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    具有對數(shù)奇性耦合的半線性拋物方程組的全局解與猝滅

    2012-02-06 03:11:00孫仁斌袁海峰
    關(guān)鍵詞:拋物邊值問題方程組

    孫仁斌,袁海峰

    (中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢430074)

    本文考慮如下拋物方程組的初邊值問題:

    其中Ω是N維空間中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,常數(shù) α,β>0,0<b<1.

    對于問題(1),由于方程中對數(shù)項具有奇異性,如果在某一時刻,解函數(shù)u或者v的值趨近于b,問題就會發(fā)生所謂的猝滅現(xiàn)象,其定義如下:

    如果存在有限時刻T,使得:

    成立,就稱問題(1)的解在時刻T猝滅.

    關(guān)于單個拋物方程的初邊值問題:

    其中f(s)具有奇性:對于猝滅現(xiàn)象的研究始于文獻(xiàn)[1],文獻(xiàn)[2]給出了問題存在整體解的條件,在文[3-5]中,針對Ω為一維區(qū)間及n維球形區(qū)域的情形進(jìn)行討論,在文獻(xiàn)[6,7]中,對Ω為任意的n維區(qū)域的情形進(jìn)行討論.一些早期的結(jié)果的基本結(jié)論是:當(dāng)區(qū)域Ω充分小時,解的存在是整體的,當(dāng)Ω充分大時,解會在有限時刻發(fā)生猝滅現(xiàn)象.更進(jìn)一步,關(guān)于猝滅時間的估計,猝滅點(diǎn)集的數(shù)量以及猝滅速率的估計和解在猝滅時刻的漸近分析等,大多都是針對f(s)=(1-s)-α的情形,展開深入的分析,已經(jīng)取得了相當(dāng)豐富的結(jié)果.在文獻(xiàn)[8]中,當(dāng)問題(2)中的f(s)=-ln(αs),Ω是一維區(qū)間的情形時,進(jìn)行了討論.在文獻(xiàn)[9]中,對f(s)=-αln(b-u)且Ω?RN時的情形進(jìn)行了討論,得到了解在有限時刻發(fā)生猝滅的條件,并對猝滅速率進(jìn)行了估計.

    對于拋物方程組的猝滅現(xiàn)象的研究,近年來也有了一些結(jié)果[10-12],大多也是針對方程組右邊的奇性函數(shù)為f(u,v)=(1-v)-α,g(u,v)=(1-u)-β的情形進(jìn)行討論.

    本文討論的問題(1)中方程組右邊的奇性函數(shù)為對數(shù)函數(shù),與冪函數(shù)比較,其引發(fā)猝滅的能力要更弱一些,因此討論起來難度會更大一些.我們將文獻(xiàn)[9]中關(guān)于單個方程的結(jié)果經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚恚茝V到方程組的情形,得到了解全局存在和在有限時刻猝滅的條件.

    1 全局解的存在性

    為了得到問題(1)的全局解,我們要設(shè)法找到它的一個全局存在的上解.為此考察與之對應(yīng)的帶有奇性的橢圓方程組的邊值問題:

    在區(qū)域Ω的外部取定一個點(diǎn)x0=(x01,x02,…,x0N),令k是一個待定的正數(shù),γ=max(α,β),構(gòu)造函數(shù):

    引理1由(4)式定義的函數(shù)F(k,d)一定有正的最大值D*.

    證明要使F(k,d)>0,只需,或(4k-γekd2)d2>2N,所以,只要取k,d,使:

    就有F(k,d)>0,而當(dāng)k,d充分大時,F(xiàn)(k,d) 顯然是有界的,因此引理的結(jié)論成立.

    下面我們構(gòu)造問題(3)的上解.令:

    經(jīng)過計算有:

    設(shè)D為Ω的直徑,則x∈Ω時有d2≤|x-x0|2≤(d+D)2,為使(7)式成立,只需:

    而γ=max(α,β),因此當(dāng)D≤F(k,d)時,上述不等式成立.

    在邊界x∈ ?Ω 上,要使 ˉu≥ 0,ˉv≥ 0,只需:

    現(xiàn)在假設(shè)當(dāng)k,b在滿足不等式(8)的條件下,函數(shù)F(k,d)在k=k0,d=d0點(diǎn)取到正的最大值D*,再取一點(diǎn)x0?Ω,使dist(x0,Ω)=d0,由此按照(6)式構(gòu)造的函數(shù)就是問題(3)的一個上解,即得到定理1.

    定理1存在正數(shù)D*,使得當(dāng)區(qū)域Ω的直徑D不超過D*時,問題(3)存在上解.

    關(guān)于D的取值范圍,我們可以作一些分析.

    由于F(k,d) ≥D≥0,故或:

    選取k使4k-γekd2最大,即,此時,不等式(9)式化為:

    不等式(8)化為:

    由此可以得到拋物方程組的初邊值問題(1)的全局解的存在性.

    定理2在定理1的條件下,問題(1)存在全局解.

    證明設(shè)U(x),V(x)是問題(3)的一個正解,則容易驗證是問題(1)的一個上解是問題(1)的一個下解,則問題(1)在上解與下解之間存在唯一解[13].而上解與下解都是全局存在的,因此問題(1)存在全局解.

    2 解的有限猝滅

    設(shè)λ1與φ(x)是如下特征值問題的第一特征值與相應(yīng)的特征函數(shù):

    則 λ1>0,且當(dāng)x∈Ω時,φ(x)>0,我們假設(shè)利用問題(1) 中的方程,我們有:

    由Jensen不等式,有:

    類似地有:

    記 δ=min(α,β).兩式相加得:

    令g(s)=-λ1s-δln(2b2-bs),0<s<2b,則當(dāng)λ1時,g(s)>0, 記有,記則h1(0)=2b2ln(2b2)<0,0,且0,因此函數(shù)h'(s)在(0,2b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)s0,易知h(s0)是h(s)在(0,2b)內(nèi)惟一的最小點(diǎn),設(shè)相應(yīng)的最小值為:

    我們知道,特征值λ1與區(qū)域Ω有關(guān),Ω越大,λ1越小,由此我們可得到這一部分的主要結(jié)果.

    定理3設(shè)m為由(13)式給出的正常數(shù),2b2<1,區(qū)域Ω適當(dāng)大,使λ1<m,則問題(1)的解在有限時刻發(fā)生猝滅,且猝滅時刻T滿足T1≤T≤T2,其中:

    證明設(shè)問題(1)的解的最大存在區(qū)間為[0,.當(dāng) 0<t<T時因此w(t)<2b,由(12)式及λ1<m有w'(t)>0,于是兩邊積分得:

    令t→T,有w(t)≤2b,因此T≤T2成立.由于T2<+∞,故有T<+∞,即問題(1)的解會在有限時刻發(fā)生猝滅.

    為了得到猝滅時刻T的下限,考慮初值問題:

    易知解W(t)的最大存在區(qū)間是[0,T1],t<T1時,W(t)<b.令,則是問題(1) 的一個上解[13],故有u(x,t)≤W(t),v(x,t) ≤W(t),于是sup(u(x,t),v(x,t))≤W(t),如果T<T1,令t→T-,得W(T) ≥b,產(chǎn)生矛盾,從而T≥T1成立,證畢.

    [1] Kawarada H.On solutions of initial-boundary value problem forut=uxx+1/(1 -u)[J].Publ Res Inst Math Sci,1975,10:729-736.

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