關(guān)于弱－可補(bǔ)子群

李先崇，游泰杰

（貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴陽 550001）

子群的某種正規(guī)性與有限群結(jié)構(gòu)的關(guān)系一直是有限群論研究的重要課題之一.群G的子群H稱為在G中是擬正規(guī)的（quasinormal）或置換的（permutable），如果對(duì)任意T≤G，都有HT＝TH成立.這個(gè)概念首先由OR˙E［1］在1939年提出并研究，之后被大量推廣.群G的一個(gè)子群H 被稱為s－置換（s－permutable）或s－擬正規(guī)（s－quasinormal）或 π－擬正規(guī)的（π－quasinormal），如果?P∈Sylp（G），都有HP＝PH成立.作為s－擬正規(guī)概念的推廣，陳重穆在文獻(xiàn)［2］中引入了s－半正規(guī)子群的概念.群G的一個(gè)子群H 稱為s－半正規(guī)（s－seminormal）或s－半置換（s－semipermutable），如果對(duì)任意p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有HP＝PH 成立，其中P∈Sylp（G）.群G的一個(gè)子群H 稱為c－正規(guī)的（c－normal）［3］，如果存在 NG，使得G＝HN，且H∩N≤HG，其中HG為包含在H 中的G的極大正規(guī)子群.群G的一個(gè)子群H 稱為弱s－置換的（weakly s－permutable）［4］，如果存在T??G，使得G＝HT，且H∩T≤HsG，其中HsG是由H 所有在G中的s－置換子群生成的子群.利用這些子群研究群的冪零性、超可解性，人們已經(jīng)獲得了豐富的結(jié)果.［5－9］在本文中，筆者擬利用有限群G的極小子群及p2階子群的弱－可補(bǔ)性研究有限群的結(jié)構(gòu)，并給出群G的p－冪零性的幾個(gè)充分條件.文中的群皆指有限群，所用符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的，未交待的符號(hào)參見文獻(xiàn)［10－11］.

1 基本引理

引理1.1 設(shè)G為內(nèi)p－冪零群，則有如下結(jié)構(gòu)：

1）G的每個(gè)真子群都是冪零群；

2）存在素?cái)?shù)q使得｜G｜＝paqb；

3）G有正規(guī)的Sylowp－子群P，且若p＞2，則exp P＝p；若p＝2，則exp P≤4；G有循環(huán)的Sylowq－子群Q，且G＝PQ；

4）P／Φ（P）為G／Φ（P）的極小正規(guī)子群；

5）Z（G）＝Φ（G）＝Φ（P）×Φ（Q）.

證明 1）～3）由文獻(xiàn)［12］定理5.4即得.由1）知G也是內(nèi)冪零群，再根據(jù)文獻(xiàn)［13］定理1.1（8）和（10）知4）和5）也成立.

引理1.2［5］4設(shè)A為G的弱s－半置換子群（弱可補(bǔ)的），A≤H≤G，則A在H中弱s－半置換（弱可補(bǔ)的）.

引理1.3［14］設(shè)A為G 的s－半置換子群，且A 為p－群，NG，則AN／N在G／N中s－半置換.

引理1.4［15］設(shè)G 是與A4無關(guān)的群，p＝minπ（G），NG，使得G／N 是p－冪零群.若p3｜｜N｜，則G是p－冪零群.

2 主要結(jié)果及其證明

定理2.1 設(shè)G為有限群，p為G的階的一個(gè)素?cái)?shù)因子，且（｜G｜，p－1）＝1，P為G 的Sylow p－子群.若P的每個(gè)極小子群在G中弱－可補(bǔ)，且p＝2時(shí)P與四元數(shù)群無關(guān)，則G為p－冪零群.

證明 設(shè)G為極小階反例.由引理1.2知，條件是子群遺傳的，故G為內(nèi)p－冪零群.根據(jù)引理1.1可設(shè)G＝PQ，其中P，Q分別為G的Sylow p－子群、Sylowq－子群，P?G，Q為循環(huán)群，且若p＝2，則exp P≤4；若p＞2，則exp P＝p.

設(shè)〈x〉為P的任意極小子群.若p＞2，則有o（x）＝p＞2.由題設(shè)知，存在T≤G使得〈x〉T＝G且〈x〉∩T≤〈x〉≤〈x〉.若〈x〉∩T＝1，則｜G∶T｜＝p，顯然T為G的真子群，故T冪零.不妨設(shè)Q?T，則T≤NG（Q）.由G為非p－冪零群，必有｜G∶NG（Q）｜＝p.由Sylow定理知p＝kq＋1且k≠0，所以有q｜（｜G｜，p－1）＝1，矛盾；于是〈x〉∩T＝〈x〉＝〈x〉，即〈x〉在G中s－半置換，所以〈x〉Q＝Q〈x〉.由Sylow定理知Q?〈x〉Q，否則有kq＋1＝p，其中k是正整數(shù)，即q｜（｜G｜，p－1）＝1，矛盾，故Qx＝Q.由x的任意性知Q?G，矛盾，所以p＝2且exp P≤4.若P為交換群，則由文獻(xiàn)［13］6定理1.1（7）知P為初等交換群，從而exp P＝2.由以上討論知Q?G，矛盾，所以P為非交換群，于是Z（P）＜P.由G為內(nèi)冪零群知Z（P）Q為冪零群，所以Z（P）＜Z（G）.又因P與四元數(shù)群無關(guān)，故應(yīng)用文獻(xiàn)［16］定理2.8知GN∩Z（P）≤GN∩Z（P）∩P＝1.另一方面，顯然有1≠GN≤P，且GN在P中正規(guī).由p－群性質(zhì)知GN∩Z（P）≠1，矛盾；因此，極小階反例不存在，于是G為p－冪零群.

注：定理中的條件“（｜G｜，p－1）＝1”不能去掉.例如：令G＝S3，p＝3，顯然G的3階子群在G中弱可補(bǔ)，但G不為3－冪零群.

推論2.2 設(shè)G為有限群，p為｜G｜的一個(gè)素因子，且（｜G｜，p－1）＝1，NG，G／N 為p－冪零群，P為N的Sylowp－子群.若P的每個(gè)極小子群在G中弱－可補(bǔ)，且p＝2時(shí)P與四元數(shù)群無關(guān)，則G為p－冪零群.

證明 假設(shè)定理不真，設(shè)G為極小階反例.對(duì)任意的H＜G，（｜H｜，p－1）＝1，則H∩NH，且H／（H∩N）?HN／N≤G／N，所以H／H∩N為p－冪零群.又因H∩N的Sylow p－子群的極小子群也是N的Sylowp－子群的極小子群，故H，H∩N滿足題設(shè)，從而G為內(nèi)p－冪零群，G＝RQ，其中R，Q分別為G的Sylowp－子群、Sylowq－子群，R?G，Q為循環(huán)群且若p＝2，則exp R≤4；若p＞2，則exp R＝p.

由定理2.1知N為p－冪零群.設(shè)Nq為N的正規(guī)p－補(bǔ)，則NqG.因?yàn)镹p＝N∩RN，Np是N的Sylowp－子群，故可設(shè)N＝Np×Nq.假設(shè)Nq≠1.設(shè)K／Nq為N／Nq的任意一個(gè)極小子群，則K＝〈x〉Nq.設(shè)｜Nq｜＝k，a＝xk，則a∈Np且〈x〉Nq／Nq＝〈a〉Nq／Nq，｜〈a〉｜＝p.因?yàn)椤碼〉在G 中弱－可補(bǔ)，所以存在G的子群T，使得〈a〉T＝G且〈a〉∩T≤〈a〉，于是｜G∶T｜＝｜〈a〉｜／｜〈a〉∩T｜≤p，故存在y∈G，使得Tq＝Qx，其中Tq∈SylqT，這樣，Nq＝≤Qy≤T.設(shè)〈a〉＝K1，顯然有T／Nq≤G／Nq，（T／Nq）（K1Nq／Nq）＝G／Nq，T／Nq∩K1Nq／Nq＝（T∩K1）Nq／Nq≤KNq／Nq.由引理1.3可知，故T／Nq∩K1Nq／Nq≤（K1Nq／Nq），即T／Nq∩所以K／Nq在G／Nq中弱－可補(bǔ)，從而G／Nq滿足推論的假設(shè).由G的極小性知G／Nq是p－冪零群，所以G是p－冪零群，矛盾；因此Nq＝1，N為p－群，從而N≤R.若N＜R，則NQ為G的真子群，從而NQ為p－冪零群，所以QNQ；又因?yàn)镚／N為p－冪零群，所以NQG，QG，矛盾；于是N＝R為G的Sylowp－子群，由定理2.1知G為p－冪零群，矛盾；因此，極小階反例不存在，從而G為p－冪零群.

推論2.3 設(shè)G為有限群，p＝minπ（G），P為G的Sylow p－子群.若P的每個(gè)極小子群在G中弱可補(bǔ)，且p＝2時(shí)，P與四元數(shù)群無關(guān)，則G為可解p－冪零群.

證明 因?yàn)閜為G的最小素因子，所以有（｜G｜，p－1）＝1，由推論2.2可得.

定理2.4 設(shè)G是與A4無關(guān)的群，p＝minπ（G），NG，使得G／N是p－冪零群.若N的一個(gè)Sylowp－子群P的每個(gè)p2階子群都是G的弱可補(bǔ)子群，則G是p－冪零群.

證明 假設(shè)定理不真，設(shè)G為極小階反例.首先證明G的任意真子群H 都是p－冪零群.不妨假定p｜｜H｜.設(shè)K＝H∩N，Kp∈SylpK，則H／K＝H／H∩N?HN／N≤G／N為p－冪零群.根據(jù)Sylow定理，存在g∈N使得.不妨以H和Kp分別代替Hg和.若｜Kp｜≤p2，則由引理1.4得到H是p－冪零群.假設(shè)｜Kp｜＞p2.由于Kp的p2階子群也是P的p2階子群，根據(jù)引理1.2及定理?xiàng)l件知Kp的p2階子群都是H的弱－可補(bǔ)子群，即H關(guān)于它的正規(guī)子群K滿足定理假設(shè).由G的極小性可知，H 是p－冪零群，于是G為內(nèi)p－冪零群.根據(jù)引理1.1可設(shè)G＝P＊Q，其中P＊∈SylpG且P＊?G，Q是G的循環(huán)Sylowq－子群.因?yàn)镚／N是p－冪零群，故應(yīng)用文獻(xiàn)［10］120定理3.4.7（1）于p－冪零群系，有P＊≤N.又由P＊的正規(guī)性得P＊＝P.根據(jù)引理1.4，可以假定p3｜P｜.

任取P的p2階子群L滿足LΦ（P）（這樣的子群一定可以取得.事實(shí)上，若Φ（P）＝1，顯然可以取得.若Φ（P）≠1，選取Φ（P）的一個(gè)p階元a和任意的x∈P＼Φ（P），則由引理1.1得a∈Z（P）及o（x）＝p或o（x）＝4.若o（x）＝p，則取L＝〈x〉〈a〉即可；若o（x）＝4，則取L＝〈x〉即可）.根據(jù)定理假設(shè)，L是G的弱－可補(bǔ)子群，于是存在T≤G使得LT＝G且L∩T≤L≤L，故有｜G∶T｜＝1，2，p，p2.

當(dāng)｜G∶T｜＝2時(shí)，T?G.又因?yàn)門為2－冪零群，所以T2′Char T?G.顯然有T2′＝G2′，所以G2′?G，從而G為2－冪零群，矛盾.

當(dāng)｜G∶T｜＝p時(shí)，不妨設(shè)p＞2.顯然T為G的真子群，故T冪零.不妨設(shè)Q?T，所以T≤NG（Q）.由G為非p－冪零群，則必有｜G∶NG（Q）｜＝p.由Sylow定理知p＝kq＋1且k≠0，所以有q｜（｜G｜，p－1）＝1，矛盾.

當(dāng)｜G∶T｜＝1時(shí)，也即T＝G，L在G中s－半置換，則RQ＝QR≤G，由P∩LQ＝L（P∩Q）＝LLQ 知LQ≤NG（L）.因?yàn)镻／Φ（P）是初等Abel p－群，所以LΦ（P）／Φ（P）P／Φ（P）.又因Q≤NG（L），故LΦ（P）／Φ（P）G／Φ（P），即LΦ（P）G，且滿足Φ（P）＜LΦ（P）≤P.又因?yàn)镻／Φ（P）是G／Φ（P）的極小正規(guī)子群，所以P＝LΦ（P）＝L，則P為p2階子群，與p3｜P｜矛盾.

當(dāng)｜G∶T｜＝p2時(shí)，T為G的真子群，故T冪零.不妨設(shè)Q?T，則T≤NG（Q）≤G.由G為非p－冪零群，必有｜G∶NG（Q）｜＝p或｜G∶NG（Q）｜＝p2.由以上討論知只須討論｜G∶NG（Q）｜＝p2.由Sylow定理知p2＝kq＋1且k≠0，則p2－1＝kq，所以有q｜p－1，或q｜p＋1.由p是｜G｜的最小素?cái)?shù)因子可知必有q＝p＋1，從而得到p＝2，q＝3，這與G是與A4無關(guān)的群矛盾.

綜上所述，極小階反例不存在，定理得證.

推論2.5 設(shè)G是與A4無關(guān)的群，p＝minπ（G），NG使得G／N是p－冪零群.若N的一個(gè)Sylowp－子群P滿足P∩Op（G）的每個(gè)p2階子群都是G的弱可補(bǔ)子群，則G是p－冪零群.

證明 因?yàn)镚／N 是p－冪零群且G／Op（G）為p－群，所以G／N∩Op（G）是p－冪零群.又因P∩Op（G）是N∩Op（G）的Sylowp－子群，故由定理2.4知G是p－冪零群.

推論2.6 設(shè)G是與A4無關(guān)的群，p＝minπ（G），P是G的一個(gè)Sylow p－子群且P∩GN的每個(gè)p2階子群都是G的弱可補(bǔ)子群，則G是p－冪零群，這里GN是G的冪零剩余.

推論2.7 設(shè)G是與A4無關(guān)的群.若對(duì)每個(gè)p∈π（G），都存在G的一個(gè)Sylow p－子群P使得P∩Op（G）的每個(gè)p2階子群都是G的弱可補(bǔ)子群，則G是超可解型的Sylow塔群.

定理2.4、推論2.5、推論2.6和推論2.7中的條件“G是與A4無關(guān)的”不能去掉.例如A4本身，它有唯一的4階子群K4.因?yàn)镵4＝K4∩O2（A4）A4，所以K4顯然是A4的弱可補(bǔ)子群，但A4不是2－冪零群，也不是Sylow塔群.

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