真空平板玻璃靜態(tài)與模態(tài)響應的有限元分析

繆 宏，張瑞宏，左敦穩(wěn)，王洪亮，王海耀

（1.揚州大學 機械工程學院，江蘇 揚州 225127；2.南京航空航天大學 機電學院，南京 210016）

真空平板玻璃作為目前世界各國剛剛興起的一種新型節(jié)能型透明保溫材料，以其優(yōu)良的抗老化、保溫、可見光透過和紅外光反射等性能而獨占鰲頭，而且真空平板玻璃還是我國玻璃工業(yè)中為數(shù)不多的具有自主知識產(chǎn)權的前沿產(chǎn)品，它的研發(fā)推廣既符合我國鼓勵自主創(chuàng)新的政策，也滿足當前國家對節(jié)能減排的重大戰(zhàn)略需求，具有良好的發(fā)展前景，因此成為國內(nèi)外玻璃加工技術的研究熱點.［1－4］真空平板玻璃在實際使用中會受到各種載荷的作用，這些都會對其結構破壞及使用特性產(chǎn)生影響，因此在設計階段必須對真空平板玻璃的模態(tài)與動態(tài)固有特性進行分析.由于真空玻璃制造技術的高難度以及掌握該制造技術的人數(shù)甚微，故目前主要集中在對真空平板玻璃的支撐應力［5－8］、封邊殘余應力［9］與傳熱機理［10－12］等方面的研究，其制造和設計理論均未系統(tǒng)建立，該領域的理論研究還處于起步和探索階段，相關成果較少.本文以揚州大學提出的真空熔接法側(cè)邊封接真空平板玻璃為例，運用ANSYS有限元分析軟件建立真空平板玻璃的簡化模型，進行了真空平板玻璃靜態(tài)與模態(tài)特性的研究.

1 真空平板玻璃的結構

真空平板玻璃采用2塊尺寸為800mm×600mm的普通鈉鈣玻璃，單塊玻璃厚度為4mm，各支撐柱之間間隔距離為10～40mm，支撐柱的直徑為0.6～1.2mm，支撐柱的高度為0.2～0.5mm.首先將兩塊玻璃洗凈，在其中一塊玻璃上以一定間距放置支撐柱，然后再放上另一塊玻璃，兩塊玻璃的四周均涂上焊接玻璃，在450℃的真空環(huán)境中加熱15～60min，以去除玻璃表面附著的水分及有機物，同時用焊接玻璃將兩塊玻璃板的四周封邊，形成一個整體.［1－4］真空平板玻璃的結構如圖1所示.

2 有限元列式

將真空平板玻璃的矩形玻璃面板進行有限元分析，可以選用矩形單元對玻璃面板離散化.［7－8］為了對支承點邊界處的圓孔進行模擬，在孔邊可采用三角形單元.

2.1 矩形單元的位移模式

將平板中面用一系列矩形單元進行劃分，得到一個離散的系統(tǒng)以代替原來的平板.欲使各單元至少在節(jié)點上有撓度及其斜率的連續(xù)性，必須把撓度及其在x，y方向的一階偏導數(shù)指定為節(jié)點位移（或稱廣義位移）.通常將節(jié)點i的位移寫成

圖1 真空平板玻璃結構圖Fig.1 The structure of the vacuum plate glass

與其對應的節(jié)點力列陣是

對于矩形單元，引入一個自然坐標系Oξη來研究單元特性.由于矩形單元的每個節(jié)點有3個位移分量，一個4節(jié)點單元共有12個節(jié)點位移分量，因此選取含有12個參數(shù)的多項式作為位移模式，即

按照式（3）可得出轉(zhuǎn)角，將矩形單元的4個節(jié)點坐標分別代入，求出12個參數(shù)，從而可將位移函數(shù)改寫成

其中［D］為形函數(shù)矩陣，是面積坐標的函數(shù).

2.2 矩形單元剛度矩陣的計算

式（4）代入方程（2），可以將單元應變用節(jié)點位移列陣表示為

其中［B］矩陣可由［D］矩陣求出.內(nèi)力－位移關系式為

其中［S］＝［D］［B］稱為內(nèi)力矩陣.根據(jù)虛功原理可導出｛F｝e＝［K］e｛δ｝e，其中［K］e稱為單元剛度矩陣，可以寫成分塊形式，其子矩陣的公式為

2.3 等效節(jié)點載荷和內(nèi)力的計算

當單元上均布法向載荷作用時，等效節(jié)點載荷為

至此，已知每個節(jié)點的等效節(jié)點載荷，就可進行彎曲應力計算.計算過程如下：首先，由式（8）得到每個單元上4個節(jié)點的等效節(jié)點載荷，設真空平板玻璃板共有N個節(jié)點，然后按節(jié)點疊加成玻璃板每個節(jié)點的等效載荷，即｛R｝＝∑e｛R｝e；求出總剛度矩陣為｛K｝＝∑e｛K｝e；總節(jié)點位移向量為｛δ｝＝［［δ1］，［δ2］，…，［δN］］T；然后求解線性方程組：｛K｝｛δ｝＝｛R｝.在得到每個節(jié)點的位移值后，可按式（6）求出單元應力.

三角形單元的求解過程基本上與矩形單元相同，僅僅是位移函數(shù)選擇不同：

3 有限元模型

由于真空平板玻璃的有限元模型采用實體建模時模型及其計算量很大，計算機不能實現(xiàn)求解，因此本文采用節(jié)點法建立簡化模型.為了方便建模，采用ANSYS軟件默認的笛卡爾坐標系作為建立模型的坐標系，即水平面為xz平面，豎直方向是y軸方向.由于真空平板玻璃幾何對稱，故將真空平板玻璃的幾何中心設為模型的坐標原點.根據(jù)真空平板玻璃的材料特性及其形狀尺寸，玻璃板選用殼單元SHELL63，支撐柱采用梁單元BEAM188，選擇各向同性材料彈性模量為55GPa，泊松比為0.25，密度為2 500kg·m－3.先對兩殼單元按40mm間距（支撐柱間距）劃分網(wǎng)格，采用梁單元連接各節(jié)點構成支撐柱；然后對兩塊殼單元進行網(wǎng)格細化，以提高計算精度.模型采用四邊夾支，這類似于真空平板玻璃正常使用時柔性夾支的工況.根據(jù)真空平板玻璃的材料特性及其形狀尺寸，網(wǎng)格劃分后共有節(jié)點36 174個，單元35 741個.

4 有限元分析結果

4.1 靜態(tài)載荷作用下真空平板玻璃的應力應變

真空平板玻璃承受靜態(tài)載荷（包括均布載荷和集中載荷）作用時，上下兩塊玻璃板的撓度差別不大.受均布載荷時，上下兩塊玻璃板的應力差也不大，但是當其受集中載荷時，在載荷作用區(qū)域上下兩塊玻璃的應力分布有較大差別，故須分別進行分析.

將真空平板玻璃有限元模型添加邊界約束條件（四邊夾支），在上玻璃面板上施加均布載荷，以1 000Pa為例通過有限元分析求解，可得出真空平板玻璃整體各部分的應力應變云圖.

圖2為均布1 000Pa時上、下板的應力云圖.由圖2可知，真空平板玻璃在承受1 000Pa均布載荷時，對于上玻璃板，最大應力出現(xiàn)在長邊中心，最大應力值為4.18MPa，最大撓度值為0.40mm；對于下玻璃板，最大應力也出現(xiàn)在長邊中心，最大應力值為4.09MPa，最大撓度值為0.39mm.

圖2 均布1 000Pa載荷時上、下板的應力云圖Fig.2 Stress cloud charts of up and down glass pane under 1 000Pa uniform load

4.2 受集中載荷時的應力應變

將真空平板玻璃的有限元模型添加邊界約束條件（四邊夾支），對上玻璃面板中心r＝2cm圓形區(qū)域施加15kg的集中載荷，通過有限元分析求解可得出真空平板玻璃整體各部分的應力應變云圖.

圖3為集中15kg載荷時真空平板玻璃上、下板的應力云圖.由圖3可見，當真空平板玻璃在中心r＝2cm圓形區(qū)域承受15kg載荷時，上玻璃板最大應力出現(xiàn)在中心處，最大應力值為9.10MPa，最大撓度值為0.53mm；下玻璃板最大應力出現(xiàn)在面板中心與兩個支撐柱接觸點處，最大應力值為8.12MPa，下玻璃板中心處對應節(jié)點的應力值為5.56MPa，最大撓度值為0.52mm.

由此可見，靜態(tài)載荷下真空平板玻璃中心處表面應力值與撓度變形程度較大，隨著與真空平板玻璃中心處距離的增加，應力值與撓度變形呈現(xiàn)減小趨勢.

圖3 集中15kg載荷時上、下板的應力云圖Fig.3 Stress cloud charts of up and down glass pane under 15kg concentrated load

4.3 真空平板玻璃的模態(tài)分析

圖4為真空平板玻璃模型在四邊夾支條件下的前6階振型圖.由圖4可見，各階頻率為1階頻率72.06Hz，2階頻率120.13Hz，3階頻率167.96Hz，4階頻率199.01Hz，5階頻率211.65Hz，6階頻率285.51Hz.真空平板玻璃在四邊簡支條件下的各階振型與四邊夾支條件下是完全一致的，但頻率不一致，有限元分析結果為1階頻率40.21Hz，2階頻率81.29Hz，3階頻率113.33Hz，4階頻率149.71Hz，5階頻率154.12Hz，6階頻率222.09Hz.原因是真空平板玻璃的實際工況是四邊柔性夾支，其支承剛度介于簡支與夾支之間，同樣其真實自然頻率也應介于簡支與夾支之間.

圖4 真空平板玻璃的前6階振型Fig.4 Preceding six modal of the vacuum plate glass

由圖4可知，真空平板玻璃1階模態(tài)為中心凸起；2階模態(tài)為中心沿寬度方向兩側(cè)，一側(cè)中心凸起，另一側(cè)中心凹陷；3階模態(tài)為中心沿長度方向兩側(cè)，一側(cè)中心凸起，另一側(cè)中心凹陷；4階模態(tài)為中心凸起，兩側(cè)凹陷；5階模態(tài)為兩對角部位凸起，另兩對角部位凹陷；6階模態(tài)為一邊沿長度方向兩角凸起，中間凹陷，另一對邊沿長度方向兩角凹陷，中間凸起.

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