數(shù)學(xué)競賽中的幾何最值問題

● (鎮(zhèn)海蛟川書院 浙江寧波 315201)

數(shù)學(xué)競賽中的幾何最值問題

●劉清泉(鎮(zhèn)海蛟川書院 浙江寧波 315201)

幾何中的最值問題廣泛存在于初中數(shù)學(xué)競賽中，這類問題具有很強的探索性，需要運用動態(tài)思維以及數(shù)形結(jié)合等思想方法.幾何最值問題常用的解決策略有2類：一是利用幾何中不等量的性質(zhì)(如“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”等)求解，求解時運用平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)等幾何變換；二是借助代數(shù)方法，建立方程、函數(shù)模型求最值．

1 利用幾何中不等量的性質(zhì)

1.1 直接利用不等量的性質(zhì)

例1在△ABC中，∠A=120°，BC=6，若△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則r的最大值為

( )

(2011年天津市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖1

解如圖1，設(shè)⊙I分別切△ABC的3條邊于點D,E,F，聯(lián)結(jié)IA,ID,IE,IF，并作AM⊥BC．易得

得

由AM≤AI+ID，得

評注作為一道選擇題，尋找極端情形容易確定取得最值的情形，其求解過程實際上是利用了“垂線段最短”這一不等量的性質(zhì)．

1.2 利用“平移變換”

例2點P在銳角△ABC的邊上運動，試確定點P的位置，使PA+PB+PC最小，并證明你的結(jié)論．

解點P在銳角△ABC最短邊上的高的垂足位置時，PA+PB+PC最?。?/p>

證明如下：

如圖2，P為△ABC一邊BC邊上的高的垂足，而Q為BC邊上不同于點P的任意一點.因為

PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，

且PA

PA+PB+PC

圖2

圖3

如圖3，設(shè)AC為△ABC最短邊，作BP′⊥AC，可知BP′>AP.在BP′上截取QP′=AP，在BC上截取B′C=AC，作B′Q′⊥AC，垂足為Q′，聯(lián)結(jié)QB′．易證Rt△APC≌Rt△B′Q′C，得AP=B′Q′=QP′， 從而易證四邊形B′QP′Q′是矩形，故∠B′QB=90°.

在△BQB′中，BB′>BQ. 因為

P′A+P′B+P′C=BQ+AP+AC，

PA+PB+PC=BB′+AC+AP,

所以

P′A+P′B+P′C

評注本題通過構(gòu)造矩形使線段“平移”傳遞，更一般地，通過構(gòu)造平行四邊形，借助對邊平行且相等使線段平移．

1.3 利用“軸對稱變換”

( )

(2008年北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題)

解該問題等價于直角坐標系中，在x軸上找到一點C，在直線y=x上找到一點D，使折線段BCDA最短．作點A關(guān)于直線y=x的對稱點A′(-2,-1)，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′(4,1)，得到直線A′B′：

評注本題首先借助軸對稱變換,將“兩定點間的折線段最短”問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”的問題，而后結(jié)合一次函數(shù)的相關(guān)知識求解．

1.4 利用“旋轉(zhuǎn)變換”

例4如圖4，矩形ABCD是一個長1 000 m,寬600 m的貨場，A,D是入口．現(xiàn)擬在貨場內(nèi)建一個收費站P，在鐵路線BC段上建一個發(fā)貨站H.設(shè)鋪設(shè)公路AP,DP以及PH之長度和為l.

(1)求l的最小值；

(2)請指出當l取最小值時，收費站P和發(fā)貨站臺H的幾何位置．

(2011年北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題)

圖4

圖5

解(1)如圖5，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°到矩形AB′C′D′的位置，則矩形內(nèi)的點P和邊BC上的點H隨之分別旋轉(zhuǎn)到點P′,H′，即有

AP=AP′=PP′，P′H′=PH,

從而

l=PD+PA+PH=DP+PP′+P′H′

(即定點D到定直線B′C′上一點H′之間的距離)，其最小值為點D到直線B′C′的距離DM．經(jīng)計算可得

(2)當鋪設(shè)公路總長取得最小值時，點H′與點M重合，點D,P,P′,H′共線，∠APD=120°.因為∠DAD′=60°，所以∠ADM=30°,故∠DAP=30°．此時，收費站P的位置在以AD為底邊、兩底角為30°的等腰三角形的頂點處，發(fā)貨站臺H的位置在邊BC的中點．

評注利用旋轉(zhuǎn)變換將“丫”字型線段組轉(zhuǎn)化為定點與定直線上一點間的折線段，利用“垂線段最短”確定取得最值的情形，借助三角形的相關(guān)知識求出這個最值．

1.5 利用多種變換

例5如圖6，河岸l同側(cè)的2個居民小區(qū)A,B到河岸的距離分別為am,bm，A′B′=cm．現(xiàn)欲在河岸邊建一個長度為sm的綠化帶CD(寬度不計)，使C到小區(qū)A的距離與D到小區(qū)B的距離之和最?。趫D7中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程．

圖6

圖7

(第21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖8

解如圖8，作線段AP∥l，使AP=s，且點P在點A的右側(cè)．取點P關(guān)于l的對稱點P′，聯(lián)結(jié)BP′交l于點D，在l上點D的左側(cè)截取DC=s，則CD即為所求綠化帶的位置．

下證此時AC+BD最小.設(shè)綠化帶建于另一位置C′D′，聯(lián)結(jié)BD′,PD′,AC′,P′D′．由對稱性知

P′D=PD，P′D′=PD′.

由APCD及APC′D′，知

AC=PD，AC′=PD′,

但

P′D′+D′B≥P′B=P′D+BD，

即

PD′+D′B≥PD+DB,

亦即

AC+BD≤AC′+BD′，

當且僅當點D′在線段P′B與l的交點時等號成立．

評注本題在“CD長度不變”的前提下，首先借助平移變換轉(zhuǎn)化為常見的“折線段最短”問題，而后借助軸對稱變換使問題得以解決．

2 建立方程、函數(shù)模型

2.1 尋找極端情形，利用方程求解

例6如圖9，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)，G分別在邊AD，AB，DC上(可與頂點重合).若△EFG是等邊三角形，求△EFG面積的最大值和最小值．

(2010年武漢市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖9

解如圖9，作EK⊥FG，則K是FG的中點，聯(lián)結(jié)AK，BK．由∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，得點E,K,G,B和點E,K,F,A分別共圓，故

∠KBE=∠EGK=60°，

∠EAK=∠EFK=60°，

則△ABK為正三角形，即點M為定點.

當FG∥AD時，△EFG的面積最小，此時

FG=AD=1，

當點F與點B或點G與點C重合時，△EFG的面積最大，此時

△CBF≌△CDE.

設(shè)BF=DE=x，則

AE=AF=1-x.

在△AEF中，由AE2+AF2=EF2得

(1-x)2+(1-x)2=x2+1,

解得

因為

x<1,

所以

此時

2.2 建立一元二次方程模型，利用“根的判別式”求最值

例7已知△XYZ是直角邊長為l的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3個頂點分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的3條邊上．求△ABC直角邊長的最大可能值．

(2002年上海市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖10

圖11

解如圖10，若頂點Z在斜邊AB上，取XY的中點M，聯(lián)結(jié)CM,ZM,CZ，并作AB邊上的高CN，則

CN≤CZ≤CM+MZ=

故

如圖11，若頂點Z在直角邊CA(或CB上)，由對稱性，不妨設(shè)點Z在CA上，設(shè)CX=x，CZ=y，并過點Y作YH⊥CA于點H．易證△ZYH≌△XZC，得

HZ=CX=x，HY=CZ=y.

顯然△AHY為等腰直角三角形，得AH=y.設(shè)AC=b≥0，則2y+x=b，即x=b-2y.在△XZC中，由勾股定理,得

y2+(b-2y)2=12,

即

5y2-4by+b2-1=0.

評注本題需要分點Z在△XYZ的斜邊上和直角邊上2種情況討論，借助幾何方法(不等量的性質(zhì))和代數(shù)方法(建立方程模型)求解．

2.3 建立二次函數(shù)模型求最值

例8(1)如圖12，在正方形ABCD內(nèi)，已知2個動圓⊙O1與⊙O2互相外切，且⊙O1與邊AB,AD相切，⊙O2與邊BC,CD相切．若正方形的邊長為1，⊙O1與⊙O2的半徑分別為r1，r2．

①求r1與r2的關(guān)系式；

②求⊙O1與⊙O2面積之和的最小值．

(2)如圖13，若將(1)中的正方形ABCD改為一個寬為1、長為1.5的矩形，其他條件不變，則⊙O1與⊙O2的面積和是否存在最小值.若不存在，請說明理由；若存在，請求出這個最小值．

(2010年天津市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖12

圖13

故⊙O1與⊙O2面積之和

(2)在Rt△OO1O2中，易得

(r1+r2)2=(1-r1-r2)2+(1.5-r1-r2)2，

整理得

當且僅當r1=r2，即⊙O1與⊙O2是等圓時，S的最小值為

2.4 建立分式函數(shù)模型求最值

例9如圖14，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，點F在邊AB上，點G,H在邊BC上，四邊形EFGH是一個邊長為y的正方形，且AE=AC．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解式；

(2)當x為何值時，y取到最大值,并求出y的最大值．

(2007年新知杯上海市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖14

解(1)延長FE交AC于點D，得

由DF∥BC，得

Rt△ADF∽Rt△ACB，

于是

得

兩邊平方并整理得

(x2+2x+2)y2-(x3+2x2+4x)y+2x2=0,

即

(y-x)[(x2+2x+2)y-2x]=0，

得

(2)由第(1)小題，得

2.5 建立根式函數(shù)模型求最值

(2001年上海市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖15

解作RH⊥AP，QK⊥PB.設(shè)RH=x，則

由Rt△PRH∽Rt△QPK，得

從而

于是

故

由

評注在勾股定理、相似三角形等相關(guān)等量關(guān)系的基礎(chǔ)上建立變量x，y的函數(shù)關(guān)系，得到含有根式的函數(shù)并進一步求其最值．

2.6 建立多元函數(shù)模型求最值

圖16

例11如圖16，邊長為2的正△ABC內(nèi)有一點P，它到3條邊的距離分別為PD，PE，PF．求：

(1)PD+PE+PF的值；

(2)PD2+PE2+PF2的最小值；

(3)△DEF面積的最大值．

(2006年日本東京巢鴨高中招生試題)

得

(2)記PD=x，PE=y，PF=z，則

從而PD2+PE2+PF2=x2+y2+z2=

(3)過點E作EK⊥DP，交DP的延長線于點K，則

從而

同理

故

因為xy+yz+zx=

評注題目中涉及3個量PD,PE,PF，在第(1)小題的基礎(chǔ)上引用2個作為變量來刻畫第(2)小題中的PD2+PE2+PF2和第(3)小題中的△DEF的面積，建立多元函數(shù)模型，利用“主元法配方”確定最值．