兩函數(shù)值的大小與其導(dǎo)數(shù)大小的關(guān)系

摘 要:討論了兩個(gè)函數(shù)值的大小與其導(dǎo)數(shù)大小的關(guān)系，并給出已知兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的大小及兩個(gè)函數(shù)值在某一點(diǎn)的大小的條件下，兩個(gè)函數(shù)在一區(qū)間上的大小關(guān)系。

關(guān)鍵詞:函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 可導(dǎo) 區(qū)間

中圖分類號(hào):O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2011)03(c)-0161-01

給定兩函數(shù)和，且和在區(qū)間上都可導(dǎo)。若時(shí)，，是否就有時(shí)，。若時(shí)，，是否就有時(shí)，。下面先看兩個(gè)例子:

例1:設(shè)，，。當(dāng)時(shí)，有，但。

例2:設(shè)，，。

當(dāng)時(shí)，有，但。

由上兩例知兩函數(shù)值的大小與其導(dǎo)數(shù)的大小沒有必然的聯(lián)系。即函數(shù)值大的不一定導(dǎo)數(shù)就大;導(dǎo)數(shù)較大的不一定函數(shù)值就大，由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率，如果適當(dāng)增加條件，兩函數(shù)值的大小與其導(dǎo)數(shù)的大小是否應(yīng)有一定的聯(lián)系？下面通過定理來(lái)說明。

定理1:設(shè)和在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，若，則。

[證一]:若。

由于，故有。由于的任意性，所以有。

若，。

和在區(qū)間上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，可得:

其中。由上式可得:

即

由于的任意性，所以有。

若，。

和在區(qū)間上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，可得:

其中。由上式可得:

即

由于的任意性，所以有。證畢。

[證二]:設(shè)。

當(dāng)時(shí)，

則函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增。即

即。

定理2:設(shè)和在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，若，則。

證:設(shè)。

當(dāng)時(shí)，

則函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增。

當(dāng)。

即。

由上可知，對(duì)于在某區(qū)間上可導(dǎo)的兩個(gè)函數(shù)和，如果在此區(qū)間上總有，且已知此區(qū)間某一點(diǎn)函數(shù)和的函數(shù)值大小關(guān)系，我們就可確定兩個(gè)函數(shù)和在此區(qū)間的子區(qū)間上的大小關(guān)系。

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