幾種冷門圖像在物理解題中的妙用

王坦 王金聚

(浙江省溫州中學(xué) 浙江 溫州 325000)

物理圖像具有直觀、形象、簡明的特點(diǎn)，能直觀地描述物理過程，形象地表達(dá)物理規(guī)律，簡潔地闡明各物理量之間的相互關(guān)系，是分析、研究問題常用的方法之一.如運(yùn)動(dòng)學(xué)中的v-t，x-t圖像，電學(xué)中的U-I，i-t，u-t圖像，磁學(xué)中的B-t，Ф-t圖像，熱學(xué)中的p-V，V-T，p-T圖像等，在解題中使用頻率較高.但也有一些圖像雖不太常用， 有時(shí)用起來卻往往能“手到病除”、立竿見影，起到計(jì)算法所不能及的效果，現(xiàn)舉例如下.

1 ︱v︱-t圖像

對追及、相遇問題，有時(shí)涉及多個(gè)物體、多次相遇，物理過程多,情境復(fù)雜，難以建構(gòu)清晰的運(yùn)動(dòng)圖景.此時(shí)，恰當(dāng)?shù)乩脠D像，能直觀地展示復(fù)雜的物理情境，建構(gòu)清晰的運(yùn)動(dòng)過程，拓展思維的深度與廣度，幫助我們找到解題的切入點(diǎn).

【例1】每顆子彈從槍口射出的速度大小都是30 m/s，某人每隔1 s豎直向上開一槍，假定子彈在升降過程中都不相碰，不計(jì)空氣阻力，試求：

(1)空中最多能有幾顆子彈.

(2)設(shè)t=0時(shí)將第1顆子彈射出，什么時(shí)刻與后面的子彈在空中相遇.

(3)每顆子彈分別能與幾顆子彈在空中相遇.

解析：以v表示速率，設(shè)子彈射出后經(jīng)時(shí)間t到達(dá)最高點(diǎn)，由v0=gt，可得t=3 s.作出子彈在空中運(yùn)動(dòng)的速率-時(shí)間圖像，如圖1所示.圖中圖線①、②、③……分別表示第1顆子彈、第2顆子彈、第3顆子彈……的速率-時(shí)間圖像.顯然，任意兩條圖像的交點(diǎn)都表示兩子彈速率相同且一升一降時(shí)的情況，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示相遇的時(shí)刻，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示相遇時(shí)的速率大小.

圖1

由圖1可知，當(dāng)?shù)?顆子彈即將射出時(shí)，第1顆子彈即將落地，所以說空中最多有6顆子彈.由于升、降圖線的斜率大小都表示重力加速度g，所以升、降圖線具有左右對稱性，由圖像可以直觀地看出第1顆子彈與其他子彈相遇時(shí)所對應(yīng)的是圖中的A1,A2,A3,A4,A5點(diǎn)，相遇的時(shí)刻分別是t=3.5 s，4 s，4.5 s，5 s，5.5 s.

由于圖線的交點(diǎn)都對應(yīng)相遇點(diǎn)，顯然，只要數(shù)一下每顆子彈的速率-時(shí)間圖線與其他子彈的圖線有幾個(gè)交點(diǎn)，就可以得出它與幾顆子彈在空中相遇.由圖1容易數(shù)出：第1顆相遇5顆，第2顆相遇6顆，第3顆相遇7顆，第4顆相遇8顆,第5顆會(huì)相遇9顆，從第6顆開始射出的子彈都相遇10顆.

第(2)、(3)問屬于多顆子彈的相遇問題.不難想象，若采用公式計(jì)算，比較復(fù)雜.若采用我們常使用的速度-時(shí)間圖像，則各子彈的圖線也不會(huì)相交，不能用交點(diǎn)形象地刻畫相遇點(diǎn).但巧妙地選用速率-時(shí)間圖像，相遇點(diǎn)的情況在圖像中一目了然，相遇的時(shí)刻及速度大小都能在坐標(biāo)系中直接讀出，方法巧妙，效果明顯.

2 Ep-h和Ek-h圖像

某些能量會(huì)隨距離呈線性變化，如重力勢能、電勢能等，都與距離有關(guān).在涉及到有關(guān)能量隨距離變化的問題時(shí)，可以巧用圖像展示能量隨距離變化的動(dòng)態(tài)過程，往往能從圖像上一目了然、直觀地得到結(jié)果，縮短了分析與推理的過程.

【例2】在地面上以初速度v0豎直上拋一個(gè)足球，空氣阻力不能忽略.足球在空中能上升的最大高度為hm，足球在上升過程距拋出點(diǎn)距離為h1處，足球的動(dòng)能和重力勢能相等；下落過程中距拋出點(diǎn)距離為h2處，足球的動(dòng)能和重力勢能相等，則下列說法中正確的是

解析：本題涉及上升、下落兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，兩過程中物體的動(dòng)能、重力勢能均隨h變化而變化，屬動(dòng)態(tài)變化問題，較為復(fù)雜. 以拋出點(diǎn)所在的平面作為重力勢能零勢能面，以h表示足球距拋出點(diǎn)的高度，在上升階段，根據(jù)動(dòng)能定理可得

即Ek=Ek0-(mg+f)h

(1)

在下落階段，根據(jù)動(dòng)能定理可得

即Ek=(mg-f)(hm-h)

(2)

重力勢能隨h變化的關(guān)系式為

Ep=mgh

(3)

圖2

【例3】(2010年高考上海卷第29題)某同學(xué)利用DIS，定值電阻R0，電阻箱R1等實(shí)驗(yàn)器材測量電池a的電動(dòng)勢和內(nèi)阻，實(shí)驗(yàn)裝置如圖3.

圖3

圖4

(1)由圖4中圖線a可知電池a的電動(dòng)勢Ea=______V，內(nèi)阻ra=______Ω.

(2)若用同一個(gè)電阻R先后與電池a及電池b連接，則兩電池的輸出功率Pa______Pb(填“大于”、“等于”或“小于”).兩電池的效率ηa______ηb(填“大于”、“等于”或“小于”).

圖線a在縱軸上的截距為0.5 V-1,即

所以

Ea=2 V

即

圖線a在橫軸上的截距為-2.0 Ω-1,所以

內(nèi)阻

ra=0.5 Ω

Ua

Pa

電池的效率

所以

ra

代入上式得

ηa>ηb

有些物體的運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，不是我們所熟悉的運(yùn)動(dòng)模型，無法用勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解，其v-t圖像也不呈直線.此時(shí)要解決問題，往往需要對兩坐標(biāo)軸所代表的量進(jìn)行靈活變動(dòng)，目的是能把描述物體運(yùn)動(dòng)的圖像“化曲為直”，使直線的斜率與坐標(biāo)軸所圍的面積等對應(yīng)某些所求的物理量，用圖像法實(shí)現(xiàn)突破.

【例4】 一只老鼠從鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距鼠洞中心距離s1=1 m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為v1=20 cm/s.求當(dāng)老鼠到達(dá)距鼠洞中心s2=2 m的B點(diǎn)時(shí)，其速度大小v2及老鼠從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間t.

圖5

由圖5可得s=2 m時(shí)，老鼠的速度為10 cm/s.在1～2 m之間圖線與橫軸包圍的面積即為所求的時(shí)間，所以老鼠從A到B爬行的時(shí)間為

5 a-t圖像

若物理量A，B，C滿足關(guān)系A(chǔ)=BC，則可以建立平面直角坐標(biāo)系，以縱坐標(biāo)表示B，橫坐標(biāo)表示C，描繪出B，C的關(guān)系圖像，則圖線與橫坐標(biāo)軸所圍的面積就可以表示物理量A.

【例5】 如圖6所示，一個(gè)質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的物體處于場強(qiáng)按E=kt規(guī)律(k為大于零的常數(shù)，取水平向左為正方向)變化的勻強(qiáng)電場中，物體與絕緣豎直墻壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)t=0時(shí)，物體由靜止釋放．若最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且電場空間和墻面均足夠大，求：

(1)物體經(jīng)過多長時(shí)間運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大；

(2)最大速度是多少.

圖6

解析：(1)開始階段，分析物體的受力，可得

mg-μqkt=ma

隨著時(shí)間的延續(xù)，物體的加速度越來越小.當(dāng)a=0時(shí)，物體的速度達(dá)到最大，此后做減速運(yùn)動(dòng)直至停止.所以在速度最大時(shí)有

mg-μqkt=0

即經(jīng)過時(shí)間

物體在豎直墻壁上的速度達(dá)到最大值.

(2)由mg-μqkt=ma，得

作出a-t圖像，如圖7所示.顯然，t軸之上三角形的面積大小代表速度的增加量，t軸之下三角形的面積大小表示速度的減少量.由于物體出發(fā)的初速度為零，所以最大速度就等于上面三角形的面積大小.即

圖7

該題利用圖像展示了復(fù)雜的動(dòng)態(tài)過程，雖然不是我們所熟悉的勻變速運(yùn)動(dòng)，但可以根據(jù)圖線與坐標(biāo)軸所圍面積的物理意義，簡捷明快地得出結(jié)果，令人耳目一新.

由此看來，圖像往往都蘊(yùn)含著豐富的信息，如圖線的截距、斜率、拐點(diǎn)、圖線所圍面積、兩圖線交點(diǎn)等，都有各自的物理意義.巧借圖像解題，常常能化難為易、化繁為簡，特別是有些運(yùn)用解析法無法解決的問題，常能從圖像上觸發(fā)靈感，另辟蹊徑，使問題迎刃而解，具有難以替代的作用.運(yùn)用圖像解題也是高考重點(diǎn)考查能力之一.作為教師，應(yīng)該在課堂教學(xué)中嘗試著滲透圖像法，把解析法與圖像法有機(jī)地結(jié)合起來，有意識(shí)地對學(xué)生進(jìn)行圖像法解題的思維訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握這一重要的解題方法.