再論“為何繩端速度如此分解”

馬皓

(平頂山市第二中學(xué) 河南 平頂山 467000)

文獻(xiàn)[1]中用簡(jiǎn)單明了的方法分析討論了高中物理教學(xué)中的一個(gè)知識(shí)難點(diǎn)——繩子拉船問(wèn)題．

繩子拉船問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)的合成與分解中的典型例子．很多學(xué)生對(duì)此問(wèn)題的理解都感到非常困難，怎樣使學(xué)生正確地理解和掌握這個(gè)問(wèn)題呢？下面筆者就根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，再討論一下這個(gè)問(wèn)題的理解及求解此問(wèn)題的一些其他方法．

1 繩子拉船問(wèn)題的理解

1．1 繩子拉船問(wèn)題

如圖1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用繞過(guò)定滑輪O的輕繩勻速地拉動(dòng)水面上的一只小船，如果人拉動(dòng)繩子的速度大小為v，則當(dāng)繩子OA與水平面的夾角為θ時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)的速度為多大．

圖1

1．2 常見錯(cuò)誤及原因分析

對(duì)此問(wèn)題，很多學(xué)生的常見錯(cuò)誤是把拉動(dòng)繩子的速率v沿豎直和水平兩個(gè)方向分解，如圖2所示，因此錯(cuò)誤地認(rèn)為船沿水面運(yùn)動(dòng)的速度，就是繩子沿水平方向的分速度，即

v船=vcosθ

(1)

圖2

造成上述錯(cuò)誤的原因，就是沒(méi)有分清楚合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)，錯(cuò)誤地認(rèn)為與船相連的繩子沿收縮方向是合運(yùn)動(dòng)，小船的運(yùn)動(dòng)為它的分運(yùn)動(dòng)．實(shí)際上，繩子A端與船相連，它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)與小船運(yùn)動(dòng)相同，也是水平向左，這才是合運(yùn)動(dòng)．

1．3 常規(guī)解法

如圖1，當(dāng)繩子拉著小船水平向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，定滑輪右邊的繩子運(yùn)動(dòng)有這樣的效果：一方面，沿繩子方向收縮；另一方面，繩子繞定滑輪O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．因此，可將繩A端(或小船)水平向左的實(shí)際運(yùn)動(dòng)(合運(yùn)動(dòng))分解成上述兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，而沿繩子收縮方向的分速度大小等于人通過(guò)定滑輪拉動(dòng)繩子的速度大小v，故小船運(yùn)動(dòng)的速度為

(2)

圖3

1．4 問(wèn)題的理解

上述的求解結(jié)果學(xué)生普遍感到難以理解．為了幫助學(xué)生更好地理解這個(gè)問(wèn)題，我們就從小船運(yùn)動(dòng)的速度和拉動(dòng)繩子的速度大小關(guān)系入手.由(2)式可知，小船運(yùn)動(dòng)的速度大于拉動(dòng)繩子的速度，式(1)則是小于拉動(dòng)繩子的速度，因此只要證明小船運(yùn)動(dòng)的速度大于拉動(dòng)繩子的速度，問(wèn)題就比較容易理解了．將繩子拉動(dòng)船的過(guò)程中，繩子與水平方向的夾角設(shè)置兩個(gè)特殊值來(lái)進(jìn)行考慮，如圖4所示，設(shè)在某時(shí)間t內(nèi)，拉動(dòng)船時(shí)繩子與水平面的夾角由30°增大到45°，則在這段時(shí)間內(nèi)，小船前進(jìn)的距離為

繩子收縮的長(zhǎng)度為

圖4

由此可得s>L，故小船運(yùn)動(dòng)的速度必大于人拉動(dòng)繩子的速度．這樣一來(lái)，學(xué)生在理解此問(wèn)題時(shí)就輕松多了，就會(huì)自動(dòng)排斥錯(cuò)誤的解法，從而認(rèn)可和接受正確的解法．

2 繩子拉船問(wèn)題的其他求解方法

繩子拉船問(wèn)題，除了上面的常規(guī)解法，還有其他一些求解方法．

2．1 功能原理法

設(shè)定滑輪的質(zhì)量、滑輪與軸之間的摩擦均不計(jì)，則人在利用繞過(guò)定滑輪的繩子拉船過(guò)程中，人拉輕繩所做的功等于繩子拉船所做的功，即W人=W船，由于人拉繩與繩拉船的時(shí)間相同，則有

(3)

即P人=P船.設(shè)人對(duì)繩子的拉力為F，則繩對(duì)船的拉力大小也為F，根據(jù)功率的計(jì)算公式P=Fvcosα，有

P人=Fv

(4)

P船=Fv船cosθ

(5)

聯(lián)立(3)、(4)、(5)式可得

同樣，利用(3)、(4)和(5)式，也可以理解為什么船運(yùn)動(dòng)的速度大于人拉動(dòng)繩子的速度，繩子拉船時(shí)，力與水平間有夾角，為了保證人拉繩子的功率等于繩子拉船的功率，必須使船運(yùn)動(dòng)的速度大于拉動(dòng)繩子的速度．

2．2 導(dǎo)數(shù)法

如圖5所示，建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系xOy.

圖5

設(shè)小船離岸的水平距離為x，繩子的長(zhǎng)度為r，則

r2=h2+x2

對(duì)上式求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得(h為定值)

其中

由上式可得

2.3 微元法

我們常說(shuō)，要給學(xué)生一杯水，教師要有一桶水.做為教師也可以從更高的層次理解此題.

由圖5可得

(6)

對(duì)(6)求導(dǎo)，注意r，x，θ都是以時(shí)間t為變量，有

(7)

以上幾種解法，構(gòu)思各異，特別是功能原理法，既簡(jiǎn)單又易懂，確實(shí)是一個(gè)好方法，但此時(shí)還未講解功率的計(jì)算公式P=Fvcosα，而微分法和導(dǎo)數(shù)法則要求有較高的數(shù)學(xué)知識(shí)．因此，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)這樣安排，初次講授此問(wèn)題時(shí)，只講常規(guī)解法和問(wèn)題的理解，待高三總復(fù)習(xí)時(shí)，再將這些方法全都介紹給學(xué)生，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新意識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題能力．

參考文獻(xiàn)

1 方銀良.為何繩端速度如此分解.物理教師，2010(2)：14