探究奇數(shù)與素?cái)?shù)之間的聯(lián)系

◎王國(guó)昌

(英林學(xué)校，黑龍江 雞西市 158180)

1 引 言

數(shù)學(xué)的加、減、乘、除、乘方、開方等的基本運(yùn)算都是以整數(shù)的運(yùn)算為基礎(chǔ)，而整數(shù)的運(yùn)算又是以素?cái)?shù)的運(yùn)算為基礎(chǔ)，因此，素?cái)?shù)的性質(zhì)就顯得格外重要.素?cái)?shù)受其定義的約束，因此具備的性質(zhì)少之又少，正因如此在素?cái)?shù)領(lǐng)域的研究每取得一點(diǎn)成績(jī)都顯得彌足珍貴.經(jīng)過(guò)十幾年不懈的探索，我對(duì)素?cái)?shù)有了更進(jìn)一步的了解，同時(shí)獲得了一些自己的心得體會(huì)，現(xiàn)在我把它提出來(lái)，與大家共同探討.

2 命題及概述

對(duì)于哥德巴赫猜想內(nèi)容：“任何不小于7的奇數(shù)都可以用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示.”[1]，許許多多的科研工作者經(jīng)過(guò)多年的計(jì)算都認(rèn)為是正確的，但至今仍然無(wú)法給出一個(gè)完整的證明，其證明難度之大可想而知.因此筆者認(rèn)為人們除了需要集中很大的力量進(jìn)行證明哥德巴赫猜想之外，還應(yīng)該有一部分人繞開這個(gè)難點(diǎn)，去研究一個(gè)奇數(shù)用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示時(shí)有多少種不同的情況，以及其他相關(guān)的性質(zhì).牛頓發(fā)現(xiàn)微積分的時(shí)候，并沒有證明微積分是正確的，當(dāng)時(shí)也不為許多人所接受，但牛頓并沒有執(zhí)著于證明微積分的正確性，而是用微積分解決了生活和生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題，為科學(xué)做出了巨大的貢獻(xiàn).牛頓的這種做法給了我們一個(gè)啟示，就是當(dāng)前進(jìn)的途中如果障礙太大，我們不妨設(shè)法繞過(guò)去，同樣可以到達(dá)目的地.因此，筆者試圖從另一個(gè)途徑來(lái)說(shuō)明哥德巴赫猜想是正確的，同時(shí)更進(jìn)一步闡明，奇數(shù)m(m≥7)不但一定能用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示，而且用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的具體個(gè)數(shù)也是有規(guī)律的，有一定的范圍，是通過(guò)計(jì)算可以預(yù)知的.經(jīng)過(guò)認(rèn)真地思考，我總結(jié)出了下面這個(gè)命題.

從公式中可以看出，一個(gè)奇數(shù)m(m≥7)用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的個(gè)數(shù)僅與這個(gè)奇數(shù)的大小有關(guān).從命題中還可以看出，一個(gè)奇數(shù)m(m≥7)用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的個(gè)數(shù)的最小值是可以預(yù)測(cè)的.命題把最小的素?cái)?shù)2、圓周率π以及不大于m的奇數(shù)的自然對(duì)數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，給人一種簡(jiǎn)單、科學(xué)、自然、和諧的美感，增加了命題的使用價(jià)值.

下面列舉了7～300的部分有代表性的奇數(shù)用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的情況.

7=2+2+3,

9=2+2+5=3+3+3,

11=2+2+7=3+3+5,

13=3+3+7=3+5+5,

15=2+2+11=3+5+7=5+5+5,

17=2+2+13=3+3+11=3+7+7=5+5+7,

19=3+3+13=3+5+11=5+7+7,

21=2+2+17=3+5+13=3+7+11=5+5+11=7+7+7,

23=2+2+19=3+3+17=3+7+13=5+5+13=5+7+11,

25=3+3+19=3+5+17=3+11+11=5+7+13=7+7+11,

27=2+2+23=3+5+19=3+7+17=3+11+13=5+5+17

=5+11+11=7+7+13,

29=3+3+23=3+7+19=3+13+13=5+5+19=5+7+17

=5+11+13=7+11+11,

31=3+5+23=3+11+17=5+7+19=5+13+13=7+7+17

=7+11+13,

33=2+2+29=3+7+23=3+11+19=3+13+17=5+5+23

=5+11+17=7+7+19=7+13+13=11+11+11,

35=2+2+31=3+3+29=3+13+19=5+7+23=5+11+19

=5+13+17

=7+11+17=11+11+13,

37=3+3+31=3+5+29=3+11+23=3+17+17=5+13+19

=7+7+23=7+11+19=7+13+17=11+13+13,

… …

75=2+2+71=3+5+67=3+11+61=3+13+59

=3+19+53=3+29+43=3+31+41=5+11+59

=5+17+53=5+23+47=5+29+41=7+7+61=7+31+37=11+11+53=11+17+47=11+23+41=13+19+43=13+31+31=17+17+41=17+29+29=19+19+37=23+23+29,

77=2+2+73=3+3+71=3+7+67=3+13+61=3+31+43

=3+37+37=5+5+67=5+11+61=5+13+59=5+19+53

=5+29+43=5+31+41=7+11+59=7+17+53

=7+23+47

=7+29+41=11+13+53=11+19+47=11+23+43

=11+29+37=13+17+47=13+23+41=17+17+43

=17+19+41=17+23+37

=17+29+31=19+29+29=23+23+31,

79=3+3+73=3+5+71=3+17+59=3+23+53=3+29+47

=5+7+67=5+13+61=5+31+43=5+37+37=7+11+61

=7+13+59=7+19+53=7+29+43=7+31+41

=11+31+37=13+13+53=13+19+47=13+23+43

=13+29+37=17+19+43=17+31+31=19+19+41

=19+23+37=19+29+31,

81=3+5+73=3+7+71=3+11+67=3+17+61=3+19+59

=3+31+47=3+37+41=5+5+71=5+17+59=5+23+53

=5+29+47=7+7+67=7+13+61=7+31+43=7+37+37

=11+11+59=11+17+53=11+23+47=11+29+41

=13+31+37=17+17+47=17+23+41=19+19+43

=19+31+31=23+29+29,

83=2+2+79=3+7+73=3+13+67=3+19+61=3+37+43

=5+5+73=5+7+71=5+11+67=5+17+61=5+19+59

=5+31+47=5+37+41=7+17+59=7+23+53

=7+29+47=11+11+61=11+13+59=11+19+53

=11+29+43=11+31+41=13+17+53=13+23+47

=13+29+41=17+19+47=17+23+43=17+29+37

=19+23+41=23+23+37=23+29+31

85=3+3+79=3+11+71=3+23+59=3+29+53=3+41+41

=5+7+73=5+13+67=5+19+61=5+37+43=7+7+71

=7+11+67=7+17+61=7+19+59=7+31+47

=7+37+41=11+13+61=11+31+43=11+37+37

=13+13+59=13+19+53=13+29+43=13+31+41

=17+31+37=19+19+47=19+23+43=19+29+37

=23+31+31,

87=2+2+83=3+5+79=3+11+73=3+13+71

=3+17+67=3+23+61=3+31+53=3+37+47

=3+41+43=5+11+71=5+23+59=5+29+53

=5+41+41=7+7+73=7+13+67=7+19+61

=7+37+43=11+17+59=11+23+53=11+29+47

=13+13+61=13+31+43=13+37+37=17+17+53

=17+23+47=17+29+41=19+31+37=23+23+41

=29+29+29

89=3+3+83=3+7+79=3+13+73=3+19+67

=3+43+43=5+5+79=5+11+73=5+13+71

=5+17+67=5+23+61=5+31+53=5+37+47

=5+41+43=7+11+71=7+23+59=7+29+53

=7+41+41=11+11+67=11+17+61=11+19+59

=11+31+47=11+37+41=13+17+59=13+23+53

=13+29+47=17+19+53=17+29+43=17+31+41

=19+23+47=19+29+41=23+23+43=23+29+37

=29+29+31,

91=3+5+83=3+17+71=3+29+59=3+41+47

=5+7+79=5+13+73=5+19+67=5+43+43

=7+11+73=7+13+71=7+17+67=7+23+61

=7+31+53=7+37+47=7+41+43=11+13+67

=11+19+61=11+37+43=13+17+61=13+19+59

=13+31+47=13+37+41=17+31+43=17+37+37

=19+19+53=19+29+43=19+31+41=23+31+37

=29+31+31

… …

195=2+2+191=3+11+181=3+13+179=3+19+173

=3+29+163=3+41+151=3+43+149=3+53+139

=3+61+131=3+79+113=3+83+109=3+89+103

=5+11+179=5+17+173=5+23+167=5+41+149

=5+53+137=5+59+131=5+83+107=5+89+101

=7+7+181=7+31+157=7+37+151=7+61+127

=7+79+109=11+11+173=11+17+167

=11+47+137=11+53+131=11+71+113

=11+83+101=13+19+163=13+31+151

=13+43+139=13+73+109=13+79+103

=17+29+149=17+41+137=17+47+131

=17+71+107=17+89+89=19+19+157

=19+37+139=19+67+109=19+73+103

=19+79+97=23+23+149=23+41+131

=23+59+113=23+71+101=23+83+89

=29+29+137=29+53+113=29+59+107

=29+83+83=31+37+127=31+61+103

=31+67+97=37+61+97=37+79+79

=41+41+113=41+47+107=41+53+101

=41+71+83=43+43+109=43+73+79

=47+47+101=47+59+89=53+53+89

=53+59+83=53+71+71=61+61+73

=61+67+67,

255=2+2+251=3+11+241=3+13+239=3+19+233

=3+23+229=3+29+223=3+41+211=3+53+199

=3+59+193=3+61+191=3+71+181=3+73+179

=3+79+173=3+89+163=3+101+151=3+103+149

=3+113+139=5+11+239=5+17+233=5+23+227

=5+53+197=5+59+191=5+71+179=5+83+167

=5+101+149=5+113+137=7+7+241=7+19+229

=7+37+211=7+67+181=7+97+151=7+109+139

=11+11+233=11+17+227=11+47+197

=11+53+191=11+71+173=11+107+137

=11+113+131=13+13+229=13+19+223

=13+31+211=13+43+199=13+61+181

=13+79+163=13+103+139=17+41+197

=17+47+191=17+59+179=17+71+167

=17+89+149=17+101+137=17+107+131

=19+37+199=19+43+193=19+73+163

=19+79+157=19+97+139=19+109+127

=23+41+191=23+53+179=23+59+173

=23+83+149=23+101+131=29+29+197

=29+47+179=29+53+173=29+59+167

=29+89+137=29+113+113=31+31+193

=31+43+181=31+61+163=31+67+157

=31+73+151=31+97+127=37+37+181

=37+61+157=37+67+151=37+79+139

=37+109+109=41+41+173=41+47+167

=41+83+131=41+101+113=41+107+107

=43+61+151=43+73+139=43+103+109

=47+59+149=47+71+137=47+101+107

=53+53+149=53+71+131=53+89+113

=53+101+101=59+59+137=59+83+113

=59+89+107=61+67+127=61+97+97

=67+79+109=71+71+113=71+83+101

=73+73+109=73+79+103=79+79+97,

… …

由于受篇幅的限制，不可能把太多的奇數(shù)用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的可能情況都列舉出來(lái)，因此，我列出了部分有代表性的奇數(shù)m，這些奇數(shù)用三個(gè)素?cái)?shù)表示的個(gè)數(shù)c，與相鄰的奇數(shù)用三個(gè)素?cái)?shù)表示的個(gè)數(shù)c相比較，要小一些，只要這些奇數(shù)符合命題，那么與它相鄰的奇數(shù)也符合命題.進(jìn)而，可以判斷出所有的不小于7的奇數(shù)對(duì)于命題都成立，因此，說(shuō)明命題是正確的.

通過(guò)上面的計(jì)算我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著奇數(shù)的增大，用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的個(gè)數(shù)不斷變化，有時(shí)增大，有時(shí)減小，但整體上是呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，而且增大的速度較快.所以想用一個(gè)式子來(lái)表示奇數(shù)m用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的具體個(gè)數(shù)是不可能的,但如果我們不需要知道用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的具體個(gè)數(shù)，而只需要知道大約的個(gè)數(shù)，或者只需要知道最少有多少個(gè)，那么這個(gè)命題恰好解決了這個(gè)難題.

在通常的情況下，我們要想知道一個(gè)奇數(shù)m用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示大約有多少種不同的情況，需要先計(jì)算出所有不大于m的素?cái)?shù)，再利用排列組合的方式寫出三個(gè)素?cái)?shù)相加的所有的式子，僅僅這些式子就會(huì)占有很大的篇幅，然后計(jì)算出這些式子的和分別是多少，最后篩選出和等于m的符合要求的式子.隨著奇數(shù)m的逐漸增大，不大于m的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)也會(huì)逐漸增加.雖然素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)增加較慢，但由這些素?cái)?shù)中任意三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的個(gè)數(shù)卻會(huì)快速增大.如果將這些式子全部列出，不僅會(huì)占據(jù)非常大的篇幅,它的計(jì)算量的也會(huì)非常大，而且極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.其計(jì)算量之大和煩瑣的程度超出了我們的想象.但若要借助命題，就變得非常簡(jiǎn)單了，手邊僅僅有一個(gè)計(jì)算器就可以了，這也是這個(gè)命題的實(shí)用價(jià)值之一.

另外，這個(gè)命題如果可以被證明是正確的，那么不但可以間接說(shuō)明哥德巴赫猜想是正確的，而且通過(guò)公式可以看出，隨著奇數(shù)的增大，用三個(gè)素?cái)?shù)之和表示的個(gè)數(shù)會(huì)逐漸增多，而且增多的個(gè)數(shù)呈現(xiàn)一定的規(guī)律.

總之，命題只要成立，即使我們現(xiàn)在還無(wú)法確定它的真正的使用價(jià)值，但隨著研究的深入，它的作用會(huì)越來(lái)越大.因此，這一命題是值得我們深入思考和研究的.