＊1 求解非線性方程的一個新的三階迭代算法

黃娜，馬昌鳳

（福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350007）

＊1求解非線性方程的一個新的三階迭代算法

黃娜，馬昌鳳＊

（福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350007）

提出了求解非線性方程實根的一個新的迭代方法，并證明了這種方法是三次收斂的.特別地，當(dāng)函數(shù)在零點的三階導(dǎo)數(shù)值為零時，這種方法是超三次收斂的.此外，通過數(shù)值實驗驗證了所做的理論分析.給出了五個數(shù)值算例，從迭代次數(shù)，所用CPU時間，誤差以及收斂階這四個方面，將這個新的算法與經(jīng)典的牛頓法等三個算法進(jìn)行比較，數(shù)值結(jié)果表明文章提出的新算法是有效的.

非線性方程；迭代公式；收斂階；數(shù)值實驗

在工程計算和科學(xué)研究中，如電路和電力系統(tǒng)計算、非線性力學(xué)、非線性積分和微分方程等許多領(lǐng)域都要遇到非線性方程的求根問題［1，5］.考慮一元非線性方程

本文提出求解非線性方程（1）的一個新的迭代公式，并證明了這個公式具有三次收斂速度.特別地，當(dāng)函數(shù)f（x）在零點的三階導(dǎo)數(shù)值為零時，這種方法是超三次收斂的.本文最后給出了五個數(shù)值算例，從迭代次數(shù)，所用CPU時間，誤差以及收斂階這四個方面，將這個新的算法及其離散形式與經(jīng)典的牛頓法等三個算法進(jìn)行比較，數(shù)值結(jié)果表明該算法是有效的.

1 算法及其收斂性分析

不妨設(shè)函數(shù)f∶［a，b］?R→R充分可微，x＊為非線性方程f（x）＝0的根.對任給的x k∈［a，b］，函數(shù)f（x）在點x k處的Taylor展開式為［2］：

由（5）式可以構(gòu)造出一種迭代方法來求解非線性方程（1），即經(jīng)典的牛頓法

已經(jīng)證明迭代公式（6）至少具有二階收斂速度.下面我們來推導(dǎo)具有更高收斂階的迭代公式.事實上，若用右矩形公式近似（3）式中的積分，則有

將（7）代入（3）并略去誤差項R［F（x）］（仍然使用等號“＝”），可得

令x k＋1是方程（8）的解，可得下面的迭代公式

由于迭代公式（9）是隱式格式，因此可以用牛頓迭代公式（6）進(jìn)行預(yù)報，于是可以得到求解非線性方程（1）的一個預(yù)報校正公式.

下面我們來考慮迭代格式（10）－（11）的收斂性和收斂速度.我們有如下的定理：

定理1.1 設(shè)函數(shù)f：［a，b］→R充分可微，x＊為非線性方程f（x）＝0的根，且x＊∈［a，b］，則迭代方法（10）－（11）是三次收斂的，且誤差滿足如下等式

等式兩邊同時乘以f′（y k），并整理得

在（2）式中令x＝x＊，并注意到f（x＊）＝0，有

證明記ek＝x k－x＊，由（11）可以得到

上式可以整理為

上式兩邊同時除以f′（x k），有

另一方面，在（2）式中令x＝y(tǒng) k，有

2 數(shù)值實驗

下面通過五個數(shù)值實驗，從迭代次數(shù)、CPU時間、誤差以及收斂階這四個方面，將新的算法（10）－（11）（簡記為HM）與經(jīng)典的牛頓法（記為NM），Aslam Noor和 Waseem的算法［4］（記為NR1），Cordero和Torregrosa的算法［3］（記為CT）進(jìn)行比較.整個實驗在Pentium（R）Dual－Core CPU T4400＠2.20 GHz的PC上執(zhí)行，軟件平臺為MATLAB 2009b.收斂階按照下列公式近似計算（參見文［3］）.

表1 取初值為x0＝0.5的數(shù)值結(jié)果Table 1 Numerical results of the example 1 for initial value x 0＝0.5

算例2函數(shù)f（x）＝sin（x）ex＋ln（x2＋1），其中x∈R，該函數(shù)有唯一零點x＊＝0.取初值為x0＝1，計算結(jié)果如表2.

表2 取初值為x 0＝1的數(shù)值結(jié)果Table 2 Numerical results of the example 2 for initial value x 0＝1

算例3函數(shù)f（x）＝x2－4，其中x∈R，該函數(shù)有兩個零點，分別為x＊＝－2.x＊＊＝2，分別取初值為x0＝－1.5（此時迭代序列收斂于x＊）和x0＝1.5（此時迭代序列收斂于x＊＊）計算結(jié)果分別如表3和表4.

表3 取初值為x0＝－1.5的數(shù)值結(jié)果Table 3 Numerical results of the example 3 for initial value x 0＝－1.5

算例4函數(shù)f（x）＝（x－1）6－1，其中x∈R，該函數(shù)有兩個零點，分別為x＊＝0，x＊＊＝2.分別取初值為x0＝0.5（此時迭代序列收斂于x＊）和x0＝4（此時迭代序列收斂于x＊＊）計算結(jié)果分別如表5和表6.

表5 取初值為x0＝0.5的數(shù)值結(jié)果Table 5 Numerical results of the example 4 for initial value x 0＝0.5

表6 取初值為x0＝4的數(shù)值結(jié)果Table 6 Numerical results of the example 4 for initial value x 0＝4.0

從以上四個算例可以看出，本文所提出的迭代格式（10）－（11）是有效的，無論是迭代次數(shù)或所用CPU時間均優(yōu)于其它算法.

［1］ Burden R L，F(xiàn)aires J D.Numerical Analysis（7th ed.）［M］.Boston：PWS Publishing Company，2001.

［2］ Ortega J M，Rheinboldt W C.Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several variables［M］.Academic Press，1970.

［3］ Cordero A，Torregrosa J R.Variants of Newton’s Method Using Fifth－order Quadrature Formulas［J］.ApplMathComput，2007，190：686－698.

［4］ Aslam Noor M，Waseem M.Some Iterative Methods for Solving a System of Nonlinear Equations［J］.ApplMathComput，2009，57：101－106.

［5］ 馬昌鳳，林偉川.現(xiàn)代數(shù)值計算方法（MATLAB版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2008：6.

A New Third－order Method for Solving Nonlinear Equation

HUANG Na，MA Chang－feng
（SchoolofMathematics＆ComputerScience，F(xiàn)ujianNormalUniversity，F(xiàn)uzhou350007，China）

A new iterative method for solving nonlinear equation is introduced.The method is proved to be cubic convergent.Especially，when the third order derivative of functionf（x）is equal to zero in the zero point of the function，this method will be supercubic convergent.In addition，five numerical examples are given to illustrate the efficiency and the performance of the newly developed method confirms the theoretical results.

nonlinear equation；iterative method；convergence order；numerical experiments

O241.7

A

0253－2395（2012）03－0460－05＊

2011－04－28；

2012－03－21

國家自然科學(xué)基金（11071041）

黃娜（1988－），女，福建閩清人，在讀博士研究生.＊通訊作者：macf＠fjnu.edu.cn