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    “近似”——科學(xué)的普遍方法

    2012-02-05 07:58:56劉春紅
    長春大學(xué)學(xué)報 2012年12期
    關(guān)鍵詞:迭代法折線步長

    劉春紅

    (長春大學(xué)光華學(xué)院 基礎(chǔ)教研部,長春 130033)

    0 引言

    “近似”,在哲學(xué)上論述為“抓住主要矛盾,舍去次要矛盾”?!白プ≈饕?,舍去次要矛盾”,是講人們認(rèn)識自然現(xiàn)象,描述自然規(guī)律,運(yùn)用自然規(guī)律的方法。

    自然科學(xué)家對“近似”的體會,理解同樣深刻?!叭魏卫碚摱贾皇窃诓煌潭壬蠈ψ匀唤绲哪承┓矫娴摹敖啤保加幸欢ǖ?,由自然界本身實驗來確定的有效范圍”?!霸跀?shù)學(xué)上總是力求嚴(yán)格,即指在一定統(tǒng)一假設(shè)下進(jìn)行推理,避免半途作隨心所欲的假設(shè)”。[1]“微積分就是“近似”,略去高階無窮小”。(南開大學(xué)數(shù)學(xué)研究所《科學(xué)報告》)。

    在自然科學(xué)中,一門科學(xué)在開始研究之前,總是提出基本假設(shè)。這就是告訴人們,這門科學(xué)的“主要矛盾”是什么,在何種條件下研究物質(zhì)運(yùn)動,這門科學(xué)理論適用范圍。提出基本假設(shè),就是“近似”。這就是真理的相對性。

    1 數(shù)值的近似

    1.1 一段長度的測量

    一段長度,100人測量,幾乎會得到100個長度數(shù)值。盡管各不相同,但100人測量結(jié)果的主要數(shù)值(數(shù)值中的大數(shù)部分)是相同的。各不相同,就是“近似”。主要數(shù)值相同,就是“絕對”存在于“相對”之中。

    1.2 無理數(shù)e

    2.7是e,2.71是e,2.718也是e,…那么,無理數(shù)e到底是什么?最后,則認(rèn)為無理數(shù) e就是“數(shù)列{en}(n=1,2,...)”,式中

    每一個en”就是無理數(shù)e,即en=e,這就是“絕對”存在于“相對”之中。而en≠e,即en又不是e。這就是“近似”。若將e當(dāng)成“絕對真理”,en當(dāng)成“相對真理”,“無數(shù)相對真理之總和”就被描述成:

    1.3 函數(shù)的增量與微分

    設(shè)函數(shù)y=y(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),于是,在點(diǎn)x0附近,

    則有

    函數(shù)增量Δy等于d y,又不等于d y。Δy等于d y,“絕對真理存在于相對真理之中”,Δy又不等d y,這又是“近似”。函數(shù)增量Δy等于d y,是有條件的,這就是|Δx|<<1。當(dāng)條件|Δx|<<1不成立時,再使Δy等于d y,“真理就變成謬誤”。

    2 微分方程的近似解法

    考慮初值問題:

    其中 f(x,y)在區(qū)域 R:|x-x0|≤a,|y-y0|≤b 上連續(xù)。

    2.1 Euler折線法

    早在十八世紀(jì),Euler就根據(jù)微分方程的幾何解釋,提出用簡單的折線來近似地描繪所要尋求的積分曲線。后人稱這種方法為Euler折線法。它標(biāo)志了微分方程近似方法的開端。

    對積分區(qū)間作剖分:

    圖1 積分區(qū)間剖分圖

    取步長 h=xi+1-xi=const.。于是

    即有

    于是,初值問題(1)解 y(x)在 x1,x2,...,xn,...的值y(x1),y(x2),...,y(xn),...就是方程(2)的解 y1,y2,...,yn.....這就是“近似”。方程積分曲線 y=y(x)就用折線 y=y^(x)來近似地代替。

    圖2 Euler折線與積分曲線圖

    當(dāng)步長h越來越小時,折線y^(x)就越來越靠近積分曲線y(x)。當(dāng)h→0時,則y^(x)→y(x)。

    2.2 Picard 迭代法

    初值問題(1)的精確解還可以用解析函數(shù)逐步逼近,這一方法稱為迭代法。由(1),d y=f(x,y)d x,積分之,再應(yīng)用初值條件y(x0)=y0,有

    積分方程與初值問題(1)等價。取y0(x)=y0開始迭代,有

    于是得到函數(shù)數(shù)列:

    若函數(shù)數(shù)列{yn(x)}收斂,yn(x)→y(x)(n→∞)(a<x<b),則 y(x)是(2.3)的解,

    當(dāng)然,也是(1)的解。

    3 結(jié)語

    由上述幾個具體問題,我們知道:

    (1)任何科學(xué),都是在一定條件下,對事物、運(yùn)動、過程等的“近似”描寫。而且“基本”正確(或“相對”正確,不是“絕對”正確)。

    (2)當(dāng)具體理論的成立條件改變時,相應(yīng)的理論也必須修正,使之適合新的條件。這就是列寧所說的“真理總是具體的”。

    (3)自然科學(xué)中到處都是“相對絕對的道理”,“無數(shù)相對真理之總和就是絕對真理”。亦即,“近似”是科學(xué)的普遍方法,至少是自然科學(xué)的普遍方法。

    [1] 郭仲衡.非線性彈性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1980.

    [2] 殷有泉.材料力學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1990.

    [3] 林家翹,L.A.西格爾,自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1986.

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