三個數(shù)學問題的簡證

　　摘要：本文給出了三個數(shù)學問題的直接、簡潔的證明，有利于學生學習掌握相關(guān)知識.
　　關(guān)鍵詞：三角題；高考試題；權(quán)方和不等式；數(shù)學奧林匹克
　　
　　■問題一一道三角題的簡證
　　題目：已知α，β∈0，■，且sin（α+β）=sin2α+sin2β，求證： α+β=■.
　　浙江大學出版社出版的《奧數(shù)講義（高一年級下）》一書中結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性用反證法對此問題加以證明，侯典峰在《中學數(shù)學》上發(fā)表的《一道三角題的直接證明》一文中給出了此問題的一個直接證明，但其證明過程較為煩瑣，不易為高中生理解和掌握.本文給出一個簡單的證明.
　　證明：由sin2α+sin2β=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，整理得
　　sinα（sinα-cosβ）=sinβ（cosα-sinβ）
　　又因α，β∈0，■，下面我們討論：
　?。?）如果sinα≥cosβ=sin■－β，即α≥■－β，α+β≥■，那么cosα≥sinβ=cos■－β，于是α≤■－β，α+β≤■，所以有α+β=■.
　?。?）如果sinα≤cosβ=sin■－β，即α≤■－β，α+β≤■，那么cosα≤sinβ=cos■－β，于是α≥■－β，α+β≥■，所以有α+β=■.
　　綜上所述，α+β=■.
　　■問題二一道高考試題的簡解
　　何壽龍在《數(shù)學通訊》上發(fā)表的《對一道高考試題的探究》一文中討論了2009年遼寧省高考卷理科第12題：若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，則x1+x2等于（）
　　A. ■ B. 3 C. ■ D. 4
　　文中給出了三種解法，但其技巧性較強，不易為高中生所理解和掌握. 本文給出該題的簡證.
　　由題意， x1滿足2x+2x=5得x1+2x1-1=■，于是x1－1=log2■－x■.（1）
　　x2滿足2x+2log2（x-1）=5得
　　x2+log2（x2-1）=■. （2）
　?。?）和（2）式左右兩端分別相加，整理得x1+x2=■+log2■－x■－log2（x2-1）=■+log2■.?搖?搖?搖?搖 （3）
　?、僭冢?）中若■=1，即x1+x2=■，又log2■=log21=0，
　　此時（3）式恰好成立.
　?、谠冢?）中若■>1，即x1+x2<■，又log2■>log21=0，所以■+log2■>■，此時（3）式不成立.
　　③同理在（3）中若■<1，即x1+x2>■，又log2■　　綜上，x1+x2=■.
　　
　　■問題三2011年西班牙數(shù)學奧林匹克競賽試題的簡證
　　題為：已知a，b，c>0，證明：
　　■+■+■+■≥■.
　　證明：由權(quán)方和不等式可得
　　■+■+■=■+■+■≥■=■+1，
　　所以■+■+■+■≥■+■+1=■■+■+■+1≥■+1=■，即證.