌入情況，指出嵌入的情形很大程度上依賴于歐氏空間的維數(shù)，并提出解析流形能否以解析的方式嵌入到歐氏空間中的問題。然后惠特尼論述了證明方法綜述:

如果流形是閉的，則定理的大部分證明依賴于魏爾斯特拉斯逼近定理;如果流形是開的，則定理必須由相應(yīng)的定義在開集上的函數(shù)取代，而其中最有用的就是閉集上可微函數(shù)的解析延拓。(［24］，646頁(yè))

惠特尼早在1934年就已經(jīng)完成閉集上可微函數(shù)解析延拓的研究，這使得惠特尼可以從容地面對(duì)這個(gè)問題。

整個(gè)文章分為6個(gè)部分:其中第一部分是定義和初始結(jié)果，第二部分是主要定理的論述，第三部分論述嵌入定理，第四部分論述En中流形的鄰域，第五部分是關(guān)于解析流形的，第六部分為定理2的證明。

之后惠特尼又發(fā)表了《流形在一組解析流形的嵌入》(The Imbedding of Manifolds in Families of Analytic Manifolds)，這是對(duì)1935年發(fā)表的那篇《歐氏空間中的微分流形》第Ⅲ部分的詳細(xì)論述，至此惠特尼的嵌入定理完全得到了證明。

惠特尼關(guān)于微分流形的認(rèn)識(shí)十分清晰?；萏啬崾紫冉o出微分流形的內(nèi)蘊(yùn)定義，繼而給出正則映射，即定義了浸入和嵌入，這之后開始致力于證明嵌入定理。整個(gè)定理的證明非常巧妙，首先證明映射在一個(gè)局部坐標(biāo)域上可以經(jīng)過小的擾動(dòng)而變成正則映射，然后證明正則映射在緊集上是穩(wěn)定的，這兩者結(jié)合保證可以一小塊一小塊地對(duì)f作微小修改，最后在整個(gè)流形上得到一個(gè)正則映射。這種方法在以后逐漸被提煉為單位分解。單位分解已成為處理流形局部和整體最有力的工具之一，在微分流形的幾何、拓?fù)?，?dòng)力系統(tǒng)中運(yùn)用廣泛?；萏啬嶂钥梢赃\(yùn)用他之前的工作，源于管狀鄰域的概念，這點(diǎn)在處理流形的光滑化問題中作用非常明顯，而且從現(xiàn)代觀點(diǎn)來(lái)看，這與嵌入流形的法叢是等同的。

惠特尼關(guān)于微分流形的外蘊(yùn)定義其實(shí)是更高一層次的定義，也就是涉及微分流形的表示問題。筆者認(rèn)為，微分流形的嵌入理論和他在圖論中有關(guān)可平面圖的研究在思想上是一脈相承的，這使得惠特尼能夠以流形的表示理論來(lái)研究微分流形。而同時(shí)基于對(duì)閉集上可微函數(shù)解析延拓的研究，惠特尼運(yùn)用了魏爾斯特拉斯定理及其推廣，成功地解決了微分流形的基本問題，并由此開創(chuàng)了一門新分支——嵌入理論。到現(xiàn)在為止，這門分支已經(jīng)有了大量成果。不僅如此，關(guān)于嵌入定理的研究還激發(fā)了惠特尼對(duì)于球空間和示性類的研究，這正是纖維叢理論的核心所在［26］。

由于惠特尼在《微分流形》詳細(xì)地對(duì)嵌入定理進(jìn)行了證明，從而使得微分流形這一概念得到了本質(zhì)上的澄清，關(guān)于內(nèi)蘊(yùn)定義的流形是否可以嵌入到歐氏空間中的問題被徹底弄清楚了?；萏啬岬墓ぷ饕唤?jīng)發(fā)表便產(chǎn)生了非常大的影響，關(guān)于微分流形是否可三角剖分的問題立刻被解決，同時(shí)還可直接推出微分流形都可賦予黎曼結(jié)構(gòu)，這大大簡(jiǎn)化了之前的證明。隨著微分流形概念的成熟，微分拓?fù)?、現(xiàn)代李群和整體微分幾何開始興起，它們之間的交叉融合對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展起到了巨大的推動(dòng)作用。

惠特尼的影響遍及全世界，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)也有著深遠(yuǎn)的影響。陳省身(1911～2004)曾經(jīng)說(shuō)過，在拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)之后，惠特尼代表了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展方向?；萏啬彡P(guān)于微分流形、纖維叢和示性類的工作，為陳省身的研究打開了道路［27］。吳文俊(1919～)也是從惠特尼球叢乘積公式的顯式證明開始學(xué)習(xí)和研究代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的，惠特尼可謂對(duì)吳先生影響深遠(yuǎn)，著名的吳公式就是有關(guān)惠特尼示性類的表示公式，以及獲得過國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)的示嵌類工作正是惠特尼嵌入理論的繼承和發(fā)展［28］。

《微分流形》一文中給出的定義和概念基本上成了微分拓?fù)涞臉?biāo)準(zhǔn)定義，而文中所采用的方法更是滲透到整個(gè)數(shù)學(xué)中。因此，該文在數(shù)學(xué)史上占有非常重要的地位，一般認(rèn)為，惠特尼1936年發(fā)表的《微分流形》是微分拓?fù)涞拈_端，是微分拓?fù)漕I(lǐng)域的經(jīng)典之作。

4 結(jié)論

1934～1936年，惠特尼的主要貢獻(xiàn)是建立微分流形的拓?fù)鋵W(xué)，更具體地說(shuō)是給出了微分流形的內(nèi)外蘊(yùn)定義，并且證明二者是等價(jià)的。

需要注意的是惠特尼一開始是研究圖論的。在從事圖論工作的同時(shí)，他也進(jìn)行著可微映射的研究，二者的結(jié)合使惠特尼能夠從微分流形的表示入手進(jìn)行微分流形的研究。

惠特尼在1934～1936年的工作，確立了他微分拓?fù)涞旎说牡匚?。從現(xiàn)代觀點(diǎn)來(lái)看，惠特尼大大強(qiáng)化了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)涞穆?lián)系。他在1934～1936這三年的工作，涉及上同調(diào)，微分流形的浸入和嵌入，纖維叢和示性類理論。這些都是代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)涔灿械母拍詈凸ぞ?，至少?0年代到50年代之間，代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)溥€遠(yuǎn)未分離，微分拓?fù)溥€遠(yuǎn)沒有獨(dú)立于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，認(rèn)為惠特尼之后微分拓?fù)渚瞳@得長(zhǎng)足發(fā)展的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。實(shí)際上一直到1956年米爾諾(J.W.Milnor，1931～)的7維怪球才使得微分拓?fù)湔嬲?dú)立于拓?fù)鋵W(xué)，那就是研究微分結(jié)構(gòu)和微分同胚不變量。

惠特尼的工作可謂是獨(dú)樹一幟，因?yàn)?0年代的代數(shù)拓?fù)溥h(yuǎn)沒有今天這樣完善，各種同調(diào)論不但使人混亂不堪，而且上同調(diào)到底是怎么回事仍然不是很清楚，在這種情況下，惠特尼的工作彌足珍貴。在代數(shù)拓?fù)浞矫?，惠特尼不但?dú)立地提出了上積的概念，而且恐怕是最早理解上同調(diào)深刻之處的數(shù)學(xué)家，他關(guān)于纖維叢分類的工作無(wú)疑涉及了代數(shù)拓?fù)涞暮诵?如同倫論)。不僅如此，惠特尼對(duì)于幾何的喜愛使他非常注重微積分的應(yīng)用，他以微分的觀點(diǎn)來(lái)研究拓?fù)?，這些成果后來(lái)總結(jié)在他出版的《幾何積分論》中?；萏啬峥创?fù)涞牡挠^點(diǎn)多少與當(dāng)時(shí)的普遍看法不同，當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家對(duì)微分根本不屑一顧，繼續(xù)采用組合的辦法，卻忽略了微分流形的拓?fù)鋵W(xué)。因此我們可以這樣說(shuō)，惠特尼是當(dāng)時(shí)少有的同時(shí)兼顧到兩方面的數(shù)學(xué)家。正是由于惠特尼的工作，微分拓?fù)涞靡蚤_端和肇始。

與美國(guó)早期的拓?fù)鋵W(xué)家不同，作為美國(guó)本土培育的數(shù)學(xué)家，惠特尼敏銳地捕捉到了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展方向。他1936年提出的微分流形和可微映射的現(xiàn)代定義，使得微分拓?fù)鋵W(xué)有了自己的研究對(duì)象，這無(wú)疑是開創(chuàng)性的，雖然美國(guó)的拓?fù)鋵W(xué)一直很強(qiáng)，但拓?fù)鋵W(xué)的主要思想來(lái)自龐加萊和歐洲，從惠特尼開始，美國(guó)在拓?fù)鋵W(xué)上的原創(chuàng)性陡然增強(qiáng)，正如他自己所說(shuō)，這次拓?fù)鋵W(xué)真正意義上移到了美國(guó)。

總之，這三年是惠特尼的一大巔峰時(shí)期，雖然這只是惠特尼從圖論轉(zhuǎn)到拓?fù)鋵W(xué)的牛刀小試，但其對(duì)微分流形的嵌入思想已經(jīng)形成，1944年惠特尼將自己在1936年的工作又大大推進(jìn)一步，證明了更強(qiáng)的嵌入定理?，F(xiàn)在公認(rèn)惠特尼是莫斯科拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)后所有拓?fù)鋵W(xué)家中最出色的一個(gè)，他的工作博大精深，指引了下半個(gè)世紀(jì)整個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，值得我們?nèi)プ鲞M(jìn)一步的研究和分析，從某種程度上說(shuō)，我們的工作才剛剛開始。

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