對(duì)一道數(shù)學(xué)填空題的研究性學(xué)習(xí)

　　摘要：隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，而且要注意高等數(shù)學(xué)的一些思想對(duì)高中數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用. 本文以一道填空題為例，討論了運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的勒貝格集合理論解決高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)無(wú)限集的真子集與無(wú)限集本身“相等”的映射問(wèn)題.
　　關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；抽象函數(shù)；勒貝格集合理論
　　
　　隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的進(jìn)一步實(shí)施，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不但應(yīng)突出數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，還應(yīng)兼顧高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)所必備的基本能力，注意到高等數(shù)學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)提出的思想指導(dǎo).下面以一道數(shù)學(xué)填空題為例進(jìn)行闡述.
　　題目 ?搖下圖1展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1，將線(xiàn)段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A，B恰好重合. 如圖2，再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）. 如圖3，圖3中直線(xiàn)AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n.
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　　則下列說(shuō)法中正確命題的序號(hào)是________. （填出所有正確命題的序號(hào)）
　?、賔■=0； ②f（x）是偶函數(shù)；?搖③f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
　?、躥（x）≥g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)■，0對(duì)稱(chēng)．
　　分析：本題一方面通過(guò)形成過(guò)程給出一個(gè)數(shù)形結(jié)合的抽象函數(shù)題，題目冗長(zhǎng)，不具體；另一方面建立從一維直線(xiàn)線(xiàn)段上點(diǎn)與二維平面上點(diǎn)的聯(lián)系，思維跳躍大，考慮信息多. 而題目涉及函數(shù)的零點(diǎn)、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性的多個(gè)方面問(wèn)題，令人束手束腳，難于對(duì)付.
　　
　　■把握?qǐng)D形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，直觀形象討論
　　如圖4，可知點(diǎn)A，N坐標(biāo)分別為（0，1），（n，0）. 當(dāng)m=■時(shí)，即M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)AM為y軸，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，這樣n=0，顯然按此函數(shù)定義有f■=0. ①正確.
　　又在圖4中，因?yàn)閗AM=■，所以當(dāng)M點(diǎn)從A向中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，kAM逐漸增大且為正值，所以－n逐漸減小且為正值，即n逐漸增大且為負(fù)值.
　　同樣，當(dāng)M點(diǎn)從中點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有kAM逐漸增大且為負(fù)值，所以－n逐漸減小且為負(fù)值，即n逐漸增大且為正值，這樣③正確.
　　在圖4中，記圓與y軸另一交點(diǎn)為D，則D為線(xiàn)段AB中點(diǎn). 設(shè)M與M1關(guān)于D對(duì)稱(chēng)，則M與M1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，從而直線(xiàn)AM與AM1的斜率互為相反數(shù)，從而f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)■，0對(duì)稱(chēng)， ④正確；顯然，f（x）不是偶函數(shù)，②錯(cuò)誤. 綜上，正確序號(hào)為①③④.
　　
　　■針對(duì)圖形的變化過(guò)程，求函數(shù)f（x）解析式
　　如圖5，設(shè)圓心為C，半徑為r，弧■的圓心角為α，由變化過(guò)程知2πr=1，即r=■，又l■=m=αr=■，α=2mπ.
　　當(dāng)0　　類(lèi)似地，當(dāng)■　　這樣f（m）=0，m=■，－■，m∈0，■∪■，1，
　　即f（x）=0，x=■，－■，x∈0，■∪■，1.
　　現(xiàn)研究f（x）的性質(zhì)，作f（x）的圖象如圖6所示，可得答案①③④.
　　
　　■將線(xiàn)段圍成一個(gè)等邊三角形變式思考是否仍有這樣的結(jié)果呢？
　　變題?搖 下圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖7，將線(xiàn)段AB圍成一個(gè)等邊三角形APQ，使兩端點(diǎn)A，B恰好重合. 如圖8，再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）. 如圖9，直線(xiàn)AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作g（m）=n.
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　　則下列說(shuō)法中正確命題的序號(hào)是________. （填出所有正確命題的序號(hào)）
　?、賕■=0； ②g（x）是偶函數(shù)；?搖③g（x）在定義域上單調(diào)遞增；④g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)■，0對(duì)稱(chēng)．
　　針對(duì)高中單調(diào)函數(shù)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的定義，仿上探究發(fā)現(xiàn)正確的序號(hào)為①④.
　　
　　■思考一個(gè)無(wú)限集的真子集與無(wú)限集本身“相等”呢？
　　?搖?搖我們知道，高中數(shù)學(xué)集合中有“非空有限集的真子集不會(huì)與其本身相等”的結(jié)論，那么對(duì)于無(wú)限集情況如何呢？在此處研究發(fā)現(xiàn)：在圖4中，直線(xiàn)AM與圓有一個(gè)交點(diǎn)，則相應(yīng)地對(duì)應(yīng)x軸上唯一的點(diǎn)N. 實(shí)際上，M與N之間建立了一一映射，也就是子區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R上一一映射，從而肯定了一個(gè)無(wú)限集的真子集與無(wú)限集本身“相等”. 這正是高等數(shù)學(xué)中勒貝格集合理論核心.