讀懂教材之意 體悟理念之真
——記“數(shù)列”第一課時教學(xué)的心路歷程

● (天水市第一中學(xué) 甘肅天水 741000)

讀懂教材之意體悟理念之真——記“數(shù)列”第一課時教學(xué)的心路歷程

●宮前長(天水市第一中學(xué) 甘肅天水 741000)

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教A版《數(shù)學(xué)》(必修5)的第2章“數(shù)列”，只要認(rèn)真讀懂教材內(nèi)容，就能抓住編者的編排意圖，體悟“現(xiàn)實問題情境——數(shù)學(xué)模型——應(yīng)用于現(xiàn)實問題”的特點，加強數(shù)學(xué)知識內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，強化學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動，自然地形成突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).高效教學(xué)就是在研讀教材中形成的.

1 集體備課，提出問題

“數(shù)列的概念與簡單表示法”是“數(shù)列”的第一課時，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.新課標(biāo)要求保證基本訓(xùn)練和必要練習(xí)來掌握數(shù)列中各量之間的基本關(guān)系，同時要控制難度及復(fù)雜程度.因此，“數(shù)列”第一課時的教學(xué)在新課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，如何進行準(zhǔn)確定位、把握就顯得尤為重要.

2 初步備課，理清編排

2.1 讀懂章頭圖

章頭圖中的圖形刻畫與文字說明非常生動：“有人說，大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的.不知你注意過沒有，樹木的分杈、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律.”章頭圖的刻畫更加生動地展現(xiàn)了大自然中具有數(shù)學(xué)規(guī)律的圖形，接著采用文字說明來揭示大自然圖形的這種規(guī)律與數(shù)列之間的關(guān)系.讀完奇妙圖形，令人賞心悅目.難怪哲學(xué)家黑格爾說：“美只能在形象中出現(xiàn)”.形象美不只是體現(xiàn)在文學(xué)和藝術(shù)中，更體現(xiàn)在數(shù)學(xué)之中.

在教學(xué)時，教師給學(xué)生展示部分章頭圖的實物，增強學(xué)生對大自然的熱愛.如章頭圖中的向日葵，其花盤上的種子是螺旋排列的.這種排列有時是21個順時針，有時是34個逆時針,有時是34個順時針，有時是55個逆時針.這樣的一些數(shù)字就組成了一個數(shù)列，即為1，2,3,5,8,13,21,34,55,89，…,發(fā)現(xiàn)每一個數(shù)是前面的2個數(shù)之和,這就是著名的裴波那契數(shù)列.

向日葵的種子數(shù)目為什么這樣排列？科學(xué)家苦思幾個世紀(jì)，直到1992年，法國數(shù)學(xué)家才給出令人滿意的解釋.

2.2 梳理教材思路

備課組在討論“數(shù)列”概念的教學(xué)設(shè)計時，提出是否需要重視章頭圖的問題.對于這個問題，必須從讀懂教材的編排思路及所貫徹的新課程理念，才能更好地做到從教材思路到教學(xué)思路的過渡，也能體現(xiàn)新課程要求，否則，新課程的實施便“形同虛設(shè)”.“數(shù)列”章頭圖在新教材中的有意編排，是專家為了讓學(xué)生對數(shù)列問題有一個更深刻的認(rèn)識和理解，可謂是匠心獨運.在教學(xué)時，這個問題不能忽視，應(yīng)該給予重視.編排的微妙變化，讓我們更好地體悟到數(shù)學(xué)的精妙之處.

教材用2個課時完成“數(shù)列的概念與簡單表示法”的教學(xué).教材的安排是：加強對數(shù)列概念的直觀感知，通過對種子、花瓣、果鱗數(shù)目的統(tǒng)計實例引出問題；再從三角形數(shù)、正方形數(shù)等實例入手，引出數(shù)列的概念，指出數(shù)列實際就是按照一定順序排列著的一列數(shù)；然后又從函數(shù)的角度，將數(shù)列看成是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù).通過數(shù)列的列表、圖像、通項公式等幾種簡單表示法，進一步體會數(shù)列是一種函數(shù)，是刻畫離散過程的一種重要數(shù)學(xué)模型.

教材的編排和呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生體會到數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，從而加深對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，讓學(xué)生對數(shù)列的本質(zhì)有清晰地認(rèn)識和把握.同時學(xué)生通過數(shù)列概念的引入以及數(shù)列應(yīng)用的過程，體會數(shù)列問題的實際應(yīng)用，提高對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項求和公式做鋪墊.

2.3 確定教學(xué)重點

筆者認(rèn)真研究了新課標(biāo)，也認(rèn)真地對必修5模塊中的內(nèi)容編排進行了思考，揣摩了新課程教材在內(nèi)容上分層次設(shè)計進行編排的特點.“數(shù)列”第一課時在教學(xué)中如何定位，是以數(shù)列概念的形成和求數(shù)列的通項公式為重？還是以求數(shù)列的通項公式與遞推公式為重？其中理解數(shù)列的函數(shù)特性是必要的，在教學(xué)時應(yīng)如何進行安排，才能收獲更多.

不論是以概念的形成和求數(shù)列的通項公式為重，還是以求數(shù)列的通項公式與遞推公式為重，都涉及數(shù)列的概念形成，只是側(cè)重點不同而已.前者注重從章頭圖中通過分析、觀察，引入數(shù)列，加深了數(shù)列中隱含的“函數(shù)”意義，自然引出求通項公式；后者注重通過觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)、歸納出數(shù)列的通項公式及遞推公式.因此，如何對待通項公式是本節(jié)課的關(guān)鍵.

集體備課時，教師對這部分內(nèi)容的處理意見不統(tǒng)一：一部分教師維護大綱教材，強調(diào)通項公式和遞推公式，提出需要強化訓(xùn)練，強化理解，沒有必要花力氣在數(shù)列的形成上，直接給出數(shù)列就行了；另一部分教師提出新教材中對數(shù)列的編排方式體現(xiàn)了新課程的理念，是經(jīng)過課改實驗區(qū)的經(jīng)驗進行多次修訂的，沒有必要提前對遞推公式進行訓(xùn)練，否則會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

查閱北師大版《數(shù)學(xué)》(必修5)“數(shù)列”內(nèi)容，教材安排了2個課時(數(shù)列的概念與數(shù)列的函數(shù)特性),強調(diào)重視章頭語內(nèi)容的教學(xué),即從數(shù)學(xué)史上的一個真實故事出發(fā)，引出數(shù)列的內(nèi)容.又將數(shù)列的函數(shù)特性專門列為一個小節(jié)，目的是讓學(xué)生深刻理解“數(shù)列是一種特殊函數(shù)”.

通過對2種版本教材的對比，人教A版《數(shù)學(xué)》(必修5)“數(shù)列”第一課時的重點應(yīng)放在“概念的形成和求數(shù)列的通項公式”以及“理解數(shù)列是一種特殊函數(shù)”的層面.這樣做，既體現(xiàn)了“螺旋式上升”的思想，也符合學(xué)生“循序漸進”的認(rèn)知規(guī)律.

3 對比研究,把握整體

筆者查閱了教師參考用書，書中表明用2個課時完成“數(shù)列的概念與簡單表示法”的教學(xué).基于前面的分析，再加上2個課時的時間分配，該如何把握本節(jié)課的教學(xué)？備課組通過對比新教材與大綱教材的編排，尋求解決問題的辦法.

3.1 對比教學(xué)目標(biāo)的變化

《大綱》教學(xué)目標(biāo)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義；了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.

《課標(biāo)》教學(xué)目標(biāo)通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)；了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．

兩者對比新課標(biāo)要求通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念.雖然對“數(shù)列是一種特殊函數(shù)”的要求是處于了解層次，但確定了基準(zhǔn)，也恰好體現(xiàn)了新課程的理念,充分讓學(xué)生體會“數(shù)列是一種特殊函數(shù)”.從某種意義上更加突出強調(diào)了數(shù)列本身是一個數(shù)學(xué)研究對象，又是刻畫實際問題的重要模型.

因此，對數(shù)列第一課時的教學(xué)目標(biāo)確定為：通過日常生活中實例的觀察，寫出一列數(shù)；了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像)；體會數(shù)列是一種特殊的函數(shù)．

3.2 在教材中的分布情況

教師對教材的結(jié)構(gòu)體系以及內(nèi)容編排應(yīng)有整體的把握，要明白新課程理念在教材中的凸顯之處.在教學(xué)時，教師要認(rèn)真鉆研教材，深刻領(lǐng)會教材的編排意圖及課標(biāo)理念，要依據(jù)知識的螺旋上升安排而循序漸進，以“螺旋上升”、“分步到位”的教學(xué)原則，適應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展水平，促進學(xué)生能力的發(fā)展.

課標(biāo)中的數(shù)列內(nèi)容是分層、分段設(shè)計的，在人教A版《數(shù)學(xué)》(必修5)“數(shù)列”中，主要通過對一般數(shù)列的研究，轉(zhuǎn)入對等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項求和公式的研究，數(shù)列的應(yīng)用在人教A版《數(shù)學(xué)》(選修4-3)的“數(shù)列與分差”中.

明確數(shù)列的階段性要求和終結(jié)性要求，才能整體把握數(shù)列的課標(biāo)要求.通過重視數(shù)列概念引入以及數(shù)列應(yīng)用的過程，體會數(shù)列問題的實際應(yīng)用，提高學(xué)生對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣，為轉(zhuǎn)入對等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項求和公式的研究，也為后續(xù)學(xué)習(xí)“數(shù)列與分差”做好鋪墊.

等差數(shù)列、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)需要“數(shù)列”的概念來做鋪墊.在“數(shù)列”概念的教學(xué)中，讓學(xué)生體會數(shù)列離散性的根源是自然數(shù)的離散性.在教學(xué)時,除了強調(diào)從日常生活中的實際問題分析建立數(shù)列模型，還要集中力量探究“數(shù)列是一種特殊函數(shù)”這個重點目標(biāo)，讓學(xué)生在經(jīng)歷中體會、在生成中思維.將“數(shù)列”分散在必修與選修課程凸現(xiàn)了教材的編寫,與人們的認(rèn)知規(guī)律達(dá)到和諧、統(tǒng)一地“螺旋式上升”理念是一致的.

3.3 在認(rèn)知、能力上的要求

從知識的認(rèn)知情境看，設(shè)置了問題的情境，注重從生活實踐、數(shù)學(xué)研究,再到數(shù)學(xué)教育，從直觀感知到抽象理解再到數(shù)學(xué)教育的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列；從知識的量化看，數(shù)列概念的學(xué)習(xí)在人教A版《數(shù)學(xué)》(必修5)中沒有作為重點，只是注重概念的形成，但強調(diào)從日常生活中的實例引入，足以說明章頭圖的重要性.師生通過對大量實物的觀察更好地了解數(shù)列，真正體會和了解“數(shù)列是一種特殊函數(shù)”.

從能力的立意與提升看，教材凸現(xiàn)了觀察、分析、探索、轉(zhuǎn)化、歸納能力，體現(xiàn)了特殊到一般、一般到特殊、數(shù)形結(jié)合、算法與方程思想.數(shù)列的學(xué)習(xí)讓學(xué)生開闊了視野，拓展了思維，提升了能力.

課前認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)和新教材之后，結(jié)合集體備課的智慧及研究的對策，并對《數(shù)學(xué)》(必修5)與《數(shù)學(xué)》(選修4-3)進行整體分析、把握，才能做到“用教材”教.

3.4 確定教學(xué)預(yù)設(shè)線路圖

(1)創(chuàng)設(shè)情境,感受概念：給出3種情境(生活、科學(xué)、數(shù)學(xué))，感受“數(shù)”有“順序”；并要求概括特征：“數(shù)”有“順序”.

(2)數(shù)學(xué)建構(gòu)，形成概念：經(jīng)歷3種情境，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生把握情境所揭示的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征；給出數(shù)列的概念；學(xué)習(xí)求通項公式的方法：畫出數(shù)列圖像—猜想數(shù)列是函數(shù)—驗證猜想—形成并求得通項公式.

(3)數(shù)學(xué)運用，鞏固概念:由通項求前幾項、列表、畫圖像；判斷某項是否是數(shù)列的項；例、習(xí)題處理：觀察歸納數(shù)列的通項公式(重點).

(4)回顧反思，深化概念：學(xué)生總結(jié)學(xué)到什么，有哪些收獲？然后布置作業(yè).

4 教學(xué)片斷回放

師：大家看教材第34頁B組第一題：下圖中的3個正方形塊中，著色正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前3項.請寫出這個數(shù)列的前5項和數(shù)列的通項公式(通過實例引入數(shù)列概念時，舉例較多，學(xué)生對此題的認(rèn)識和解答很好).

生甲：(學(xué)生自己積極舉手)老師，觀察前3個圖形，容易得到它們的正方形數(shù)目分別是1,9,73.

師：你是如何快速算出第3個圖形中正方形的總數(shù)的？

生甲：我是將第3個圖形提出分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進行計算的：將其中最大的一個正方形拔到高處屬于第1層(塔頂)；再將周圍較大的8個正方形拔到較高位置屬于第2層；再將周圍較大的每個正方形周圍的最小的8個正方形拔到更高位置屬于第3層(塔底).這樣就可以得到a3=1+8+82=73.

師：學(xué)生甲的思路和方法太精妙了！那么第4個、第5個圖形中的正方形數(shù)是多少？

生甲：a4=1+8+82+83；a5=1+8+82+83+84.

教室里頓時響起掌聲！接著學(xué)生甲高興地總結(jié)出數(shù)列的通項公式是

an=1+8+82+83+…+8n-1.

師：學(xué)生甲的想法很好，能將二維平面圖形“升維”至三維空間圖形觀察，思維敏捷，奇思異想，以后大家要向?qū)W生甲學(xué)習(xí).

(教師點評剛結(jié)束，學(xué)生乙舉手.)

生乙：我觀察學(xué)生甲歸納出的通項公式，有新的發(fā)現(xiàn)，第3個圖形中的正方形總數(shù)可以改寫為a3=82+8+1=111(8)=73,從而依次就有

a4=83+82+8+1(個)=1 111(8)；

a5=84+83+82+8+1(個)=11 111(8)，

這樣做就能依據(jù)學(xué)生甲歸納出的通項公式的結(jié)構(gòu)特征，借助進位制的思想將通項公式具體地表示出來，即an=111…11(8)，其中有n個“1”.

師：多么簡潔、簡單的表示，這正是數(shù)學(xué)追求的形式美.學(xué)生乙很細(xì)心，將前面學(xué)過的算法記得很清楚，又能靈活應(yīng)用，可喜可賀！ 本節(jié)課，大家對數(shù)列概念的形成和通項公式的歸納學(xué)得很好，尤其是學(xué)生甲、乙，他們對習(xí)題第34頁B組第1題的通項公式有獨到見解，非常精彩.以后大家多交流、多合作，一定會有新的發(fā)現(xiàn)、新的收獲！

課后，筆者對本節(jié)課中學(xué)生精彩的想法、完美的認(rèn)識和簡單大氣的表示進行了思考：新教材是專家精心打造的精品，其中數(shù)與形的完美結(jié)合，在學(xué)生觀察思考后，產(chǎn)生出精妙的思想火花，再細(xì)細(xì)品讀教材中的習(xí)題，每一道都有或多或少的亮點在閃爍，深深地感到數(shù)學(xué)的無窮魅力與精彩.

5 教學(xué)后的反思

教師從讀懂教材起步，做到讓自己的教學(xué)設(shè)計能更好地體現(xiàn)新課程的目標(biāo)要求.通過實施教學(xué)，不斷消除對教材目標(biāo)把握的誤差，進一步感悟教材中隱藏的課標(biāo)理念，逐步達(dá)到高效教學(xué).

5.1 讀懂教材,把握目標(biāo)

新課程數(shù)學(xué)學(xué)科分為必修與選修，內(nèi)容編排有“螺旋上升”的特點，模塊間既有知識的順序結(jié)構(gòu)，又有獨立成塊的特色.這就要求教師首先讀懂教材(包含教材的各種圖形)，即理清教材的編排思路及編寫意圖，更要讀懂教學(xué)內(nèi)容的編排意圖和知識在必修與選修中的處理策略，領(lǐng)會教材的整體設(shè)計意圖.研讀教材的過程，就是感悟理念，消除對教材目標(biāo)把握的誤差的過程.

教材是解讀課標(biāo)的范本，也是貫徹課標(biāo)的一個測量標(biāo)準(zhǔn).數(shù)列在課標(biāo)教材中分成2個部分：“數(shù)列”(必修5)和“數(shù)列與分差”(選修4-3)，體現(xiàn)了分階段、分層次、多角度的知識網(wǎng)絡(luò)和“螺旋式上升”的認(rèn)知規(guī)律.

5.2 研讀課標(biāo),定位目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)就是“綱”，對數(shù)學(xué)教學(xué)活動提出的目標(biāo)要求.課標(biāo)提出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程和本質(zhì)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念逐步形成的過程，體會蘊含其中的思想方法；教學(xué)中應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會知識之間的有機聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力.”

在“數(shù)列”概念的形成過程中，蘊含著觀察、分析、探索、轉(zhuǎn)化、類比、歸納等能力，體現(xiàn)了從特殊到一般、一般到特殊的重要數(shù)學(xué)思想方法.課標(biāo)是教學(xué)的基本依據(jù)，務(wù)必認(rèn)真、反復(fù)地研讀，深刻領(lǐng)會、把握課標(biāo)的精神，領(lǐng)悟新課改的理念，準(zhǔn)確理解課標(biāo)對具體教學(xué)內(nèi)容的要求.總之，教學(xué)必須以課標(biāo)為“綱”，用心琢磨，梳理輕重，真實地貫徹新課改的精神和課標(biāo)的理念.

5.3 研究概念,凸顯核心

探究數(shù)學(xué)概念的生成是教師教學(xué)首先要思考的問題.數(shù)學(xué)核心概念是學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)悟的前提，也是體驗數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的入手之處，更是教師進行有效教學(xué)的最佳題材.

“數(shù)列”教學(xué)中的的核心概念就是“數(shù)列”，從而在教學(xué)設(shè)計中，“數(shù)列是一類特殊的函數(shù)”即數(shù)列的項是函數(shù)值、序號是自變量，以序號為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)畫出的圖像是一些孤立的點.

本章內(nèi)容的設(shè)計，突出了數(shù)列的函數(shù)背景，在通過實際問題引入數(shù)列概念后，教材對其函數(shù)背景進行了分析，指出通項公式實際可看作是數(shù)列的函數(shù)解析式.接著對等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式、求和公式進行研究，也是類比函數(shù)展開的：首先，它們是特殊數(shù)列，也是特殊函數(shù)，等差數(shù)列實際是一次型函數(shù)，是最簡單的遞推數(shù)列，等比數(shù)列實際是指數(shù)型函數(shù)；其次，它們具有函數(shù)的一般性質(zhì)，都借助了數(shù)形結(jié)合的思想研究問題，但研究的側(cè)重點有所不同.

5.4 研究習(xí)題,提高效率

教材中探究題、練習(xí)題的素材很多來源于古代或現(xiàn)實的生活情境：一方面加強了與實際生活的聯(lián)系；另一方面可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的興趣.在教學(xué)中，教師要注意相關(guān)內(nèi)容的知識準(zhǔn)備、問題解答和拓廣的準(zhǔn)備.

如教材第34頁B組第1題,教學(xué)參考書中介紹用遞推公式得通項公式，而學(xué)生甲提出分層立體觀圖法，學(xué)生乙根據(jù)通項公式的結(jié)構(gòu)特征，借助進位制的思想將通項公式具體地表示出來.多么簡潔的表示，這正是數(shù)學(xué)要追求的形式美.

詳盡挖掘新課標(biāo)教材的編排特征，從讀懂教材起步，加強對教材的鉆研，領(lǐng)會課標(biāo)理念，力爭用“用教材”教學(xué)，對部分教學(xué)內(nèi)容重新優(yōu)化，從而增強學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)生由學(xué)會學(xué)習(xí)到自覺學(xué)習(xí)，提高課堂教學(xué)效率，也就徹底貫徹了新課標(biāo)的理念.通過集體備課，集思廣益，深化對教學(xué)內(nèi)容的理解，有利于準(zhǔn)確地把握和定位教學(xué)目標(biāo).

[1] 宮前長.挖掘隱性條件 凸現(xiàn)簡捷解法[J].中國數(shù)學(xué)教育：高中版，2009(11)：36-38.