Gram矩陣在不等式中的應(yīng)用

張 賓

(湖北民族學(xué)院 預(yù)科教育學(xué)院，湖北 恩施 445000)

定義1[1]設(shè)x1,x2,…,xn是內(nèi)積空間中的n個(gè)向量，矩陣:

稱為由x1,x2,…,xn生成的Gram矩陣.通常用G(x1,x2,…,xn)來記上述Gram矩陣.其行列式稱為Gram行列式，通常用Γ(x1,x2,…,xn)表示.

引理1[5]設(shè)x1,x2,…,xn是內(nèi)積空間中的n個(gè)向量，則G(x1,x2,…,xn)為半正定矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)x1,x2,…,xn線性無關(guān)時(shí)G(x1,x2,…,xn)為正定的.

引理2 設(shè)x,y,z是實(shí)內(nèi)積空間中的三個(gè)非零向量，則:

式(1)當(dāng)且僅當(dāng)x1,x2,…,xn線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立.

定理1 設(shè)x,y是實(shí)內(nèi)積空間中的向量，若x=(ξ1,ξ2,…,ξn),y=(η1,η2,…,ηn),則有:

其中1≤i≤n.

(1)

定理2 設(shè)f,g是區(qū)間(a,b)上的Lebesgue可積函數(shù)，滿足:

m≤f(x)≤M,n≤g(x)≤N,?x∈(a,b),其中m+M≠0,n+N≠0,則有:

整理得： |‖g‖2(f,1)-(f,g)(g,1)|≤

‖f‖dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤‖g‖dist(f,Span{g})dist(g,Span{1}).

代入得：

‖f‖dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤

(b-a)2‖g‖dist(f,Span{g})dist(g,Span{1})

由題設(shè)m≤f(x)≤M,n≤g(x)≤N,?x∈(a,b)得：

綜上可得結(jié)論：

定理3 設(shè)x1,x2,…,xn為內(nèi)積空間中的向量，‖xi‖≤1,則有:

證明因?yàn)棣?x1,x2,…,xn)≤Γ(x1)Γ(x2)…Γ(xn).

由Gram矩陣的性質(zhì)知，這些行列式都非負(fù)且小于等于1，所以:

Γα(x1,x2,…,xn)≤Γα(x1)Γα(x2)…Γα(xn),其中α≥0,

注：同理可得下面結(jié)論.

定理4 設(shè)x1,x2,…,xn為內(nèi)積空間中的向量，‖xi‖≤1,1≤k≤n,則有:

根據(jù)引理4(Ostrowski不等式)[2]和引理2可得以下結(jié)論：

定理5 設(shè)a,b,x是實(shí)內(nèi)積空間的三個(gè)非零向量，滿足(a,x)=0,‖x‖=1，則有:

證明在式(1)中用a,b,x代替式(1)中的x,y,z得:

因?yàn)?a,x)=0,‖x‖=1,故(a,b)2≤‖a‖2[‖b‖2-(b,x)2]，

設(shè)x=λa+μb，由假設(shè)條件(a,x)=0,‖x‖=1可得:

‖a‖2λ+(a,b)μ=0,‖a‖2λ2+2(a,b)λμ+‖b‖2μ2=1，

證明由G(a,b,x)得半正定性得Γ(a,b,x)≥0,即:

展開得：‖a‖2‖b‖2‖x‖2-‖a‖2(b,x)2-‖b‖2(a,x)2-‖x‖2(a,b)2+2(a,b)(a,x)(b,x)≥0.

代入題設(shè)條件(a,x)=0,‖x‖=1得:‖a‖2‖b‖2≥‖a‖2(b,x)2+(a,b)2,

由函數(shù)性質(zhì)可得：‖a‖p‖b‖p≥‖a‖p(b,x)p+(a,b)p,p≥2,

證明將Γ(x,a,b,c)展開整理后可得[4]:

‖c‖2Γ(x,a,b)+Q(x,a,b,c)≥ [‖x‖‖a‖|(b,c)|-‖x‖‖b‖|(a,c)|]2+

[‖x‖‖a‖|(〗b,c)|-‖a‖‖b‖|(x,c)|]2+

[‖x‖‖b‖|(a,c)|-‖a‖‖b‖|(x,c)|]2.

其中:Q(x,a,b,c)= ‖x‖2‖y‖2|(z,ω)|2+‖x‖2‖z‖2|(y,ω)|2+‖y‖2‖z‖2|(x,ω)|2-

2(x,ω)(x,y)(z,ω)(y,z)-2(z,ω)(x,z)(x,y)(y,ω)-2(y,ω)(x,z)x(z,ω)(y,z)+

(z,ω)2(x,y)2+(y,ω)2(x,z)2+(x,ω)2(y,z)2

代入題設(shè)條件(x,a)=0,(x,b)=1,(x,c)=0得:

定理8 設(shè)設(shè)x,a,b,c是實(shí)內(nèi)積空間中的向量，滿足‖x‖=1,(x,a)=0,(x,b)=0，則有:

證明將Γ(x,a,b,c)展開整理后可得:

‖x‖2Γ(a,b,c)+Q(x,a,b,c)≥[‖a‖‖b‖|(c,x)|-‖a‖‖c‖|(b,x)|]2+

[‖a‖‖b‖|(c,x)|-‖b‖‖c‖|(a,x)|]2+[‖a‖‖c‖|(b,x)|-‖b‖‖c‖|(a,x)|]2.

代入題設(shè)條件‖x‖=1,(x,a)=0,(x,b)=0可得:

Γ(a,b,c)+[‖a‖2‖b‖2+(a,b)2](c,x)2≥2‖a‖2‖b‖2(c,x)2,

證明將Γ(y,x1,x2,…,xn)展開得[3]:

‖y‖2[‖x1‖2-btG-1(x2,…,xn)b]Γ(x2,…,xn)-Γ(x2,…,xn)=‖y‖2Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x2,…,xn).

證明將Γ(y,x1,x2,…,xn)展開得:

Γ(y,x1,x2,…,xn)= Γ(x1,x2,…,xn-1)[‖xn‖2-(xn,y)2-btG-1(x1,x2,…,xn-1)b]=

Γ(x1,x2,…,xn-1)[‖xn‖2-btG-1(x1,x2,…,xn-1)b]-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2=

Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2[8].

這里b=((x1,xn),(x2,xn),…(xn-1,xn))t.

由Γ(y,x1,x2,…,xn)≥0可得：Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2≥0，

由Gram矩陣的性質(zhì)可知當(dāng)且僅當(dāng)x1,x2,…,xn,y線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立.

[1] MA J G.An Identity in real Inner Product Spaces[M].Zhizhou:JIPAM,China,2007.

[2] DRAGOMIR S S . A Generralization of Gr¨uss’inequality in inner Product Spaces and Application[J].J Math Anal Appl,1999,237:74-82.

[3] ALI′C M, J. PEˇCARI′C. On some inequalities of ˇZ. Madevski and A. M. Ostrowski [J].RadHAZU,Matematiˇcke znanosti,1997,472:77-82.

[4] BEESACK P R.On Bessel’s inequality and Ostrowski’s [J].Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak,Ser Mat Fiz,1975,498/541:69-71.

[5] CHO Y J, MATI′C M, PEˇCARI′C J. On Gram’s determinant in 2-inner product spaces[J].J Korean Math Soc,2001,38(6):1125-1156.

[6] Vlad Ciobotariu-Boer.An Intergral Inequality for 3-convex Function[M].Cluj-Napoca Romania,2000.

[7] Ostrowski A Vorlesungen.über Differential and Integralrechnung[J].Basel,1951,2:289-294.