傳遞函數(shù)在地下工程地震響應研究中的應用

盛 謙，崔 臻，劉加進，冷先倫

（1. 中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071；2. 中國水電顧問集團華東勘測設計研究院，杭州 310014）

1 引 言

隧道、地鐵及地下廠房等地下工程在強震作用下的安全性對于人民生命財產(chǎn)及生命線工程的正常運行有著極為重要的影響。與大量的地面建筑物震害相比，地下機構(gòu)的震害資料較少。長時間以來，人們普遍認為地下工程具有較好的抗震性能。但近年來的若干次強震說明地下工程并不一定安全，1999 年臺灣集集地震中，石岡壩輸水隧道垂直變形達4 m，水平變形達3.0 m，隧道全毀；2008 年四川汶川地震中，魚子溪、映秀灣水電站地下廠房洞室同樣出現(xiàn)震損[1]。人們對地下工程在強震作用下的安全性知之甚少，尚需對其作進一步研究。

在地震動力響應研究中，人們已經(jīng)注意到巖體地震響應與地震動頻譜特性的關(guān)系，并開展了許多研究工作[2－4]。地震動自身具有較為復雜的頻譜特性，而動力響應又與工程體的動力特性有關(guān)。地震波3 要素中的幅值、頻譜特征均表現(xiàn)有一定的非平穩(wěn)特性，在數(shù)值計算中輸入的具體地震波僅能視作隨機過程的若干確定性表現(xiàn)。受計算效率限制，一般實踐中只能選取3～5 條記錄進行計算及統(tǒng)計分析，常常難以保證得到可靠的統(tǒng)計量。

傳遞函數(shù)最初源于控制工程理論，被認為是一種優(yōu)秀的信號分析工具。它可以用于描述工程賦存巖體自身的固有動力特性，并簡潔地表達輸入地震動與巖體地震響應之間的對應關(guān)系。本文試圖將傳遞函數(shù)引入到地下工程地震動力響應的研究中，提出利用傳遞函數(shù)進行地下工程地震響應的頻譜特性分析、地震響應時頻估算以及地震動輸入頻譜修正的3 種應用方法。繼而針對金沙江白鶴灘水電站地下廠房13#機組剖面，采用有限帶寬隨機白噪聲進行動力預計算，得到洞室各部位的傳遞函數(shù)。根據(jù)所提出的方法，利用傳遞函數(shù)分別進行了地震響應頻譜特性分析；對在實測地震波輸入條件下洞室的響應進行時頻估算并與實際驗算結(jié)果對比；并針對處于高山峽谷地形下的地下洞室群輸入地震動進行頻譜修正。上述研究可為地下工程的地震動力響應研究提供一些新的思路。

2 傳遞函數(shù)

信號的處理分析中頻域分析往往較之時域分析更為簡練與深刻，可采用頻響函數(shù)來表示系統(tǒng)對于不同頻率諧波的響應特征。頻響函數(shù)通常用傅里葉變換表示，而傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在復頻域平面s=σ +jω的jω軸上的特例。所以頻響函數(shù)實際上是傳遞函數(shù)在傅氏域中的別稱，但在多數(shù)實際應用中對這兩個名詞并不嚴格加以區(qū)別[5]。

對于最簡單的輸入信號 x( t )和輸出信號 y ( t )來說，傳遞信號 H ( s )即是 y (t )的拉普拉斯線性映射Y ( s )與 x ( t )的拉普拉斯線性映射 X ( s )的比值[6]，

以及其對應的輸出信號：

若在線性定常系統(tǒng)中，諧波信號輸入頻率ω 沒有變化，變化的僅有各角頻率ω 的幅值及相位，用頻率響應來描述，分別表述為幅頻響應（增益） ( )G ω及相頻響應 ( )φ ω ：

通常情況下，信號處理的頻域變換是針對無窮長時間信號的，但實際中只能采集到有限時間的信號，這在變換的數(shù)學過程中相當于對無限長信號突然截斷，導致本該集中于某一頻率的能量被分散到周圍的頻域，產(chǎn)生泄漏?？刹捎脤π盘柍松弦粋€窗函數(shù)，使信號在結(jié)束處逐步衰減，從而平滑地過渡到截斷。窗函數(shù)的選擇隨不同信號和不同的處理方法而不同。在地下工程的地震響應頻譜分析中，相對于頻率分辨率，人們往往更加關(guān)心各頻譜成分的貢獻。根據(jù)這一原則，并結(jié)合實際試算，認為采用頻譜幅值精度較高的漢寧窗函數(shù)[7]較為合適。

3 傳遞函數(shù)在地下工程地震響應研究中的應用

3.1 地震動力響應頻譜特性研究

傳遞函數(shù)是被研究系統(tǒng)動力特性的頻域表達形式，表示了系統(tǒng)對輸入信號（地震波）傳遞特性的頻域描述[5]。由于輸入信號在巖體內(nèi)部各處阻抗不同的區(qū)域存在反射、折射和衍射等復雜傳播現(xiàn)象，地震動信號的不同頻段分量在巖體中的傳播規(guī)律有較大區(qū)別，一些頻率成分被放大，一些頻率成分被抑制。輸出信號相對于原輸入信號的頻譜特性有了新的分布特征。除了譜比法[8]、小波包[3]等工具，也可以利用傳遞函數(shù)來研究地下工程地震動力響應的頻譜特性。

3.2 基于傳遞函數(shù)的地震響應時頻估算

根據(jù)第2 節(jié)的討論，對于線性定常系統(tǒng)，若取得一個已知傳遞函數(shù)，則系統(tǒng)的頻域響應規(guī)律可以通過輸入信號的頻譜特性決定[9－10]。采用傳遞函數(shù)估算地下工程對輸入地震動的頻域響應，其表達式為

式中： F (ω )為輸入加速度的傅立葉譜； zj為數(shù)值模型中某點； F (ω ， zj)為該點加速度時程的傅立葉譜估算值。

將擬采用的地震波的傅立葉譜實/虛部與已知的傳遞函數(shù)實/虛部進行逐頻復數(shù)相乘，即得到估算的傅立葉譜值。由于估算得到的傅立葉譜 F (ω ， zj)中的幅值和相位信息是完整的，利用傅立葉逆變換方法IFFT[6]可得到時域響應 f ( t ， zj)的估算值為

圖1 給出了基于傳遞函數(shù)的地震響應時頻估算方法的計算流程。

圖1 基于傳遞函數(shù)的地震響應時頻估算流程 Fig.1 Process map of transfer-function-based seismic response time-frequency estimation method

地下洞室群等地下工程的地震動力計算往往規(guī)模極為龐大，計算代價高昂[11]。若在對具體工程進行地震動力響應計算之前，采用各頻帶頻譜密度近似為常數(shù)的有限帶寬隨機白噪聲等激振信號（如圖2 所示）進行預計算，得到洞室周邊關(guān)鍵部位的傳遞函數(shù)，進而利用傳遞函數(shù)對擬采用的各條地震波進行時頻估算，得到估算的幅值譜以及時程響應曲線。如此可在僅進行一次動力時程計算的前提下，把握地下工程的動力響應整體規(guī)律，并可通過僅耗時幾十秒的數(shù)學計算對工程各部位在強度、頻譜特性及持時不同的各種非確定性地震動輸入下的動態(tài)響應進行估算。相比之下，對每條地震波分別進行動力時程計算動輒各需耗費數(shù)十小時。顯然，基于傳函的估算法相對于傳統(tǒng)分析方法可以大幅度節(jié)省寶貴的計算機時，使得根據(jù)有限的計算把握對象工程的整體動力響應特征成為可能。

圖2 有限帶寬隨機白噪聲加速度時程及傅氏幅值譜 Fig.2 Acceleration-time curve and Fourier amplitude spectrum of random white noise with limited bandwidth

3.3 高山峽谷地形中地震動輸入的頻譜修正

對于水電站地下廠房等地下工程，由于地震波在巖土體的傳播過程中不同頻率分量衰減程度不同，地震波至底部邊界沿高程向上傳播至洞室工程附近的過程中，其峰值、頻譜特性及持時等特征均會發(fā)生一定變化[12]。文獻[13－14]從地震波沿高程向上逐步衰減的角度，提出對輸入地震波峰值應進行深度修正，以保證在控制點（如洞室底部基巖或河谷水位線）處地震動峰值滿足地震安評文件要求的設計峰值。

利用傳遞函數(shù)可定量描述系統(tǒng)自身對輸入信號頻域傳遞規(guī)律的特點，可基于傳遞函數(shù)對輸入地震波進行頻譜修正，使得在控制點的地震動響應頻譜特征滿足設計要求[15]。

具體步驟如下：首先通過白噪聲預計算得到洞室工程控制點部位的傳遞函數(shù)，再將控制點的期望傅立葉譜實/虛部與該控制點的傳遞函數(shù)實/虛部進行逐頻復數(shù)除法，得到底部輸入地震動的修正傅立葉譜值為

式中：F (ω ′， zj)為控制點的期望傅立葉譜；F (ω ′) 為底部輸入地震動的修正傅立葉譜。

將該修正傅立葉譜進行IFFT 變換，即得到頻譜修正后的輸入地震波 ( )F t′ 。將修正后的地震波輸入計算，所得結(jié)果可保證在工程控制點附近的地震動響應頻譜特性滿足設計要求。

圖3 給出了高山峽谷地形中地震動輸入的頻譜修正方法的計算流程。

圖3 高山峽谷地形地震動輸入的頻譜修正流程 Fig.3 Process map of transfer-function-based spectral correction for input ground motion for valley area

4 工程實例

金沙江白鶴灘水電工程地下廠房為大跨度高邊墻的復雜洞室群，其主廠房跨度為32 m，工程位于地震活動強烈的高山峽谷地區(qū)，地震基本烈度為Ⅶ度。選取白鶴灘水電工程地下洞室群的13#機組剖面，進行地震動力響應研究，借以說明傳遞函數(shù)在地下工程地震響應研究中的應用。數(shù)值模型、巖體參數(shù)等條件參見文獻[3]，按歸一化剪切波輸入圖2所示白噪聲，得到洞室各部位的傳遞函數(shù)。圖4 表示了白噪聲預計算得到的主廠房洞室頂拱、底板的傳遞函數(shù)實部、虛部及幅值。

圖4 主廠房洞室底板、頂拱的傳遞函數(shù) Fig.4 Transfer function for the floor & crown of main power house

4.1 主廠房頂拱及地震響應頻譜特性研究

由得到的傳遞函數(shù)幅值可進行洞室的地震響應頻譜分析。結(jié)果表明，地震波自下而上向地表傳播的過程中，不同頻段的分量傳播規(guī)律不盡相同，高頻分量衰減較大。由于地震波的衍射作用，主廠房底板的響應總體上強于頂拱部位，底板部位以1～ 3 Hz 為主要影響頻段，以1.5～2.5 Hz 最為強烈，在1.8 Hz 附近具有一個顯著頻率；頂拱部位以1.5～4 Hz 為主要影響頻段，以2～3.5 Hz 最為強烈，在2 Hz 及3.4 Hz 附近具有2 個顯著頻率，且在3～4 Hz頻段頂拱部位的響應強于底板部位，顯示了洞室各部位不同的動力特性。這些結(jié)論基本與文獻[3]采用小波包頻譜分析手段得到的結(jié)論一致。

4.2 集集地震作用下地震響應的時頻估算

根據(jù)圖4 的傳遞函數(shù)，選取1999 年臺灣省集集7.6 級地震36 臺站compEW site D 實測波，對其進行動力響應的時頻估算。集集地震實測波歸一化時程曲線如圖5 所示。

圖5 集集地震實測波（歸一化后） Fig.5 Chi-Chi earthquake acceleration of time history (normalized)

按照式（4）首先得到集集地震作用下的主廠房洞室底板及頂拱部位的傅立葉譜估算值，如圖6 中實線所示。

圖6 估算及實際計算得到的加速度傅立葉幅值譜 Fig.6 Fourier amplitude spectrum of estimated & calculated results

將估算得到的傅立葉譜，按式（5）進行IFFT變化，即可估算加速度響應時程曲線，如圖7 所示。為驗證估算方法的正確性，進行了輸入集集地震波工況的實際大規(guī)模計算，計算結(jié)果如圖6、7 中的黑色曲線所示。除時程序列首尾段有一定程度的誤差外，估算得到的傅立葉幅值譜及時程曲線均與實際計算得到的結(jié)果吻合較好。時程序列首尾段的誤差來源主要是FFT 及IFFT 變換中的泄漏。

圖7 估算及實際計算得到的加速度時程響應曲線 Fig.7 Acceleration of time history response of estimated & calculated results

4.3 對輸入人工地震波的頻譜修正

分別選取峽谷水位線及洞室底板作為控制點，選取根據(jù)設計反應譜合成的人工地震波的傅立葉譜作為期望頻譜，如圖8 所示。根據(jù)本文提出的方法進行輸入地震動的頻譜修正。

圖8 人工合成地震波（歸一化后） Fig.8 Artificial seismic wave acceleration of time histories (normalized)

圖9 兩個控制點未修正的譜值與期望譜對比 Fig.9 Compare of uncorrected spectral values of the reference points & expected spectrum

由圖9 可見，在未進行輸入地震動頻譜修正前，兩控制點的傅立葉幅值譜與期望譜相比，在2 Hz頻段附近顯著偏大，在5 Hz 以上的高頻段又偏小。未進行頻譜修正的地震波傳播至洞室工程區(qū)域附近時，其動力響應頻譜特性將不滿足設計要求，對地震響應計算結(jié)果造成一定影響，放大或抑制某些頻段的影響，得出錯誤的動力穩(wěn)定性分析結(jié)論。

按照式（6）、（7），將控制點的期望傅立葉譜實/虛部與該控制點的傳遞函數(shù)實/虛部進行逐頻復數(shù)除法，再進行IFFT 變換，得到分別相對于洞室底部控制點和河谷水面控制點的經(jīng)過頻譜修正后的輸入地震波，如圖10 所示。

將修正后的地震動分別重新輸入模型計算，得到結(jié)果如圖11 所示。結(jié)果顯示，對輸入地震動進行頻譜修正后，可保證在控制點得到的地震動力響應頻譜特性符合設計要求，使后續(xù)進行的地下工程動力穩(wěn)定性研究建立在合適的輸入地震動機制上，從而可以得到更為合理的結(jié)果。

圖10 兩個控制點對應的修正后輸入地震動 Fig.10 Corrected input ground motion corresponding with the reference points

圖11 兩個控制點修正后的譜值與期望譜對比 Fig.11 Compare of corrected spectral values of the reference points & expected spectrum

5 結(jié) 論

（1）傳遞函數(shù)可以清晰地表達地下工程在地震動作用下的輸入、輸出關(guān)系，描述洞室工程各部位的動力特性，且與已有的頻譜特性研究方法得出的結(jié)論相一致。在自下而上的地震剪切波作用下，洞室底板部位的響應整體強于頂拱部位，且具有不同的主頻段。但在3～4 Hz 頻段，頂拱的動力響應強于底板。

（2）采用有限帶寬隨機白噪聲算得洞室工程各部位的傳遞函數(shù)，根據(jù)各部位傳遞函數(shù)進行實際地震響應時頻估算的方法是可行的，估算結(jié)果與驗算結(jié)果吻合良好。該方法可以大幅度減少計算量，使得根據(jù)有限的計算把握對象工程的整體動力響應特征成為可能。

（3）根據(jù)已有研究成果，取洞室底部或河谷水面為地震響應頻譜控制點，基于傳遞函數(shù)對輸入地震動時程進行頻譜修正，可保證地下工程動力響應地震動輸入機制的合理性。

（4）傳遞函數(shù)的理論基礎目前僅建立在線性系統(tǒng)假定上，當需要考慮地下工程的非線性特征時，其應用途徑當作進一步研究。

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