關(guān)于丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2p2y3

石 增，高 麗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

1 主要引理

長(zhǎng)期以來(lái)，丟番圖方程一直是數(shù)論中引人關(guān)注的研究課題，純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中很多問(wèn)題都可以歸結(jié)為此類方程的求解問(wèn)題。設(shè)N+是全體正整數(shù)的集合，p是奇素?cái)?shù)，1996年曹珍富［1］討論了方程x(x+1)(x+2)=2py2，x，y∈N+，當(dāng) x 為奇數(shù)時(shí)解的情況.文獻(xiàn)［2］討論了方程 x(x+1)(x+2)=2py2當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)解的情況。2011年崔保軍［3］討論了方程x(x+1)(x+2)=2py3的解，并且證明了方程x(x+1)(x+2)=2py3僅有一正整數(shù)解(p，x，y)=(3，1，1). 本文討論了方程

的解，并證明了此方程沒(méi)有正整數(shù)解。

引理1［4］方程 x2－1=yn，x，y，n∈N+，n≥2僅有正整數(shù)解(x，y，n)=(3，2，3).

引理2［5］設(shè) a，b是給定的正整數(shù)，b＞1且不被6k+1型素?cái)?shù)整除，則方程 x3－by3=1，b＞1，xy≠0除了b=2僅有解(x，y)=(－1，－1)，b=9僅有解(x，y)=(－2，－1)，b=17 僅有解(x，y)=(18，7)和 b=20僅有解(x，y)=(－19，－7)外，其它情況均無(wú)整數(shù)解。

引理 3［6］不定方程 x3+y3=z3， x，y，x∈Z，無(wú)xyz≠0的解。

由引理2可以得到引理4。

引理4 方程x3+1=2y3僅有正整數(shù)解(x，y)=(1，1)，方程 x3－1=2y3僅有正整數(shù)解(x，y)=(－1，－1)。

2 結(jié)果及證明

定理 丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2p2y3沒(méi)有正整數(shù)解。

證明 用反證法。設(shè)方程(1)有正整數(shù)解(x，y)，因(x+1，x(x+2))=1，故存在正整數(shù) a，b 使得方程(1)存在下面四種情況:

由式(2)有(2p2a3)2－1=b3，根據(jù)引理1可知，該情況下方程(1)無(wú)解。

由式(3)有(p2a3)2－1=2b3，即(p2a3－1)(p2a3+1)=2b3，易知p2a3為奇數(shù)，此時(shí)有(p2a3－1，p2a3+1)=2，故存在不為零的正整數(shù) c，d 使得p2a3－1=2c3，p2a3+1=(2d)3，或 p2a3－1=(2c)3，p2a3+1=2d3，其中:c，d 是滿足(c，d)=1，cd=b的正整數(shù)，此時(shí)有c3－4d3=1，或d3－4c3=1，由引理2可知，該情況下方程(p2a3)2－1=2b3無(wú)解，即方程(1)在這種情況下無(wú)解。

對(duì)于(4)式，我們有(a3)2－1=2p2a3，因?yàn)?a為奇數(shù)，所以有(a3+1，a3－1)=2，由此我們有

其中:c，d 是滿足(c，d)=1，cd=b 的正整數(shù)。

由引理3可知，該情況下方程(1)無(wú)解。

由式(5)得(2a3)2－1=p2b3，因?yàn)?2a3－1，2a3+1)=1.所以有

其中:c，d 是滿足(c，d)=1，cd=b 的正整數(shù)。

當(dāng)2a3+1=c3時(shí)，即c3－1=2a3，那么由引理4可知(6)式無(wú)正整數(shù)解.則此時(shí)式(1)無(wú)正整數(shù)解。

當(dāng)2a3－1=d3時(shí)，即 d3+1=2a3，由引理4可知2a3－1=d3僅有正整數(shù)解(d，a)=(1，1)，代入2a3+1=p2c3式得:3=p2c3，此式無(wú)正整數(shù)解。證畢。

［1］崔保軍.關(guān)于丟番圖方程 x(x+1)(x+2)=2py2［J］.高師理科學(xué)刊，2010，30(2):35－37.

［2］曹珍富.數(shù)論中的問(wèn)題與結(jié)果［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，1996:124－125.

［3］崔保軍.關(guān)于丟番圖方程 x(x+1)(x+2)=2py3［J］.高師理科學(xué)刊，2011，31(2):25－26.

［4］柯召.關(guān)于丟番圖方程x2=yn+1，xy≠0［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1964，14(4):457－460.

［5］曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989:219－221.

［6］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1991:298－303.