Matlab在常微分方程教學中的應用

閆金亮

(武夷學院 數(shù)學與計算機系，福建 武夷山 354300)

Matlab在常微分方程教學中的應用

閆金亮

(武夷學院 數(shù)學與計算機系，福建 武夷山 354300)

本文主要介紹了Matlab在常微分方程教學中的一些應用，如利用數(shù)值方法求解常微分方程的數(shù)值解、利用Matlab來描繪常微分方程解曲線及方向場、利用Matlab描繪常微分方程奇解的幾何意義等，最后我們對在常微分方程教學中使用Matlab的意義作一簡單的評價。

常微分方程；Matlab；方向場；奇解

1 引言

科學技術和工程中大量的問題都表達為常微分方程的形式，特別是描述系統(tǒng)的動態(tài)演變時，如RLC電路、數(shù)學擺、人口模型、生態(tài)模型、化學反應過程等都表達為以時間t為獨立變量的常微分方程或方程組，所以常微分方程非常重要.但在實際中，除了一些簡單或特殊的微分方程，我們可以用公式或特定的方法求解外，大部分方程要給出其解析解常常是非常困難的，我們只能借助于數(shù)學軟件給出其數(shù)值解.而現(xiàn)行的各種常微分方程教材，對數(shù)值解法的介紹都涉及不多，而且受限于常規(guī)的教學方式，給學生講解數(shù)值解法也比較困難.另外，傳統(tǒng)的常微分方程的教學，往往偏重于理論學習，如一階初等微分方程的初等解法，我們往往偏重于求解微分方程的一系列方法，而對于抽象的方程的解對應的積分曲線和積分曲線族，以及一些與幾何聯(lián)。系緊密的概念如奇解等往往很難給學生以直觀的解釋，致使學生很難理解相關概念和解的幾何意義.

Matlab是由美國的Cleve Moler博士于1980年提出的，它以矩陣運算為基礎，把計算、可視化、程序設計融合到了一個簡單易用的交互式工作環(huán)境中.可實現(xiàn)工程計算、算法研究、符號運算、建模和仿真、原型開發(fā)、數(shù)據(jù)分析及可視化、科學和工程繪圖、應用程序設計等功能.Matlab強大的運算功能和圖形使其成為目前世界上應用最為廣泛的科學計算軟件之一.鑒于此，我們可以借助于Matlab來介紹常微分方程的數(shù)值解法，并且利用它的繪圖功能來演示像奇解這樣有明顯幾何意義的概念的幾何特征.

下面我們對本文結(jié)構(gòu)作一簡要介紹，第二部分對常用的求解常微分方程的數(shù)值方法如歐拉方法、改進歐拉方法和Runge-Kutta方法等作一簡單介紹；第三部分結(jié)合具體實例介紹一下Matlab在常微分方程教學中的一些應用；第四部分我們對借助Matlab進行常微分方程教學的意義作一簡要評述.

2 數(shù)值方法介紹

下面我們針對微分方程的初值問題

分別介紹歐拉方法、改進歐拉方法以及Runge-Kutta方法.

微積分基本定理(牛頓—萊布尼茨公式)

設 f（x）在［a,b］上連續(xù)，F(xiàn)（x）是 f（x）在［a,b］上任意一個原函數(shù)，則有

由微積分基本定理我們有

我們分別對上式右端使用數(shù)值積分公式，即若使用左矩形公式，有

我們?nèi)?yn作為 y（xn）的近似值，則有

同理，若使用右矩形公式，有

同樣地，若使用梯形公式，有

3 應用舉例

下面我們通過具體例子來看一下Matlab在常微分方程教學中的一些應用.

1.利用Matlab求解常微分方程數(shù)值解

數(shù)值實驗一：分別用歐拉方法、改進歐拉方法、4階Runge-Kutta方法計算下列初值問題

并與精確解對比，其中步長h=0.1，精確解

表一和表二中分別給出了精確解、數(shù)值解及絕對誤差和相對誤差，從表中可以看出歐拉方法有1階精度，即誤差為為o（h），改進歐拉方法有2階精度，即誤差階為o（h2），4階 Runge-Kurta方法有4階精度，即誤差階為o（h4）；圖一是各個方法的數(shù)值解與精確解的對比圖，從圖像上可以看出4階Runge-Kutta方法的解基本與精確解吻合，而歐拉方法的解與精確解偏差較大，圖二為各個方法的數(shù)值解的絕對誤差圖像，從圖像上可以看出4階Runge-Kutta方法的絕對誤差幾乎接近于零，而歐拉方法的絕對誤差相對較大.

2.利用Matlab繪制常微分方程的解曲線和方向場我們可以利用以下代碼來繪制數(shù)值實驗一方程對應的解曲線和方向場：

(1)編寫微分方程(方程組)的M文件比如文件名szj.m function dy=ode1(x,y)

表1 計算結(jié)果

表2 計算結(jié)果

圖1 方程數(shù)值解與精確解

圖2 數(shù)值解與精確解的絕對誤差

（2）調(diào)用函數(shù)來求解微分方程（方程組）

如下圖所示，其中圈構(gòu)成曲線表示解曲線.

圖3 解曲線和方向場

3 利用Matlab解釋奇解的幾何意義

如下圖所示，其中圈構(gòu)成曲線表示奇解，

圖4 積分曲線與奇解

4 小結(jié)

在本文中，我們主要介紹了Matlab在常微分方程中的一些應用，首先，我們利用不同的數(shù)值方法來求解常微分方程的數(shù)值解，并對不同方法的精確度作了比較；其次，利用Matlab來描繪常微分方程的解曲線和方向場；最后，利用Matlab來描繪了常微分方程奇解的幾何意義.

常微分方程課程比較復雜，對學生的數(shù)學基礎要求較高，所以學生學起來比較吃力，所以學生容易對學習喪失興趣，學習主動性比較差.所以，在授課過程中，我們不僅要將基本概念和原理給學生講通講透，還要利用計算機的表現(xiàn)能力將抽象問題具體化.Matlab教學平臺的引入，能夠化繁為簡，化抽象為具體，加深學生對本課程的掌握程度，提高教學效果，并且引導學生將理論應用于實際.

[1]王高雄，周之銘，朱思銘等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社.

[2]劉保柱，蘇彥華，張宏林.MATLAB7.0從入門到提高(修訂版)[M].北京：人民郵電出版社.

[3]胡世華，揚東屏.中國大百科全書：數(shù)學卷[M].北京：大百科全書出版社，1988.

[4]朱春蓉，鄭群珍.Maple在常微分方程教學中的應用[J].河南教育學院學報：自然科學版，2009，18(3)：63-64.

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Application on M atlab in Ordinary Differential Equation Education

YAN Jinliang

（School of Mathematics and Computer Science,Wuyi University,Wuyishan,Fujian 354300）

In this paper,We mainly introduce some application of Matlab in ordinary differential equation education.For example,Using numerical methods to com put the numerical solution of ordinary differential equation;Using Matlab to draw the picture of solution curve and orientation field about ordinary differential equation;Using Matlab to depict the geometric meaning of odd solution about ordinary differential equation.At last,we simply evaluate the meaning of Matlab in ordinary differential equation education.

ordinary differential equation;Matlab;orientation field;odd solution

O175.1

A

1674－2109(2012)01－0095－05

2012-02-21

閆金亮(1979-)，男，漢族，碩士，助教，主要研究方向：微分方程數(shù)值解。