含有絕對值函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

　　摘要：本文主要探究了含有絕對值的函數(shù)的幾種重要形式向分段函數(shù)的轉(zhuǎn)化，并對絕對值函數(shù)的最值、值域、自變量取值范圍、參數(shù)取值范圍等問題進(jìn)行了討論.
　　關(guān)鍵詞：絕對值函數(shù)；分段函數(shù)
　　
　　函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程.含有絕對值的函數(shù)是一類常見的函數(shù)類型，這類函數(shù)看起來是由一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本函數(shù)組成的，但又與它們有很大差異，并且通常與函數(shù)的值域（最值）、不等式、方程等知識聯(lián)系在一起，綜合性比較強(qiáng). 學(xué)生在處理這類問題時(shí)，往往由于考慮不嚴(yán)密而引起種種錯(cuò)誤，如何解決這類問題呢？分段討論是基本的策略， 逐段處理，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)后，再各個(gè)擊破，最后歸納總結(jié).這一過程包含著分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用.下面就其常見類型及解題策略舉例說明.
　　
　　■與一次函數(shù)有關(guān)的絕對值函數(shù)
　　1. 函數(shù)y=ax－k+h的性質(zhì)及應(yīng)用
　　函數(shù)y=|x|的圖象是由第一、二象限的角平分線構(gòu)成的V字形（如圖1），而函數(shù)y=ax－k+h是由函數(shù)y=x的圖象經(jīng)過平移翻折等圖形變換得到的，其中a的符號決定V字開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，V字開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，沿著x軸翻折后V字開口向下. a的大小決定V字開口大?。喝鬭=1，則張口角度為直角；若a>1，則張口角度為銳角；則a<1，則張口角度為鈍角. 把函數(shù)y=ax的圖象沿著x軸向左（k<0）或向右（k>0）平移k個(gè)單位，再沿著y軸向上（h>0）或向下（h<0）平移h個(gè)單位后得到y(tǒng)=ax－k+h的圖象，即頂點(diǎn)為（k，h）的V字形（如圖2）.
　　例1（07安徽）圖3中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為（）
　　■
　　圖3
　　A. y=■x－1（0≤x≤2）
　　B. y=■－■x－1（0≤x≤2）
　　C． y=■－x－1（0≤x≤2）
　　D. y=1－x－1（0≤x≤2）
　　分析與解：由上述性質(zhì)容易得到應(yīng)選B.
　　例2 已知不等式x2<2－x－t有負(fù)數(shù)解，求t的取值范圍.
　　分析與解：原不等式等價(jià)于“－x2+2>x－t”， y=x－t表示頂點(diǎn)在x軸上的V字，如圖4. 從圖象上來看，要使該不等式有負(fù)數(shù)解，則在左半平面拋物線y=－x2+2上至少有一點(diǎn)在V字形的上方，所以當(dāng)V字頂點(diǎn)在線段AB之間時(shí)，原不等式有負(fù)數(shù)解，對應(yīng)t的取值范圍是－■，2.
　　■
　　圖4
　　2. 形如y=■aix－ki的函數(shù)
　　對于含有多個(gè)絕對值的形如y=■aix－ki的函數(shù)，一般是先根據(jù)n個(gè)分界點(diǎn)ki將函數(shù)分成n+1段，去掉絕對值符號寫出分段函數(shù)形式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)或由圖象（折線）解答問題.
　　例3?搖 （09重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=x+3－ x－1，若不等式f（x）≤a2－3a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
　　A. （－∞，－1］∪［4，+∞）
　　B. （－∞，－2］∪［5，+∞）
　　C. ［1，2］
　　D. （－∞，1］∪［2，+∞）
　　解析：由圖象（圖5）可知，當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)fmax（x）=4. 所以有a2－3a≥4，解得a≤－1或a≥4. 故本題選A.
　　例4?搖 （08山東）設(shè)函數(shù)f（x）=x+1+ x－a的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則a=_______.
　　解：因?yàn)榉纸琰c(diǎn)x=－1和x=a關(guān)于直線x=1對稱，所以a=3.
　　例5 （08寧夏）已知函數(shù)f（x）=2x－1－x－4.
　?。?）解不等式f（x）>2.
　　（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值.
　　解：（1）原函數(shù)可化為
　　f（x）=－x－5，x≤－■，?搖3x－3，－■2的解集是（－∞，－7）∪■，+∞.?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖
　?。?）由函數(shù)y=f（x）的圖象可知，當(dāng)x=－■時(shí)，函數(shù)取得最小值－■.
　　
　　■與二次函數(shù)有關(guān)的含有絕對值的函數(shù)
　　1. 形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)
　　函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是由函數(shù)y=ax2+bx+c位于x軸下方的圖象沿x軸向上翻折后與其上方的部分組成.
　　例6設(shè)a>0，a≠1，函數(shù)f（x）=logaax2－x在［3，4］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
　　■
　　圖6
　　解：令g（x）=ax2－x（如圖6）. 若a>1，由［3，4］?哿■，+∞，則g（x）在［3，4］上是增函數(shù)，所以f（x）在［3，4］上是增函數(shù). 若a<1，欲使f（x）在［3，4］是增函數(shù)，需使g（x）在［3，4］上應(yīng)為減函數(shù)，則［3，4］?哿■，■，所以3≥■，4<■，即■≤a<■. 故a的取值范圍是a>1或■≤a<■.
　　例7（08浙江）已知t為常數(shù)，函數(shù)y=x2－2x－t在區(qū)間［0，2］上的最大值為2，求t.
　　解：因?yàn)楹瘮?shù)y=x2－2x－t在［0，2］上只有在x=0，1，2處才有可能取得最大值. 若在x=0或2處取得最大值2， 解得t=±2，其中t=2不合題意，舍去；若在x=1處取得最大值2，解得t=1或－3，其中t=－3不合題意，舍去. 所以t=－2或1.
　　2. 形如y=f（x）+a（x+b1）x+b2（a≠0，f（x）至多為二次函數(shù)）
　　先由分界點(diǎn)－b2去掉絕對值符號，把函數(shù)寫成分段形式后逐段討論，最后再歸納總結(jié).
　　例8 （09江蘇）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x－a）x－a.
　?。?）若f（0）≥1，求a的取值范圍;
　?。?）求f（x）的最小值；
　?。?）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.
　　解：（1）若f（0）≥1，則－aa≥1?圯a<0，a2≥1，?圯a≤－1.
　?。?）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x2－2ax+a2，fmin（x）=f（a），a≥0，f■，a<0，
　　即fmin（x）=2a2，a≥0，■a2，a<0.
　　當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x2+2ax－a2，fmin（x）=f（－a），a≥0，f（a），a<0， 即fmin（x）=－2a2，a≥0，2a2，a<0.
　　綜上得fmin（x）=－2a2，a≥0，■a2，a<0.
　?。?）當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，由h（x）≥1得3x2－2ax+a2－1≥0，Δ=4a2－12（a2－1）=12－8a2.
　?、佼?dāng)a≤－■或a≥■時(shí)， Δ≤0. 此時(shí)不等式的解集為（a，+∞）；
　?、诋?dāng)－■0，所以有
　　x－■x－■≥0，x>a，
　　當(dāng)a∈■，■時(shí)，原不等式的解集為（a，+∞）；
　　當(dāng)a∈－■，■時(shí)， 原不等式的解集為■，+∞；
　　當(dāng)a∈－■，－■時(shí)， 原不等式的解集為a，■∪■，+∞.
　　本題第（2）問也可以分a≥0和a<0兩種情況分別畫出函數(shù)的草圖：在分界點(diǎn)x=a處由兩支拋物線拼接而成. 再根據(jù)草圖求出函數(shù)的最小值表達(dá)式.
　　
　　■與其他基本函數(shù)有關(guān)的絕對值函數(shù)
　　與指數(shù)、對數(shù)及三角函數(shù)有關(guān)的絕對值函數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形解決問題.
　　例9 （08江西）函數(shù)y=tanx+sinx－tanx－sinx在區(qū)間■，■內(nèi)的圖象是
　?。ǎ?
　　■
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　　解：因?yàn)楹瘮?shù)y=tanx+sinx－tanx－sinx=2tanx（tanx≤sinx），2sinx（tanx>sinx），所以本題應(yīng)選D.
　　例10若函數(shù)f（x）=log3x，若f（x）>f（3.5），則x的取值范圍是___________.
　　解：畫出函數(shù)f（x）=log■x的圖象，由圖象可知x的取值范圍是0■.