對稱導數(shù)在研究函數(shù)上的應用

高靜華，梁 波

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

0 引言

微積分中，導數(shù)是研究函數(shù)性質的核心內(nèi)容，對于其它導數(shù)建立相應的微積分理論也有部分研究，比如本文涉及的對稱導數(shù)(［1］)，其在文獻［2，3，4］中已有部分結果。不同于微積分中的普通導數(shù)(參考［5］)，在文獻［1］中，介紹了對稱導數(shù)的定義、運算法則及中值定理。這篇文章里，在［1］的基礎上，考慮對稱導數(shù)的應用價值，探討其和函數(shù)的單調性、極值之間的關系。

為文章完整性，先給出對稱導數(shù)定義:

定義1(參考［1］) 設函數(shù)f是定義在開區(qū)間J上的函數(shù)，［a，b］是J上的閉子區(qū)間，x∈［a，b］。若極限

則稱此極限的f在點x的對稱導數(shù)，記作fs(x)。

從對稱導數(shù)定義來看，如果一個函數(shù)在x點具有經(jīng)典導數(shù)，那么它一定對稱可導，并且導函數(shù)是相同的，這是因為:

假設函數(shù)f(x)在x點具有經(jīng)典導數(shù)，這意味著存在數(shù)f'(x)使得

驗證極限

上述討論，簡單地說就是可導必對稱可導。反之不是不對的，反例可參考文獻［1］和［2］。

下面逐一介紹對稱導數(shù)在函數(shù)單調性，極值等問題上的結論。

1 主要結果

定理1(嚴格單調的充分條件)設函數(shù)f在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，fs在開區(qū)間(a，b)上存在且?x∈(a，b)，有fs(x)＞0(fs(x)＜0)，則函數(shù)f在區(qū)間［a，b］上嚴格增加(嚴格減少)。

證明僅證明嚴格增加的情況，類似的思路可證嚴格減少的情況。

?x1x2∈［a，b］，且x1＞x2，由對稱導數(shù)的廣義微分中值定理(定理內(nèi)容見［1］)，存在y1∈(a，b)，使得

于是，f(x1) ＞f(x2)，即函數(shù)f在［a，b］上嚴格增加。

在數(shù)學分析中，通過通常的導數(shù)的正負性可判斷一些函數(shù)的單調性。在這里，通過定理1可以發(fā)現(xiàn)，用對稱導數(shù)的正負性來判斷函數(shù)的單調性，應用的范圍廣了很多，這是由于通常的導數(shù)比對稱導數(shù)更強造成的。

通過例1可以知道，f在0點不存在通常的導數(shù)，所以無法借助通常的導數(shù)來解決此題，但f的對稱導數(shù)存在，可用定理1來解決這個問題，這是研究對導數(shù)的價值和優(yōu)點所在。以定理1為基礎，可獲得函數(shù)極值的判別法。

證明僅證極大點的情況，類似方法可證極小點的情況。?x∈(a-δ，a)，由題設知f在［a-δ，a］上連續(xù)，在(a- δ，a)上對稱導數(shù)存在且fs(x) ＞0，應用定理 1，函數(shù)f在(a-δ，a］嚴格增加，即?x∈(a-δ，a］，有f(x)≤f(a)。

同理，?x∈(a，a+δ)，f在［a，a+δ］上連續(xù)，在(a，a+ δ)上對稱導數(shù)存在且fs(x) ＜0，由定理1，函數(shù)f在［a，a+δ)嚴格減少，則?x∈［a，a+δ)，有f(x)≤f(a)。

于是，?x∈(a-δ，a+δ)，有f(x)≤f(a)，即a是函數(shù)f的極大點，f(a)是極大值。

例2證明0是函數(shù)f(x)=|x|的一個極小點。

分析由于f(x)在0點不存在通常的導數(shù)，所以不能利用通常的導數(shù)來解決這個問題，但f(x)在0點存在對稱導數(shù)且fs(0)=0，套用定理2的條件可以證得此題，由此也進一步體現(xiàn)了對稱導數(shù)的優(yōu)點。

定理3函數(shù)f在a的某鄰域U(a)存在二階對稱導數(shù)，且fs(a)=0，f和fs連續(xù)。

1)當fss(x)＞0(?x∈U(a))時，a是極小點;

2)當fss(x)＜0(?x∈U(a))時，a是極大點。

證明僅證明情況1)，情況2)類似可證。由題設，?δ＞0，使得fs在［a-δ，a+δ］?U(a)上滿足廣義微分中值定理(參考［1］)條件，?x1(a-δ，a+δ)，使得

由定理2知，a是函數(shù)f的極小點。

例3證明0 是函數(shù)f(x)={x2，x≥0，2x2，x＜0，的極小點。

分析函數(shù)f在0點不存在二階通常的導數(shù)，所以不能利用通常的高階導數(shù)辦法解決此題，但我們可以利用定理3，因為fs(0)=0且即fss＞0，由定理3得證0是極小點。

關于對稱導數(shù)的研究不止于此，經(jīng)典微積分中涉及的有關導數(shù)的研究及應用能否延伸到對稱導數(shù)上來，仍是較為有趣的問題。

［1］汪林.數(shù)學分析問題研究與評注［M］.北京:科學出版社，1995.

［2］梁波，王玉斌.對稱導數(shù)及其相關理論［J］.渤海大學學報，2004，12(4):25-28.

［3］祝英杰，李冠英.二元函數(shù)的對稱偏導數(shù)及其相關理論［J］.長春大學學報，2007(10):20-23.

［4］周相泉，于興江.對稱導數(shù)及其性質［J］.聊城師院學報，1994，7(2):17-20.

［5］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義［M］.北京:高等教育出版社，1992.