質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理應(yīng)用研究

摘 要:質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理克服了經(jīng)典動(dòng)能定理不能反映非保守力作耗散功、非保守反作用力也同時(shí)作等值的耗散功、都將系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)換為受力體的其他形式的能量的缺陷。解讀新動(dòng)能定理含義及意義，闡述新功能理論對(duì)機(jī)械功定義的繼承與創(chuàng)新，以解答案例探討新動(dòng)能定理用法，牽連功的算法，耗散功的算法，服務(wù)理論研究和生產(chǎn)實(shí)踐。

關(guān)鍵詞:解讀新動(dòng)能定理機(jī)械功定義的繼承機(jī)械功定義的創(chuàng)新新動(dòng)能定理的意義牽連功的算法耗散功的算法

中圖分類(lèi)號(hào):O316 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2011)03(c)-0012-03

1 序言

質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理[1]表述為:在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，作用在質(zhì)點(diǎn)上的保守外力作的總功(微元)、非保守外力作的牽連總功(微元)、非保守外力作的耗散總功(微元)有效值、非保守反作用外力作的耗散總功(微元)有效值之合，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增加量(微元)。公式表示為:

微分式為:dAF+dAf牽+dAf耗散+dAf耗散反=dEK (1)

積分式為:AF+Af牽+Af耗散+Af耗散反=EK-EK0(2)

1.1 質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理

(2)式中:在討論對(duì)象——質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與質(zhì)量分別為mi(i=1，2，3…n)的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)有相互作用，t時(shí)刻的dt時(shí)間里:

保守外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)m0作的微元總功:dAF=AFi=(F0i·dr0)，繼承了功的傳統(tǒng)定義;

非保守外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)m0作的牽連微元總功:dAf牽=Afi=(f0i·dri)

非保守外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)m0作的耗散功有效值微元總功:dAf耗散=Afoi=(foi·droi)

非保守反作用力對(duì)施力質(zhì)點(diǎn)作的耗散功有效值微元總功:dAf耗散反=Afio=(fio·drio)

上列功的表達(dá)式中:

后三式是新功能理論對(duì)功的新定義;

dr0是質(zhì)點(diǎn)m0相對(duì)已經(jīng)選定的慣性參考系的絕對(duì)位移微元;

dri是質(zhì)點(diǎn)mi相對(duì)已經(jīng)選定的慣性參考系的牽連位移微元;

droi是質(zhì)點(diǎn)m0相對(duì)質(zhì)點(diǎn)mi的相對(duì)位移微元，drio是質(zhì)點(diǎn)mi相對(duì)質(zhì)點(diǎn)m0的相對(duì)位移微元，且droi=-drio;

foi是質(zhì)點(diǎn)m0受到質(zhì)點(diǎn)mi的非保守作用力，fio是質(zhì)點(diǎn)mi受到質(zhì)點(diǎn)m0的非保守作用力，且foi=-fio;

力foi的牽連微元功f0i·dri，是施力質(zhì)點(diǎn)mi的牽連位移微元與所施力的點(diǎn)積。

1.2 質(zhì)點(diǎn)新動(dòng)能定理的進(jìn)步意義

質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理與經(jīng)典動(dòng)能定理[2]A合外力=EK-EK0(3)相對(duì)比，其進(jìn)步意義在于:①力作的機(jī)械功是機(jī)械能轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)換的量度，非保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的耗散總功有效值微元dAf耗散、非保守反作用力對(duì)施力質(zhì)點(diǎn)作的耗散總功有效值微元dAf耗散反具有同時(shí)關(guān)聯(lián)性、等值性[3]，并且不大于零，說(shuō)明機(jī)械能既轉(zhuǎn)換為受力質(zhì)點(diǎn)的非機(jī)械能，又轉(zhuǎn)換為施力質(zhì)點(diǎn)的非機(jī)械能，使理論能夠正確反映實(shí)踐;②使經(jīng)典動(dòng)能定理對(duì)單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)功能關(guān)系的封閉式表達(dá)被沖破，還自然規(guī)律的本來(lái)面目;③經(jīng)典動(dòng)能定理(3)式由牛頓定律推導(dǎo)得出，不能正確地反映、預(yù)言非保守力及其非保守反作用力作耗散功的規(guī)律，說(shuō)明經(jīng)典功能關(guān)系不完備，促使非保守力作耗散功、牽連功的定義的誕生和包括質(zhì)點(diǎn)新動(dòng)能定理的新功能理論的誕生;④非保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的非耗散功由非保守外力作的牽連總功Af牽與Af耗散+Af耗散反的代數(shù)和共同決定，體現(xiàn)了非保守力作功的雙重性[4]。

對(duì)于新動(dòng)能定理的應(yīng)用，需要進(jìn)行探索、研究。

2 新動(dòng)能定理應(yīng)用研究

例1:某年落于地球的某隕石質(zhì)量為39kg。落下時(shí)，此隕石深入泥土L=1.875m。實(shí)驗(yàn)證明，該隕石落下地點(diǎn)的泥土給陷入其內(nèi)的物體的阻力f=50T力。問(wèn)該隕石到達(dá)地面時(shí)的速度多大？[5]

解:運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理求解，選地面為參考系，隕石為研究對(duì)象。

隕石陷入泥土運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受力:重力mg，阻力f。其反作用力是地面受力:Fg’，f’。

計(jì)算隕石陷入泥土運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受力的功:

保守力mg、Fg’的總功:AF=mgL (4)

耗散力的功:(5)

在此，牽連功是地面對(duì)隕石的非保守力f點(diǎn)積地面相對(duì)已經(jīng)選定慣性參照系位移微元(牽連位移微元)在隕石運(yùn)動(dòng)全程的積分，本題的施力體地面與已經(jīng)選定慣性參照系(地球)同體，牽連位移dr1≡0。

耗散功的有效值:

(6)

α為隕石陷入泥土運(yùn)動(dòng)方向與垂直向下方向間的夾角。

隕石陷入泥土過(guò)程中f’對(duì)泥土作耗散功的有效值:

由關(guān)于系統(tǒng)功能原理推論的證明與推廣[6]知:

Af耗散反=Af耗散=(7)

本題中，非保守力只作了耗散功，沒(méi)有作牽連功，反映了非保守力作耗散功的一面。

將(4)～(7)式及未知量代入質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式得:

從此式可以看出，系統(tǒng)損失的機(jī)械能有一半轉(zhuǎn)換為隕石的內(nèi)能等，另一半轉(zhuǎn)換為泥土的內(nèi)能等。將隕石陷入泥土過(guò)程中末態(tài)v=0代入上式解得:

答:隕石到達(dá)地面時(shí)的速度值不小于217m/s。

例2:[2]如圖1示意，一個(gè)斜面長(zhǎng)5m，頂端高為3m。用一平行于斜面的力F，將質(zhì)量為10kg的物體，從斜面下端勻速推至上端。如果物體與斜面間的摩擦系數(shù)為0.3，平行于斜面的力F必須作多少功？滑動(dòng)摩擦力作了多少耗散功？

解:運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理求解，以運(yùn)動(dòng)物體為研究對(duì)象。

物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)(平動(dòng))，可以看作質(zhì)點(diǎn)。以斜面(地球)為參考系，建立直角坐標(biāo)系。先求未知力。

質(zhì)點(diǎn)受力:重力mg，斜面支撐力N，推力F，滑動(dòng)摩擦力f。它們的反作用是斜面(地球)受力，依次為Fg’，N’，f’。

要使質(zhì)點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，則F合=0，即

解得:

再求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的功。

保守力的功:

重力mg、Fg’的總功:Ag=-3mg=-294J(10)

非保守力的功:

推力F的功按非保守力的非耗散功計(jì)算:指接觸質(zhì)點(diǎn)之間無(wú)相對(duì)位移(耗散功AF耗散1=AF耗散反1=0)，以靜摩擦力相互作用，施力點(diǎn)與受力點(diǎn)同步運(yùn)動(dòng)，使施力點(diǎn)牽連位移與受力點(diǎn)的絕對(duì)位移相等:dr1=dr0→，即在非保守力不作耗散功的情況下，其作的非耗散功屬于質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式的牽連功項(xiàng)。這反映了非保守力作非耗散功的特性。

支撐力N不作功;

作用在質(zhì)點(diǎn)上的非保守力f的牽連功:

在此，施力體斜面相對(duì)參考系無(wú)位移(牽連位移)，dr2≡0。

將滑動(dòng)摩擦力f對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的耗散功有效值A(chǔ)f耗散2及其反作用力f’對(duì)斜面作的耗散功有效值A(chǔ)f耗散反2作為未知量。

非保守外力總牽連功:

Af牽=AF牽1+Af牽2=411.6J (11)

非保守外力總耗散功有效值

Af耗散=Af耗散1+Af耗散2=Af耗散2(12)

非保守反作用力作的總耗散功有效值:

Af耗散反=Af耗散反1+Af耗散反2=Af耗散反2(13)

將(10)～(13)式及未知量代入質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式得:

-294+411.6+Af耗散2+Af耗散反2=EK- EK0

質(zhì)點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，EK-EK0=0;由關(guān)于系統(tǒng)功能原理推論的證明與推廣[5]知:

Af耗散2=Af耗散反2代入上式解得:

Af耗散2=Af耗散反2=-58.8J

結(jié)果說(shuō)明，推力作功411.6J，其中有294J轉(zhuǎn)化為相互作用系統(tǒng)的勢(shì)能增量;轉(zhuǎn)換為質(zhì)點(diǎn)、斜面內(nèi)能的各有58.8J，相互摩擦的質(zhì)點(diǎn)、斜面內(nèi)能都增加了，而非經(jīng)典動(dòng)能定理所描述的質(zhì)點(diǎn)內(nèi)能增加了117.6J的結(jié)論。

解法2:依據(jù)耗散功有效值的定義，先求出Af耗散、Af耗散反和Af牽，并算出重力的功，代入質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式，再解出推力的功。

……。

答、……。

例3:如圖2示意，一質(zhì)量為2.0kg的質(zhì)點(diǎn)，由A點(diǎn)沿圓周軌道自靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速率為4.0m/s。AB之間的軌道是半徑為1.5m的圓周四分之一。自B點(diǎn)以后，質(zhì)點(diǎn)又沿水平方向在桌面上向前滑行3.0m，因滑動(dòng)摩擦阻力而停止于C點(diǎn)。求(a)質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的路程中，摩擦阻力作的功？(b)水平面與質(zhì)點(diǎn)間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)是多大？(c)若圓弧軌道部分是光滑的，質(zhì)點(diǎn)到D點(diǎn)時(shí)的速度、加速度、對(duì)軌道的壓力？

解:運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理求解。以支撐面(地球)為參考系，質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象。首先進(jìn)行受力分析:

質(zhì)點(diǎn)受力:重力mg，斜面支撐力N，滑動(dòng)摩擦力f。它們的反作用是支撐面(與地球一體)受力，依次為Fg’，N’，f’。

再求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的功。

(a)質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的過(guò)程中保守力的功:

重力mg、Fg’的總功:

Ag=mgR=29.4J(14)

非保守力的功:

支撐力N作功為零;

作用在質(zhì)點(diǎn)上的非保守力f的牽連功:

(15)

本題的施力體斜面與已經(jīng)選定慣性參照系同體，牽連位移dr1≡0。

將滑動(dòng)摩擦力f對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的耗散功有效值A(chǔ)f耗散及其反作用力f’對(duì)支撐面作的耗散功有效值A(chǔ)f耗散反作為未知量。

將(14)、(15)式及未知量代入質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式得:

29.4+0+Af耗散+Af耗散反=EK-EK0 (16)

而，Af耗散=Af耗散反代入(16)式解得:

Af耗散=Af耗散反=-6.7J(17)

滑動(dòng)摩擦力f對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的耗散功有效值、其反作用力f’對(duì)支撐面作的耗散功有效值各為-6.7J，即質(zhì)點(diǎn)、支撐面的內(nèi)能增量各為6.7J。

(b)質(zhì)點(diǎn)自B點(diǎn)滑到C點(diǎn)的過(guò)程中保守力mg對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功:

Ag=0 (18)

非保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功:AN=0 (19)

滑動(dòng)摩擦力f的牽連功仍為零，見(jiàn)(5)式;

=-29.4μ (20)

(21)

將(15)、(18)～(21)代入質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式得:

-29.4μ-29.4μ=-16

解得:μ=0.27

(c)圓弧軌道光滑，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過(guò)程中受力:mg、N。

保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功:Ag=mgR sinθ (22)

非保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功:AN=0 (23)

摩擦力f=0→Af牽=0，Af耗散=Af耗散反=0 (24)

EKD-EKA= (25)

將(22)～(25)代入質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式得:

mgR sinθ=

解得:VD==3.83eτm/s(26)

由牛頓第二定律得:

解得:N=m(g sinθ+ an) en=14.7 en N

由牛頓第三定律知，軌道受到正壓力N’=-N=-14.7 en N

an=9.8m/s2， aτ=m/s2→

為與t之間夾解。

答:……。

例4：如圖3示意，A物體的質(zhì)量為m，由一根跨過(guò)定滑輪的不可伸長(zhǎng)的輕繩與B物體連接，B物體沿x軸負(fù)方向(A物體朝x軸正方向)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，A與B之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ。求A物體朝x軸正方向運(yùn)動(dòng)s距離非保守力作的功。

解:用質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理解答。以支撐面(地面)為參考系，A質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象。

A質(zhì)點(diǎn)受的力:mg，T，N，f。

它們的反作用力依次是:A質(zhì)點(diǎn)對(duì)地球的重力Fg’、對(duì)輕繩的拉力T’、對(duì)B質(zhì)點(diǎn)的壓力N’和摩擦力f’。

A、B質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)A質(zhì)點(diǎn)列出牛頓第二定律方程:

解得:N=mg，T=f=μmg

在A質(zhì)點(diǎn)朝x軸正方向運(yùn)動(dòng)s距離過(guò)程中，力對(duì)A質(zhì)點(diǎn)作的功:

保守力的功:Ag=0 (27)

非保守力f的牽連功:

(28)

式中，施力質(zhì)點(diǎn)B相應(yīng)的牽連運(yùn)動(dòng)始、末x坐標(biāo)是xB0、xB0-s，B質(zhì)點(diǎn)牽連位移為△x=-s。

非保守力f的耗散功有效值:

(29)

式中，質(zhì)點(diǎn)A相對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的相對(duì)位移為△x’=( xA0’+2s)- xA0’=2s，x’是質(zhì)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)參考系S1’(質(zhì)點(diǎn)B)中的坐標(biāo)值。

非保守力f’對(duì)質(zhì)點(diǎn)B作的耗散功有效值:

(30)

拉力T作非耗散功:

即

將拉力T作的牽連功(非耗散功):AT牽2=AT作為未知量。

非保守力對(duì)A質(zhì)點(diǎn)作的總牽連功:

Af牽=Af牽1+AT牽2=μmgs+AT牽2(31)

非保守力對(duì)A質(zhì)點(diǎn)作的總耗散功有效值:

Af耗散=Af耗散1+AT耗散2=-μmgs (32)

非保守反作用力作的總耗散功有效值:

Af耗散反=Af耗散反1+AT耗散反2=-μmgs(33)

將(27)、(31)～(33)式代入質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式得:

μmgs+AT牽2-μmgs-μmgs=EK-EK0

A質(zhì)點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，使EK-EK0=0，代入上式解得:AT牽2=μmgs

答:……。

3 結(jié)語(yǔ)

從上列應(yīng)用探討過(guò)程可以看出，質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式能夠反映機(jī)械能轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)換的實(shí)際情況，也必然能夠正確的指導(dǎo)實(shí)踐。用質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式解題一般步驟是:

①選定研究對(duì)象、慣性參考系;②建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;③分析研究對(duì)象受力及其反作用力;④列出研究對(duì)象受力的牛頓第二定律方程并求解;⑤按照保守力的功、非保守力的功的定義，求出已知力對(duì)研究對(duì)象在運(yùn)動(dòng)全程作的總功、非保守反作用力對(duì)施力體作的總耗散功有效值;對(duì)研究對(duì)象只作非耗散功的力，其作的非耗散功按牽連功計(jì)算;⑥將已知量、未知量代入質(zhì)點(diǎn)的新動(dòng)能定理(2)式，求解出未知量。

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