關于丟番圖方程x2+y3=z4的討論

管訓貴

（泰州師范高等?？茖W校 數(shù)理信息學院，江蘇 泰州 225300）

關于丟番圖方程x2+y3=z4的討論

管訓貴

（泰州師范高等?？茖W校 數(shù)理信息學院，江蘇 泰州 225300）

利用解序列的遞歸性，得到了丟番圖方程x2+y3=z4的一族非負整數(shù)解．

丟番圖方程；解序列的遞歸性；非負整數(shù)解

1 引言及主要結論

1952年，L.E.Dickson在文獻[1]中介紹Mathieu證明了丟番圖方程

有無窮多組非負整數(shù)解，但并沒有給出這些解的計算公式．1960年，E. Kiss在限制條件

的情況下討論了方程(1)[2]．

本文運用 Pell方程 x2- 2 y2=±1的解序列的遞歸性質，給出丟番圖方程(1)的一族非負整數(shù)解，即下面的定理1．

式中n為正整數(shù)．

2 關鍵性引理

引理1 若(xn,yn)是Pell方程 x2-2y2=1的任一非負整數(shù)解，則該方程的全部非負整數(shù)解可以由下式給出：

其中n為非負整數(shù)．

證明：根據(jù)文獻[3―6]的結論可知，Pell方程x2- 2 y2= 1 的全部非負整數(shù)解為

引理1證畢．

仿引理1的證明可得引理2．

引理2 若(xn，yn)是Pell方程 x2-2y2=-1的任一正整數(shù)解，則該方程的全部正整數(shù)解可以由下式給出：

其中n為正整數(shù)．

3 定理的證明

設(xn， yn，zn) 是方程(1)的一組非負整數(shù)解，則方程(1)可化為

因為gcd(m ，2 m +1)=1，則由(7)式的第三式得

這里 an， bn是互素的正整數(shù)．因此，

另由(8)式的前兩式可得 bn2-2an2=1，根據(jù)引理1，an適合(2)式．

如果令 yn=2m - 1 ， zn2+xn= ( 2 m -1)2（m為正整

數(shù)），則可由(6)式解得

因為gcd(m ， 2 m -1)=1，故由(9)式的第三式得

這里 an， bn是互素的正整數(shù)．因此，

另由(10)式的前兩式可得 bn2-2an2=- 1 .根據(jù)引理 2，an適合(3)式．

定理1證畢．

[1] Dickson L E．History of the Theory of Numbers[M]．Volume Ⅱ．Chelsea，1952．

[2] Kiss E．Rezolvarea in number naturale a eautiei diofantine x2+y3=z4[J]．Studia Univ. Babes-Bolyai. Ser Ⅰ Math. Phys.，1960(1)：15―19．

[3] 華羅庚．數(shù)論導引[M]．北京：科學出版社，1979：286―289．

[4] 曹珍富．丟番圖方程引論[M]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，1989．

[5] 柯召，孫琦．談談不定方程[M]．上海：上海教育出版社，1980：17―28．

[6] 管訓貴．初等數(shù)論[M]．合肥：中國科學技術大學出版社，2011．

Discuss on the Diophantine Equation x2+y3=z4

GUAN Xun-gui

(Taizhou Normal College, Taizhou Jiangsu 225300, China)

The non-negative integer solutions which satisfy the conditions to the Diophantine equation x2+y3=z4is proposed in by using the recursive property of solution sequence.

Diophantine equation; recursive property of solution sequence; non-negative integer solution

O156

A

1006-5261(2012)02-0003-02

2011-12-05

泰州師范高等?？茖W校重點課題資助項目（2010—ASL—09）

管訓貴（1963―），男，江蘇興化人，副教授．

〔責任編輯 張繼金〕