基于計算機實測技術(shù)的雙自由度振動規(guī)律驗證

李 巖，封 玲

（深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東深圳518060）

1 引 言

振動系統(tǒng)的自由度等于描述振動系統(tǒng)運動所必須的獨立坐標的數(shù)目，需要n個獨立坐標來描述運動的系統(tǒng)稱為n自由度系統(tǒng).隨著振動系統(tǒng)自由度的增多，振動問題的求解也越來越繁瑣.由于多自由度系統(tǒng)的許多基本概念都可以通過研究雙自由度系統(tǒng)來說明，而且雙自由度系統(tǒng)振動問題本身在工程學(xué)、機械學(xué)上也有著重要的地位（如作為橋梁設(shè)計、機械制造等重要的參考量），因此，雙自由度振動的實驗和理論探索一直為人們所重視.

雙自由度振動系統(tǒng)的運動情況比較復(fù)雜，研究文獻[1－4]多根據(jù)牛頓定律推導(dǎo)出其運動方程，再利用數(shù)學(xué)軟件對其進行數(shù)值模擬，給出其運動軌跡.本文旨在實驗室建立雙自由度振動系統(tǒng)，利用計算機實測技術(shù)對系統(tǒng)運動情況進行實時記錄，進而得出其運動規(guī)律.

2 雙自由度振動系統(tǒng)的理論概述

圖1是典型的雙自由度振動系統(tǒng).該系統(tǒng)由勁度系數(shù)分別為k1和k2的2個輕質(zhì)彈簧與質(zhì)量分別為m1和m2的2個彈簧振子在豎直方向耦合組成.

為方便計算分析，取k1＝k2＝k，m1＝m2＝m，由牛頓定律可得以下結(jié)論[2，4]：

1）此雙自由度振動系統(tǒng)有2個簡正模，其頻率可以分別表示為

圖1 雙自由度振動彈簧系統(tǒng)

2）系統(tǒng)中每個振子的運動均是這2個簡正模的線性疊加，振子m1和m2的運動方程分別為

式（3）和（4）中的A11，A12，A21，A22分別為相應(yīng)簡諧振動的振幅，φ1和φ2則為相應(yīng)簡諧振動的初相位，均為待定系數(shù)，由振動系統(tǒng)的初始值確定.

3）雙自由度振動系統(tǒng)具有固有振型，表現(xiàn)為式（5）和（6）表明上下2個振子運動中同頻率分運動的振幅比為定值.

4）此系統(tǒng)的簡正坐標可以表示為[5－7]

可見，2個簡正坐標的振幅是相等的.為了方便和實驗結(jié)果比較，文中主要采用了式（3）和（4）進行討論.

3 雙自由度振動規(guī)律的實驗驗證

3.1 實驗裝置

利用計算機實測技術(shù)對雙自由度振動系統(tǒng)的運動過程進行監(jiān)測[8－9]，主要采用美國Pasco公司的實測設(shè)備：運動傳感器（型號：CI－6742，量程：15cm～8m）、力傳感器（型號：CI－6537，量程：－50～50N）、Science Workshop 750接口以及DataStudio數(shù)據(jù)采集處理軟件等.

圖2給出了雙自由度振動系統(tǒng)及其測量裝置，力傳感器與彈簧k1連接，負責監(jiān)測彈簧k1在豎直方向上對振子m1的拉力變化情況；平臺底端用運動傳感器實時記錄振子m2在豎直方向上的運動軌跡.在豎直方向上讓系統(tǒng)起振，當振動穩(wěn)定后，開始采集數(shù)據(jù).

裝置中所使用的2個輕質(zhì)彈簧質(zhì)量均為19.4g，勁度系數(shù)k1＝k2＝33.0N／m；振子質(zhì)量m1＝m2＝209.0g.

圖2 雙自由度振動系統(tǒng)及其測量裝置圖

3.2 測量結(jié)果與分析

3.2.1 豎直方向上振子m1的運動情況

通過力傳感器采集的數(shù)據(jù)可以得到彈簧在豎直方向上對振子m1的拉力大小隨時間變化的關(guān)系曲線，如圖3所示.

圖3 k1對振子m1拉力隨時間變化關(guān)系曲線

根據(jù)胡克定律ΔF＝－kΔx（其中k是彈簧的勁度系數(shù)，Δx是彈簧長度的變化量），可以將力傳感器采集到的拉力變化信號轉(zhuǎn)換為m1的位移變化信號，得到振子m1的位移隨時間變化的關(guān)系曲線（見圖4），然后利用式（3）進行實驗數(shù)據(jù)擬合，擬合曲線見圖4，擬合數(shù)據(jù)見表1.

圖4 彈簧振子m1位移隨時間變化關(guān)系曲線

3.2.2 豎直方向上振子m2的運動情況

通過運動傳感器采集數(shù)據(jù)，可以得到彈簧振子m2的位移隨時間變化的關(guān)系曲線（見圖5）.同樣，對其采用式（4）進行實驗數(shù)據(jù)擬合，得到擬合曲線（見圖5）和相應(yīng)擬合參量（見表1）.

圖5 彈簧振子m2位移隨時間變化關(guān)系曲線

3.2.3 測量結(jié)果與分析

從圖4與圖5中可以看出，實驗測得的m1和m2運動軌跡數(shù)據(jù)與擬合曲線吻合很好，將實驗所得參量進行整理，見表1.

表1 振子m1和m2振動情況列表

可得出以下結(jié)論：

1）由T1＝0.808s，T2＝0.308s，得到雙自由度振動系統(tǒng)的2個簡正頻率ω1與ω2的實驗測量值為

2）由A11＝0.017 2m，A12＝0.006 29m，A21＝0.028 1m，A22＝－0.003 93m，得到雙自由度振動系統(tǒng)運動方程的分振幅；由φ1＝0.642rad和φ2＝（0.615＋0.618）／2rad＝0.616rad，得到雙自由度振動系統(tǒng)運動的初相位.

由以上數(shù)據(jù)可得系統(tǒng)運動方程分別為

式中u1和u2的單位為m.

由式（1）～（2）和（5）～（6）及彈簧勁度系數(shù)k、振子質(zhì)量m值可計算得到雙自由度振動系統(tǒng)的簡正頻率及固有振型的理論值，所測得的實驗值與理論值見表2[3，10].

表2 實驗值與理論值

4 結(jié)束語

雙自由度振動是研究n自由度振動的基礎(chǔ)，采用計算機實測技術(shù)在實驗室測量記錄了2個振子各自的振動情況，并對記錄數(shù)據(jù)進行了處理分析，得到振子的運動規(guī)律，實驗值與理論值吻合得很好.

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