非線性熱對(duì)流斑圖實(shí)驗(yàn)

周路群，冉書能，賈春燕

（北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京100871）

1 引 言

以普里高津?yàn)榇淼牟剪斎麪枌W(xué)派的學(xué)者們從近平衡態(tài)熱力學(xué)規(guī)律到遠(yuǎn)離平衡態(tài)的熱力學(xué)系統(tǒng)研究的過程中經(jīng)歷過不小的挫折，然而他們最終提出的耗散結(jié)構(gòu)理論為物理非線性科學(xué)帶來了幾十年的繁榮發(fā)展，成為現(xiàn)代物理前沿研究中的一支奇葩．更為引人注目的是耗散結(jié)構(gòu)理論體系中的諸多重要概念現(xiàn)如今已廣泛地深入到大眾生活中，這是因?yàn)楹纳⒔Y(jié)構(gòu)理論不僅能解釋許多物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)問題，近年來還被引入哲學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域，使之成為當(dāng)代少數(shù)幾個(gè)能橫跨自然與人文社會(huì)科學(xué)的重要科學(xué)理論之一．普里高津于1977年因此獲得了諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)［1］．

早在1900年貝納德就觀察到由于對(duì)流現(xiàn)象流體形成的花樣（斑圖），后來瑞利對(duì)該系統(tǒng)做了理論分析，故該系統(tǒng)被稱為瑞利－貝納德熱對(duì)流系統(tǒng)．物理學(xué)家們對(duì)該系統(tǒng)又做了更為詳盡的研究，以平衡態(tài)、近平衡態(tài)系統(tǒng)到遠(yuǎn)離平衡態(tài)的開放系統(tǒng)這些基本概念為出發(fā)點(diǎn)，討論不穩(wěn)定性、漲落的作用，提出了從無序到有序的臨界轉(zhuǎn)變過程，也即耗散結(jié)構(gòu)（斑圖）的發(fā)生發(fā)展演化過程．這個(gè)系統(tǒng)直到現(xiàn)在也仍然吸引科學(xué)家們的關(guān)注［2］．

筆者基于對(duì)斑圖動(dòng)力學(xué)的研究，參考了文獻(xiàn)［3］中的做法，搭建了一套用陰影法觀察非線性瑞利－貝納德熱對(duì)流斑圖發(fā)生發(fā)展的演化過程的教學(xué)裝置，并于2010年秋季學(xué)期正式納入到近代物理實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué)體系當(dāng)中．此裝置的引入旨在讓高年級(jí)本科生通過對(duì)經(jīng)典系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)觀察體會(huì)和理解耗散結(jié)構(gòu)理論，以及相關(guān)的基本概念，諸如平衡態(tài)、近平衡態(tài)、遠(yuǎn)離平衡態(tài)的非線性系統(tǒng)，以及不穩(wěn)定性、漲落、從無序到有序的轉(zhuǎn)變等．在教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，采用了陰影法［4］對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象即斑圖進(jìn)行可視化，并用CCD進(jìn)行采集和傳輸數(shù)據(jù)至計(jì)算機(jī)進(jìn)行保存，以便后續(xù)分析．因此，該教學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅綜合了力學(xué)（流體力學(xué)）、熱學(xué)、電學(xué)、光學(xué)等諸多物理基礎(chǔ)領(lǐng)域內(nèi)的基本知識(shí)，而且也使用了現(xiàn)代化的圖像采集和計(jì)算機(jī)技術(shù)，綜合性很強(qiáng)．

2 實(shí)驗(yàn)裝置

圖1是非線性對(duì)流斑圖實(shí)驗(yàn)裝置示意圖，研究的對(duì)象是由去離子水組成的1層薄對(duì)流水層，對(duì)流水層的上方是降溫水層，2個(gè)水層的接觸面是藍(lán)寶石片，在透明介質(zhì)中它具有相對(duì)較高的熱導(dǎo)率，為46 W／（m·K）．降溫水層其他部分是有機(jī)玻璃，選用透明介質(zhì)是為了觀察對(duì)流水層內(nèi)的斑圖，降溫水層通過泵將水泵入制冷機(jī)，然后流過藍(lán)寶石片帶走熱量，從而盡可能穩(wěn)定對(duì)流水層的上表面溫度．藍(lán)寶石片一側(cè)放置了Pt100，用于測量對(duì)流水層的上表面溫度，由溫控儀A顯示溫度．熱對(duì)流水層的下表面是純紫銅盤的鍍金平面，紫銅下面放置硅膠加熱片，通電后對(duì)紫銅進(jìn)行加熱，紫銅的鍍金平面作為反射鏡．紫銅具有高的熱傳導(dǎo)率［為387 W／（m·K）］，加熱后可保證鍍金平面的溫度均勻性．下表面溫度的測量是用另一個(gè)置于紫銅盤和硅膠加熱片之間的Pt100，由溫控儀B顯示溫度．熱對(duì)流水層的上下2個(gè)表面溫度差的控制和改變是利用通過硅膠加熱片的電流來決定的．固定電流，加熱片放熱的功率一定，在從下而上的熱傳遞過程中整個(gè)系統(tǒng)逐漸達(dá)到穩(wěn)定的溫度分布，最終在熱對(duì)流水層的上下2個(gè)表面形成穩(wěn)定的溫度差．改變電流，加熱片放熱功率改變，通過熱傳遞的暫態(tài)過程最終形成的穩(wěn)定的溫度差也就會(huì)不同．即電流大小的改變決定了對(duì)流水層上下2個(gè)表面溫度差的改變，從而改變對(duì)流水層內(nèi)部的流動(dòng)狀態(tài)．

圖1 非線性對(duì)流斑圖實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

利用陰影法來觀察對(duì)流水層內(nèi)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)即斑圖．用激光器做光源，經(jīng)擴(kuò)束鏡擴(kuò)束，再經(jīng)凸透鏡形成直徑為8 cm的準(zhǔn)平行光光束，半反半透鏡將準(zhǔn)平行光投射到降溫水層和對(duì)流水層，經(jīng)銅盤鍍金表面反射后經(jīng)對(duì)流水層和降溫水層出射，出射光的光強(qiáng)分布反映了對(duì)流水層的密度分布，降溫水層內(nèi)只要保持水流速度恒定，為層流狀態(tài)，對(duì)平行光光強(qiáng)分布影響不大．如果熱對(duì)流水層內(nèi)不出現(xiàn)流動(dòng)，平行光光強(qiáng)分布在出射后仍為均勻分布，如果對(duì)流水層內(nèi)出現(xiàn)流動(dòng)后，其密度各處呈不均勻分布，導(dǎo)致光在各處的折射率不同，因此光通過內(nèi)有流動(dòng)的對(duì)流水層，平行光光強(qiáng)分布不再均勻，而是依賴于對(duì)流水層的折射率亦是密度分布了，此即陰影法．接收屏可接收出射后的光，用CCD拍攝圖像并存入電腦．

3 實(shí)驗(yàn)過程觀察及理論分析

以2012年春季學(xué)期中1組學(xué)生的實(shí)驗(yàn)為例，來說明實(shí)驗(yàn)的過程和相應(yīng)的現(xiàn)象．表1列出了放置好2 mm厚對(duì)流水層時(shí)所選擇的參量即電流的大小變化和相應(yīng)的上下2個(gè)表面的溫度及溫度差，制冷機(jī)溫度設(shè)定為22℃，室溫為28℃．

表1 2 mm厚對(duì)流水層條件下選定的參量

由表1可知，隨著電流的增加，對(duì)流水層的上下2個(gè)表面的溫度也會(huì)相應(yīng)地增加，只是下表面溫度增長比上表面溫度增長要多，從而使得對(duì)流水層的上下2個(gè)表面處在不同溫度差條件下．圖2給出3個(gè)典型的穩(wěn)定溫度差情況下CCD所拍攝的圖像，可以清楚地顯示對(duì)流斑圖從無到有的產(chǎn)生過程．

圖2 不同溫度差條件下CCD拍攝的圖像

下面將簡單介紹對(duì)流斑圖產(chǎn)生的相關(guān)理論分析［5－6］．圖3即為本實(shí)驗(yàn)的對(duì)流系統(tǒng)剖面示意圖．上下兩邊界為水平，溫度分別維持為Tu和Tu＋ΔT（ΔT＞0）．

圖3 上下溫度不同的兩無限大平板間的熱對(duì)流系統(tǒng)剖面示意圖

此熱對(duì)流系統(tǒng)滿足鮑興尼斯克（Boussinesq）條件，相應(yīng)的熱對(duì)流基本方程組為：

其中第一個(gè)方程由流體力學(xué)中納維-斯托克斯（Navier－Stokes）方程導(dǎo)出，g 是重力加速度，α 是流體熱膨脹系數(shù)，ˉρ是流體的平均密度．γ＝γ′／ˉρ為流體的黏度，這4個(gè)物理量加上第3個(gè)方程中的熱導(dǎo)率κ＝κ′／（ˉρcp）為常量．第2個(gè)方程為流體連續(xù)性方程，第3個(gè)方程由熱傳導(dǎo)方程導(dǎo)出．這個(gè)方程組可變物理量為V是流體內(nèi)速度場，p是壓強(qiáng)，T是溫度場．由這個(gè)方程組可知，加熱作用κ▽2T產(chǎn)生了流體中溫度變化場T，通過浮力gαT＾z可產(chǎn)生和影響對(duì)流運(yùn)動(dòng)V，而流動(dòng)后又可通過傳輸熱量V·▽T改變?cè)鹊臏囟确植迹Y(jié)合邊界條件，

方程組有定常解

而且p0（z）和T0（z）滿足：

對(duì)此定態(tài)解我們需要了解其穩(wěn)定性情況，常用的辦法就是線性穩(wěn)定性分析，即通過對(duì)定態(tài)解加微擾，討論微擾的線性發(fā)展．假設(shè)存在微擾T＝T0（z）＋θ，p＝p0（z）＋p′，V＝u，代入方程組（1）得到關(guān)于微擾滿足的方程組，并進(jìn)行無量綱化后得到無量綱方程組

其中ω≡u(píng)z是微擾速度u在z方向的分量，

是瑞利數(shù)．

線性穩(wěn)定性分析方法則是將微擾方程中所有變量視作微擾小量，因此可忽略非線性項(xiàng)，然后假設(shè)初始微擾為

方程組（4）是參量方程，其可變參量為瑞利數(shù)R，為溫度差的函數(shù)，通過線性穩(wěn)定性分析方法可求出定態(tài)解（即均勻態(tài)）從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的臨界參量，詳細(xì)推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)［7－8］．?dāng)?shù)值計(jì)算的結(jié)果顯示有如下臨界參量：

也就是說，當(dāng)對(duì)流水層的上下溫差使得瑞利數(shù)R＜Rc時(shí)，系統(tǒng)隨機(jī)出現(xiàn)的擾動(dòng)（漲落）會(huì)隨時(shí)間消失，保持定態(tài)解穩(wěn)定；但當(dāng)R＞Rc，滿足條件的部分?jǐn)_動(dòng)就會(huì)逐漸變大，如（6）式中的λc對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)，當(dāng)它們大到一定程度時(shí)，方程中的非線性項(xiàng)就不能忽略，但通常也是只考慮弱非線性作用，常用的方法是多尺度分析，可得擾動(dòng)振幅所滿足的非線性方程，考慮系統(tǒng)對(duì)稱性后方程的解可用來理解實(shí)驗(yàn)結(jié)果的斑圖分岔行為．由于這部分內(nèi)容推導(dǎo)過程很復(fù)雜，就不詳細(xì)介紹了［7－8］．這里只給出典型的條狀斑圖的解的形式為：注意到λc的值與π相近，對(duì)應(yīng)波長為1／2，回到有量綱的實(shí)際情況有如下結(jié)論：條形斑圖的半波長與液層的厚度相當(dāng)．

圖4可以直觀地將理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果結(jié)合起來看，圖4（a）為溫度差較低時(shí)滿足的瑞利數(shù)為R＜Rc的情況，此時(shí)系統(tǒng)的溫度分布滿足式（3），為溫度梯度在z方向上恒定，且x，y平面處處狀態(tài)相同，陰影法中均勻光入射，均勻光出射，為一均勻光斑，見圖2（a）．當(dāng)溫度差升高時(shí)使得系統(tǒng)一旦滿足的瑞利數(shù)為R＞Rc的情況時(shí)，見圖4（b），系統(tǒng)原來定常解失穩(wěn)，系統(tǒng)自組織起來，形成穩(wěn)定的對(duì)流結(jié)構(gòu)，冷水下降，熱水上升，構(gòu)成對(duì)流元胞，即所謂的耗散結(jié)構(gòu)，此時(shí)，均勻光入射，由于各處流體密度不同，導(dǎo)致光線偏折，冷水下降處光匯聚，熱水上升處光發(fā)散，于是出射光的光強(qiáng)重新分布，可以通過所攝的光斑來重構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)部的對(duì)流情況，如圖2（b），白線處為冷水下降處，則2條白線之間對(duì)應(yīng)2個(gè)對(duì)流元胞，為典型的條狀斑圖，可以用式（7）描述．圖2（c）則顯示了溫度差繼續(xù)升高，光斑對(duì)比度則由于冷熱水之間的溫差變大而變大．

圖4 在不同條件下系統(tǒng)的狀態(tài)（顏色白表示溫度高，顏色灰表示溫度低）以及陰影法中均勻入射后出射的情況（箭頭表示光的走向）

4 討 論

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，為方便和安全，使用了去離子水作為對(duì)流水層，在實(shí)驗(yàn)過程中溫度不斷變化，但可以估算出水的臨界溫度差，取30℃條件下純水的參量：κ′＝0．62 W／（m·K），γ′＝0．8×103Pa·s，α＝4．2×10－4K－1，cp＝4．2×103J／（kg·K），ˉρ＝1．0×103kg／m3，代入式（5）和（6）中，得到臨界溫度差為

仔細(xì)觀察前面圖像，得到臨界溫差在6．5～7．8℃之間．之所以不能明確給出實(shí)驗(yàn)臨界溫差，是因?yàn)樵谂R界點(diǎn)轉(zhuǎn)變點(diǎn)附近出現(xiàn)的斑圖，由于冷熱水之間溫差較低，導(dǎo)致用陰影法不能獲得足夠的圖像對(duì)比度，對(duì)判斷斑圖出現(xiàn)產(chǎn)生困難．另外，一般來說，實(shí)驗(yàn)中獲得的臨界溫差要比理論值略微大些，這是因?yàn)槔碚撝档墨@得所針對(duì)的系統(tǒng)是在x，y平面內(nèi)無邊界的系統(tǒng)，在實(shí)際中做不到，邊界是會(huì)散熱的，所以會(huì)出現(xiàn)此結(jié)果．

可以估算出斑圖的特征尺寸．對(duì)流水層直徑為64 mm，在圖2（b）中直徑上可以數(shù)出13～14個(gè)空間周期的變化．用13個(gè)周期來算，可得對(duì)流元胞的尺寸大約是2．5 mm，而此系統(tǒng)的厚度為2 mm，可以看出系統(tǒng)斑圖的模式選擇在很大程度上由厚度決定．另外，可以預(yù)計(jì)，隨著溫差的增大，元胞尺寸會(huì)增大，在實(shí)驗(yàn)中可以明顯觀察到此變化．

我們認(rèn)為圖2中出現(xiàn)的是條狀斑圖，這是因?yàn)樵谧越M織過程中邊界很大程度上會(huì)對(duì)斑圖的形成有影響．理想圓形邊界下的條狀斑圖是完整的同心圓結(jié)構(gòu)．如果在實(shí)驗(yàn)前精心清洗過設(shè)備各個(gè)部件，是能夠得到完整的同心圓結(jié)構(gòu)斑圖的．這也是斑圖的又一個(gè)重要特征，對(duì)邊條件強(qiáng)依賴．只有當(dāng)直徑與厚度比足夠大，邊界的影響才可以忽略．還有一個(gè)問題值得說明，理論方面可以得出另一種對(duì)稱性高的斑圖——六角斑圖，但由于斑圖的邊界依賴性質(zhì)，它對(duì)系統(tǒng)對(duì)稱要求更高，所以在這套裝置上需仔細(xì)認(rèn)真地準(zhǔn)備．另一方面，六角斑圖出現(xiàn)在臨界點(diǎn)附近較小參量范圍內(nèi)，對(duì)參量選擇要求也較高．

5 結(jié)束語

總之，該裝置在定量測量上還存在欠缺，這一方面是由于裝置的各個(gè)部件的光潔度所限，如紫銅盤的鍍金表面，限定水層的橡膠圈等，還受限于觀察方法，即陰影法．但使用該裝置可以很清楚地看到條狀斑圖從無到有的產(chǎn)生過程，對(duì)本科生而言，接觸和理解相關(guān)的理論尤其是非線性動(dòng)力學(xué)方面及耗散結(jié)構(gòu)理論是相當(dāng)直觀和有幫助的．

致謝：感謝郭葳和朱威頔2位同學(xué)提供了實(shí)驗(yàn)結(jié)果．

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