利用弦振動方程研究駐波特性

王 榮，牛英煜

（大連交通大學理學院，遼寧大連116028）

1 引 言

2列等振幅的相干波相向傳播，疊加后即可形成駐波.弦振動形成的駐波是大學物理實驗中[1－6]研究駐波最典型的例子.在大學物理教材中，通常利用2列分別沿x軸正、負方向傳播的振動方向相同、振幅相同、頻率相同的平面余弦波的疊加來研究弦振動形成的駐波.如用A表示振幅，ν為頻率，則波函數u與時間t及坐標x的關系可寫為

式（1）無法描述駐波的形成過程以及空氣阻力等因素對駐波的影響.對于弦振動的駐波實驗，由于弦振動較快，直接清晰地觀測駐波的形成過程以及任意時刻弦振動的情況比較困難.

為了能夠較為準確地研究駐波的振動過程，通過數值求解弦振動微分方程，得到不同時刻的振動波形，可以研究弦振動形成的駐波及其相關特性.

2 弦振動微分方程

設弦上每一點與x軸垂直振動，而且在振動的每一時刻弦位于x軸的一個平面.u表示弦離開平衡位置的位移，則u為弦上點的橫坐標x和時間t的函數.如弦的張力為T，密度為ρ，則弦的振動方程可寫為[7]

式（2）中忽略了弦的重力.當物體的運動速度遠小于炮彈速度時，空氣阻力與速度與正比[8]，單位長度的弦受到的阻力為F＝－ρkv（v為弦運動速度，k為阻力系數）.如考慮空氣阻力，則式（2）應寫為

弦振動實驗一端為振源，另一端固定不動，屬于有界弦的強迫振動.初始時刻（t＝0），振動端不振動，弦上各點位移與速度都為0，則式（3）滿足初始條件：

如果振源以正弦函數方式振動，則式（3）滿足邊界條件：

式中：l為弦長，ν為振源的振動頻率.

由產生駐波的條件可知，弦長應為半波長的整數倍，即：

由于弦線中橫波的傳播速度為

弦長l可寫為

式（3）可通過數值方法進行求解，來獲得不同時刻弦上各點的位移，進而得到各時刻弦振動形成的波形.

3 計算結果

式（4）中的k為空氣阻力系數，為確定其數值，我們模擬計算了文獻[9]的實驗結果，計算結果如圖1所示.計算中振源的頻率ν＝100Hz，振源振幅為0.12cm，a＝88m／s.當弦長l＝127.5 cm時，空氣阻力系數取k＝50時，波腹的最大振幅為0.25cm，與實驗結果相同.因此，在計算中，空氣阻力系數取為50.當k＝50時，計算了l＝121.0cm與l＝92.5cm時的波腹振幅，其值分別為0.16cm與0.27cm（實驗結果為0.175cm與0.245cm）.計算結果表明：隨著弦長的減小，波腹振幅先減小后增大，與實驗結果基本一致.

圖1 弦長與波腹振幅的變化關系

圖2 不同時刻弦振動波形

圖2為不同時刻弦振動形成的波形，計算的參量與圖1相同，駐波數n為5.從圖中可以看出，當t＝0.01s時，振源振動形成的機械波從右向左運動；當t＝0.02s時，機械波傳播到左側的固定端；當t＝0.04s時，從固定端反彈回的機械波與振源生成的機械波發(fā)生相干，使左側的振幅大于右側，同時在位置44，88，132，176，220cm附近形成波節(jié).t＝0.12s時的波形與t＝0.25s時的波形基本相同，表明當t＞0.12s時，穩(wěn)定的駐波已經形成.圖2描述了駐波的形成過程.從圖2可以看出，即使形成穩(wěn)定的駐波，駐波中的各波腹的振幅并不完全相等.這主要是因為機械波在傳播過程中，由于空氣阻力的影響，能量逐漸減弱，入射波與反射波的振幅不相等，導致疊加后的波腹振幅有微小的差別.

圖3為空氣阻力系數k取不同值時弦振動形成的駐波.圖3中的實線、虛線與點劃線分別表示時間為1.010，1.011，1.014s時弦的振動狀態(tài).在通常的大學物理教材中，利用式（1）得到的駐波波形圖，其任意時刻形成的波形的波節(jié)位置都是不變的.利用弦振動方程得到的圖3表明，靠近固定端的波節(jié)在不同時刻位置都是相同的，而靠近振源處的波節(jié)，在不同時刻波節(jié)位置有較小的變化，此結果與利用頻閃燈觀察到的現像相同[1].從圖3還可以看出隨著阻力系數的增加，振源附近的波節(jié)在不同時刻位置變化的幅度增大，波腹的振幅減小.對于不同時刻，弦的振動速度不同，空氣對弦振動的阻力也不同.圖3中，當k從5增加到50時，t＝1.014s時駐波波腹的振幅由1.9cm減小到0.19cm，t＝1.010s時駐波波腹的振幅由1.4cm減小到0.24cm.t＝1.014s時駐波波腹的振幅的變化大于t＝1.010s時駐波波腹振幅的變化.說明空氣阻力系數對t＝1.014s時刻駐波振幅的影響更大.

圖3 k取不同值時弦振動波形

從式（7）可以看出，當弦長l取不同值時，其形成的駐波波節(jié)數n也不同.圖4為n取不同值時，駐波波腹處于最大值時的振動波形.弦長l由式（7）得出，其他參量與圖1相同.當n＝3時，駐波波腹最大振幅約為0.3cm.當n＝5時，駐波波腹最大振幅約為0.2cm.這主要是因為振源單位時間內產生的能量是固定的，隨著弦長的增加，生成的波腹數增加，每個波腹分配到的能量減小，因而振幅也隨之減小.

圖4 n取不同值時弦振動波形

4 結束語

本文利用弦振動方程研究了弦上駐波的特性.通過數值求解有界弦的強迫振動方程計算了駐波的形成過程，空氣阻力以及弦長對駐波的影響.結果表明，靠近振源處的波節(jié)在不同時刻其位置有所不同，并隨空氣阻力的增大波節(jié)位置變化幅度增大；弦長越長，形成駐波波腹的最大振幅越小.由于弦振動方程能夠較為準確的描述出弦振動形成駐波的過程以及駐波的特性，因此它對于教師的教學和學生的學習都是很有幫助的.

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