初中數(shù)學(xué)《多邊形內(nèi)角和》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

袁明霞

（撫順市第五十中學(xué)，遼寧 撫順 113000）

初中數(shù)學(xué)《多邊形內(nèi)角和》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

袁明霞

（撫順市第五十中學(xué)，遼寧 撫順 113000）

一、教學(xué)設(shè)計(jì)與策略

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想及依據(jù)

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出：課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要，數(shù)學(xué)特點(diǎn)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。在課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。教師要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

（二）教學(xué)策略的選擇與設(shè)計(jì)

筆者在《多邊形內(nèi)角和》一節(jié)中，共設(shè)計(jì)了7個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其中第2、3、4活動(dòng)通過(guò)采取小組合作學(xué)習(xí)策略來(lái)組織課堂教學(xué)和學(xué)習(xí)。這樣既能做到學(xué)生積極參與，學(xué)生共同發(fā)展，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣與濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

（三）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：

①通過(guò)測(cè)量、類(lèi)比、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索多邊形的內(nèi)角和公式，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性，發(fā)展學(xué)生推理能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

②通過(guò)多邊形轉(zhuǎn)化成三角形的教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在幾何中的運(yùn)用，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的方法。

③通過(guò)探索多邊形內(nèi)角和公式，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)幾何過(guò)渡到論證幾何的過(guò)程。

過(guò)程與方法：通過(guò)探索多邊形內(nèi)角和公式，讓學(xué)生嘗試從不同角度去尋求解決問(wèn)題的方法并能有效地解決該問(wèn)題。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)猜想、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探究以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，以此來(lái)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

（四）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：探究多邊形內(nèi)角和公式。

難點(diǎn)：探究多邊形內(nèi)角和時(shí)，如何把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形。

（五）教學(xué)方法

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、討論法。

（六）教具、學(xué)具、教學(xué)媒體

教具：多媒體課件。

學(xué)具：三角板、量角器、紙板、剪子。

教學(xué)媒體：大屏幕、實(shí)物投影。

二、教學(xué)過(guò)程實(shí)錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)疑激思

師：（計(jì)算機(jī)顯示生活中的圖片）同學(xué)們你能從下列圖片中找出我們熟悉的多邊形嗎？

生1：能。有三角形、長(zhǎng)方形、四邊形、八邊形、六邊形、五邊形。

師：大家都知道三角形的內(nèi)角和是180°，那么四邊形的內(nèi)角和你知道是多少嗎？

（學(xué)生思考，教師演示四邊形圖1、圖2、圖3）

師：請(qǐng)同學(xué)們借助老師準(zhǔn)備的四邊形紙板及學(xué)具，小組交流，找出共有幾種解決此問(wèn)題的方法？（學(xué)生在獨(dú)自探索的基礎(chǔ)上，學(xué)生分組交流與研討，并匯總解決問(wèn)題的方法）

生2：用量角器量出四個(gè)角的度數(shù)，然后把四個(gè)角加起來(lái)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和是360°。

生3：把兩個(gè)三角形紙板拼在一起構(gòu)成一個(gè)四邊形，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形內(nèi)角和相加是360°。

接下來(lái)，教師在生3的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生利用作輔助線的方法，連結(jié)四邊形的對(duì)角線，把三個(gè)四邊形分別轉(zhuǎn)化成兩個(gè)、多個(gè)三角形。

生4：因?yàn)橛猩?的啟發(fā)，在四邊形內(nèi)或在四邊形邊上找一點(diǎn)，把一個(gè)四邊形轉(zhuǎn)化成幾個(gè)三角形，進(jìn)而也能得出四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：你們的反應(yīng)真快！

（二）新課講授

師：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)往往可以將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，那你能用連接對(duì)角線的方法探索五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？

（學(xué)生思考，教師觀察學(xué)生的表情，了解學(xué)生的對(duì)問(wèn)題理解情況。學(xué)生很快先獨(dú)立思考，并將自己的想法說(shuō)給同組同學(xué)）

生5：把五邊形分成三個(gè)三角形，3個(gè)三角形的內(nèi)角和是540°。

生6：從五邊形內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)，把五邊形分成五個(gè)三角形，然后用5個(gè)180°的和減去一個(gè)周角360°，結(jié)果得 540°。

生7：從五邊形一邊上任意一點(diǎn)出發(fā)把五邊形分成四個(gè)三角形，然后用4個(gè)180°的和減去一個(gè)平角180°，結(jié)果得540°。

生8：把五邊形分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，然后用 180°加上 360°，結(jié)果得 540°。

海爾智慧家庭打破常規(guī)認(rèn)知，以科技創(chuàng)造新可能的背后，是其對(duì)于產(chǎn)品、方案、生態(tài)的布局深耕。2018年AWE，海爾智慧家庭推出“4+7+N”全場(chǎng)景定制化成套智慧方案，涉及廚房、客廳、臥室、浴室4大物理空間，以及全屋安防、全屋用水等7大解決方案，為用戶提供涵蓋衣、食、住、娛的一站式智慧服務(wù)。借助全球構(gòu)建的6大品牌集群，以及全球10+N研發(fā)體系，海爾智慧家庭的產(chǎn)品和技術(shù)迭代，可滿足從年輕到峰層各類(lèi)群體所需，并實(shí)現(xiàn)行業(yè)唯一可根據(jù)用戶室內(nèi)結(jié)構(gòu)、生活習(xí)慣等個(gè)性化需求，提供全場(chǎng)景定制服務(wù)。此外，海爾智慧家庭細(xì)分用戶需求，通過(guò)搭建衣聯(lián)網(wǎng)、食聯(lián)網(wǎng)、空氣圈等生態(tài)體系，為用戶提供可持續(xù)迭代的美好生活解決方案。

（在此過(guò)程中，教師關(guān)注的是，學(xué)生能否用類(lèi)比四邊形的方式來(lái)解決問(wèn)題并得出正確的結(jié)論，學(xué)生是否還能采用其他的方法來(lái)解決該問(wèn)題）

師：你真聰明！做到了學(xué)以致用。

（學(xué)生總結(jié)的方法太好了，學(xué)生之間配合的默契，講解的完美，使筆者認(rèn)識(shí)到，只有培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、主動(dòng)性，才能真正把課堂還給學(xué)生。在得到五邊形的內(nèi)角和之后，同學(xué)們又認(rèn)真地討論起六邊形的內(nèi)角和。類(lèi)比四邊形、五邊形的討論方法最終得出，六邊形內(nèi)角和是 720°）

師：你能繼續(xù)探索多邊形的內(nèi)角和嗎？從多邊形其中的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線，分析三角形的個(gè)數(shù)與多邊形邊數(shù)的關(guān)系，多邊形的內(nèi)角和與多邊形邊數(shù)的關(guān)系你能填出嗎？

多邊形的邊數(shù) 3 4 5 6 7 … n分成的三角形個(gè)數(shù) 1 …多邊形的內(nèi)角和 180° …

（教師的追問(wèn)使學(xué)生的思維向縱深進(jìn)一步發(fā)展。學(xué)生沉思一會(huì)兒自動(dòng)開(kāi)始填寫(xiě)，很快學(xué)生就填出了結(jié)果）

師：我們通過(guò)多邊形轉(zhuǎn)化成三角形這種思想，體會(huì)了從特殊到一般的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的方法。你能運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式解決問(wèn)題嗎？

例1：如果一個(gè)四邊形一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角什么關(guān)系？

生9：利用本節(jié)的知識(shí)點(diǎn)四邊形內(nèi)角和為360°，可得出，如果一個(gè)四邊形一組對(duì)角互補(bǔ)，那么，另一組對(duì)角和為360°-180°=180°，所以另一組對(duì)角也是互補(bǔ)的關(guān)系。

師：你的想法太好了，反應(yīng)也太快了！

（教師板演，學(xué)生敘述過(guò)程）

例2：在六邊形的頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和，六邊形的外角和等于多少？

生10：利用多邊形的內(nèi)角和及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得出，六邊形的外角和=180°×6-（6-2）×180°=360°

師：同學(xué)們，你能進(jìn)一步發(fā)揮你的智慧猜想任意一個(gè)n（n＞3）邊形的外角和是多少嗎？

生11：類(lèi)比六邊形的外角和的求法，可得出，任意一個(gè) n（n＞3）邊形的外角和=180°n-（n-2）×180°=360°

師：同學(xué)們你們的思維真敏捷，相信同學(xué)們積極思考，大膽猜想，數(shù)學(xué)的美妙會(huì)時(shí)時(shí)出現(xiàn)。下面讓我們共同比一比，賽一賽看誰(shuí)思維更快。

（三）鞏固練習(xí)

師：請(qǐng)看題（計(jì)算機(jī)顯示）口答：

①七邊形內(nèi)角和（ ）②九邊形內(nèi)角和（ ）③十邊形內(nèi)角和（ ）

（學(xué)生讀題思考，很快就有多數(shù)學(xué)生舉手）

師：你們回答的非常正確。看下面的問(wèn)題，看看誰(shuí)反應(yīng)的最快？搶答：

①一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1260°，它是幾邊形？

②一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°，且每個(gè)內(nèi)角都相等，則每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（ ）度。

③多邊形的邊數(shù)增加1，內(nèi)角和就增加（ ）度；多邊形的邊數(shù)由7增加到10，內(nèi)角和增加（ ）度。

④一個(gè)多邊形內(nèi)角和與外角和相等，它是（ ）邊形。

⑤一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是36°，這個(gè)多邊形是（ ）邊形。

⑥已知某多邊形的內(nèi)角和與外角和的比為9：2，則它是（ ）邊形。

（問(wèn)題一拋出，就有近二分之一的學(xué)生有了答案，但是教師有意“慢”節(jié)奏，關(guān)注了全體學(xué)生，同時(shí)也是給學(xué)生充足思考時(shí)間，進(jìn)而達(dá)到了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。師生互相糾正達(dá)到了鞏固練習(xí)的效果）

（四）拓展與延伸

師：老師有一個(gè)設(shè)想：2008年奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是在北京舉行的，我想設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)角和是2008°的多邊形圖案是多么有紀(jì)念意義呀，老師的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？

生12：不能。因?yàn)楦鶕?jù)n（n＞3）邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°，說(shuō)明多邊形的內(nèi)角和一定是180°的整數(shù)倍，而2008°不是180°的整數(shù)倍，所以不能實(shí)現(xiàn)。

（學(xué)生的表述太完美了，我不由自主地為學(xué)生鼓起掌）

師：你能挑戰(zhàn)自我嗎？現(xiàn)在有一張四方形的桌面，現(xiàn)在鋸掉它的一個(gè)角，剩下殘余桌面所有的內(nèi)角和是多少？有幾種情況？

生13：是180°，剩下殘余桌面是三角形。

生14：我的想法與他不同。

師：說(shuō)說(shuō)你的看法。

生14：還可以是540°，剩下殘余桌面是五邊形。

生15：我的想法與他們都不同。

師：說(shuō)說(shuō)你的看法。

生15：還可以是360°，剩下殘余桌面是四邊形。

師：他們的想法對(duì)嗎？

生16：他們的想法都對(duì)。（學(xué)生上黑板演示）若沒(méi)有過(guò)任一個(gè)頂點(diǎn)鋸掉它的一個(gè)角，剩下殘余桌面是五邊形。若過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)，但不是對(duì)角線鋸掉它的一個(gè)角，剩下殘余桌面是四邊形。若過(guò)一條對(duì)角線鋸掉它的一個(gè)角，剩下殘余桌面是三角形。

師：太精彩了。（學(xué)生的演示非常出色，自信、智慧的學(xué)生時(shí)時(shí)令我驕傲）

（五）總結(jié)歸納

師：下面請(qǐng)同學(xué)們想一想你這節(jié)課有哪些收獲？

生17：我學(xué)會(huì)了多邊形的內(nèi)角和與它的邊數(shù)的關(guān)系，以及多邊形的外角和公式，并學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化與分類(lèi)的數(shù)學(xué)方法。

生18：我體會(huì)到了同學(xué)之間的相互交流學(xué)習(xí)的快樂(lè)。同學(xué)之間有不同的方法，通過(guò)小組交流，能讓我的思維得到更高的提高。

三、教學(xué)反思

（一）教的轉(zhuǎn)變

本節(jié)課，教師始終把學(xué)生的學(xué)習(xí)定位在自主探究知識(shí)基礎(chǔ)上，教師從知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者與共同研究者。教師在引導(dǎo)學(xué)生小組討論，動(dòng)手畫(huà)圖、測(cè)量、剪、折等活動(dòng)過(guò)程中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，激發(fā)學(xué)生自覺(jué)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)到了合作學(xué)習(xí)所帶來(lái)的樂(lè)趣。

（二）學(xué)的轉(zhuǎn)變

學(xué)生的角色從學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)闀?huì)學(xué)。本節(jié)課學(xué)生不是僅停留在對(duì)一個(gè)問(wèn)題的掌握，更主要的是學(xué)生掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法與技巧，增加了探索學(xué)習(xí)的熱情，體驗(yàn)到了學(xué)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，同時(shí)學(xué)生也感受到了站在研究者的角度深入其境的探究數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

（三）課堂氛圍的轉(zhuǎn)變

整節(jié)課以“流暢、開(kāi)放、合作、引導(dǎo)”為基本特征，教師對(duì)學(xué)生的思維減少干預(yù)。整節(jié)課學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與教師之間以“討論”“互學(xué)”“互助”為出發(fā)點(diǎn)，以互助合作為手段，以發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題為目的，通過(guò)猜想、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探究以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。讓學(xué)生在一個(gè)比較寬松的環(huán)境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發(fā)現(xiàn)的價(jià)值。

張華偉）