一族多分量的劉維爾可積系及其可積耦合

李柱

(信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，河南信陽 464000)

1 引言

自從上世紀(jì)60年代以來孤立子理論得到了迅速發(fā)展.1989年屠規(guī)彰提出了利用零曲率方程得到可積孤子方程族的簡便方法［1］，隨后，人們利用此方法得到了許多具有物理意義的可積方程族［2－7］.近年來，有些可積系統(tǒng)無法由跡恒等式建立其哈密頓結(jié)構(gòu)，為了解決此問題，馬文秀教授等在雙線性泛函下建立了變分跡恒等式［8］.其基本思想如下，對于給定的譜矩陣U=U(u，λ)∈G，其中G是矩陣loop代數(shù)，選擇λ和u合適的秩使得U是同秩的，定義假設(shè)V和V是12靜態(tài)零曲率方程Vx=［U，V］的同秩解，則它們是線性相關(guān)的:V1=γV2，γ=const.此條件是得到跡恒等式的必要條件.令G是一個(gè)矩陣loop代數(shù)，U=U(u，λ)∈G是同秩的，記＜.，.＞表示為在矩陣?yán)罘e下非退化的雙線性形式不變量，若靜態(tài)零曲率方程Vx=［U，V］對于一個(gè)確定的常數(shù)有唯一解V∈G，則對任何方程Vx=［U，V］的同秩解V∈G有如下的變分跡恒等式

其中γ是常數(shù).變分跡恒等式推廣了跡恒等式的使用范圍，它可以應(yīng)用于半單或非半單李代數(shù).

本文安排如下，在第二和第四部分得到了一族多分量的可積系統(tǒng)及其耦合系統(tǒng)，作為其約化情況得到了Dirac族，并在第三和第五部分利用變分跡恒等式給出了相應(yīng)的哈密頓結(jié)構(gòu).

2 多發(fā)量的可積系統(tǒng)

設(shè)a=(a1，a2，…，aM)，b=(b1，b2，…，bM)，c是一個(gè)常數(shù)，定義它們的乘法和除法為

設(shè)G3={a=(aij)3×M=(a1，a2，a3)T，ai=(ai1，ai2，…，aiM)}，及其換位運(yùn)算［a，b］為

容易驗(yàn)證G3是一個(gè)李代數(shù).

相應(yīng)的loop代數(shù)~G3為

考慮如下的等譜問題

取

其中

解靜態(tài)零曲率方程Vx=［U，V］，可得

記

直接計(jì)算得

得如下的可積系

其中

由(5)可得

其中

因此，系統(tǒng)(9)可以記為

當(dāng)M=1，u3=u4=u5=0時(shí)，系統(tǒng)(13)約化為Dirac族因此稱(13)為推廣的多分量Dirac族.

3 系統(tǒng)(13)的哈密頓結(jié)構(gòu)

設(shè)Gs是一個(gè)s維的線性空間，其基元為是Gs的兩個(gè)元素，定義其換位運(yùn)算為

在上述運(yùn)算下易知Gs是一個(gè)李代數(shù).

相應(yīng)的loop代數(shù)G~s及其基和換位運(yùn)算分別為

在loop代數(shù)G~s的基礎(chǔ)上構(gòu)造線性等譜問題

其相容性條件可得零曲率方程

相應(yīng)的靜態(tài)零曲率方程為

其中

若V1和V2是(19)的同秩解并且滿足

對于a，b∈~Gs，由方程

可得s階矩陣R(b)，由方程組

可得常量矩陣F=(fij)s×s，引入雙線性泛函

則由文獻(xiàn)［8］可得如下的變分跡恒等式

其中λ是待確定的常數(shù).

由(1)可得

解矩陣方程FT=F和R(b)F=－(R(b)F)T，得

故，{a，b}=aTFb=a1b1+a2b2－a3b3.

利用變分跡恒等式(25)得

比較λ－2n－3的系數(shù)得

取n=0得γ=0，因此有，

比較λ－2n－2的系數(shù)得

取n=0得γ=0，因此有，

容易驗(yàn)證J1L1=L*1J1，J2L1=L*1J2，因此，系統(tǒng)(13)是liouville可積的.

4 系統(tǒng)(13)的可積耦合

在李代數(shù)G3的基礎(chǔ)上構(gòu)造擴(kuò)展的李代數(shù)G6.令G6={a=(aij)6×M=(a1，a2，a3，a4，a5，a6)T，ai= (ai1，ai2，…，aiM)}，［a，b］的交換運(yùn)算定為

容易驗(yàn)證G6是一個(gè)李代數(shù).相應(yīng)的loop代數(shù)為

考慮如下的等譜問題

因此，系統(tǒng)(13)具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)

取

其中

解靜態(tài)零曲率方程Vx=［U，V］，得

記直接計(jì)算得

其中

可得如下的可積系

其中

其中

由(38)可得遞推算子~L滿足

其中

因此，系統(tǒng)(42)可寫為

當(dāng)u6=u7=u8=u9=u10=0時(shí)，系統(tǒng)(48)可約化為(13)，由可積耦合的定義知系統(tǒng)(48)是系統(tǒng)(13)的可積耦合.

5 系統(tǒng)(48)的哈密頓結(jié)構(gòu)

由(35)可得

類似于(27)，可得

故，{a，b}=aTFb=(a1+a4)b1+(a2+a5)b2－(a3+a6)b3+a1b4+a2b3－a3b6.

由(25)可得

比較λ－2n－3的系數(shù)可得

取n=0時(shí)得γ=0，因此有

比較λ 的系數(shù)可得－2n－2

取n=0時(shí)得γ=0，因此有

故系統(tǒng)(48)具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)

容易驗(yàn)證~J1~L=~L*~J1，~J2~L=~L*~J2.因此，系統(tǒng)(48)是Liouville可積的.

［1］Guizhang Tu.The trace identity，a powerful tool for constructing the Hamiltonian structure of integrable systems［J］.J.Math.Phys，1989，30(2):330－338.

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