“高視角”觀看一類導(dǎo)數(shù)問題

　　摘要：在解決一類導(dǎo)數(shù)題的過程中，如果用常規(guī)方法就會(huì)帶來煩瑣的討論，并且學(xué)生不易掌握.筆者大膽下放部分相關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)踐證明學(xué)生比較容易掌握和操作. 本文主要講述利用羅比達(dá)法則、函數(shù)的極限、函數(shù)的圖象等高等數(shù)學(xué)中的基本知識(shí)來解決這一類導(dǎo)數(shù)難題.
　　關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；羅比達(dá)法則；函數(shù)極限；圖象
　　
　　筆者在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)教學(xué)的時(shí)候，留意到近幾年高考很多導(dǎo)數(shù)的所謂的“難題”，如果能夠?qū)W會(huì)利用高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)畫出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象來解題會(huì)獲得事半功倍的效果. 下面筆者就講講如何利用好導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具畫出函數(shù)的大致圖象.
　　首先，我們先來看看函數(shù)的大致圖象有哪些要點(diǎn)需要我們關(guān)注，也就是畫圖時(shí)哪些是需要我們大致弄清楚的. 筆者發(fā)現(xiàn)，要畫出函數(shù)的大致圖象不外乎要關(guān)注以下幾點(diǎn)：
　　一、得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)、極值
　　實(shí)現(xiàn)這點(diǎn)并不難，只要能夠準(zhǔn)確求導(dǎo)就可以了.
　　二、得出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)
　　函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)一般不難求出，但是與x軸的交點(diǎn)往往不能輕易求出，我們的原則是能求盡量求出.
　　三、?搖求出函數(shù)在所給區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或函數(shù)值的變化趨勢(shì)
　　在這個(gè)過程中，值得提出的是有些區(qū)間比如［a，b］，函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f（a），f（b）很容易求出，但是有時(shí)區(qū)間為開區(qū)間（a，b），此時(shí)函數(shù)值f（a），f（b）可能不存在，這時(shí)我們可以求出■f（x）和■f（x），再利用這些極限值來解決問題.當(dāng)我們遇到的區(qū)間是（a，+∞），（－∞，a），（－∞，+∞）這些結(jié)構(gòu)時(shí)，我們也需要求出■f（x）和■f（x），再利用這些極限值來解決問題. 當(dāng)然，在求函數(shù)極限時(shí)，可能會(huì)遇到■，■的形式，這時(shí)我們就要利用羅必達(dá)法則來求出函數(shù)的極限.下面先講講羅必達(dá)法則：
　　定理1：（羅必達(dá)法則I）假設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在x0的鄰域可微，且g′（x0）≠0，且■f（x）=0，■g（x）=0，■■=A，則■■=■■=A.
　　定理2：（羅必達(dá)法則Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（xqxcB2eqlrozlr88eRcZSzGWFHQ0dKdDiPSzVrQk5ATU=）和g（x）在x0的鄰域可微，且g′（x0）≠0，且■f（x）=∞，■g（x）=∞，■■=A，則■■=■■=A.
　　以上兩個(gè)定理的證明方法，讀者可以參考高校數(shù)學(xué)分析教材，在此筆者不再累述.下面筆者結(jié)合近幾年高考題講講如何利用上述方法做出函數(shù)的大致圖象解決導(dǎo)數(shù)綜合問題.
　　例1（2005全國卷Ⅱ）已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x2-2ax）ex.
　　（1）當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）取得最小值？證明你的結(jié)論；
　?。?）設(shè)f（x）在［－1，1］上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.
　　解：（1）易得f′（x）=（x2+2x－2ax－2a）·ex. 令f′（x）=0，得［x2+2（1－a）x－2a］ex=0，從而x2+2（1－a）x－2a=0，解得x1=a－1－■，x2=a－1+■.
　　當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f′（x）的變化如表1：
　　所以f（x）在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值.
　　當(dāng)a≥0時(shí)，x1<－1，x2≥0，f（x）在（x1，x2）上為減函數(shù)，在（x2，+∞）上為增函數(shù)，且■f（x）=0，■f（x）=+∞；易得函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（2a，0）.
　　利用以上信息，所以我們可以得到函數(shù)的大致圖象，如圖1.
　　所以由圖1可得，函數(shù)在x=x2處取得最小值.
　?。?）利用（1）所得到的函數(shù)大致圖象可知，要使得f（x）在［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是x2≥1，且必為遞減函數(shù). 于是，a－1+■≥1，解得a≥■，即f（x）在［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是a≥■，a的取值范圍是■，+∞.
　　例2（2006年全國卷Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1），若對(duì)所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
　　解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，不等式f（x）≥ax即為f（0）=0≥a·0=0，顯然成立，此時(shí)a∈R.
　?。?）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≥ax變形為a≤■，所以問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式a≤■恒成立，則只需a≤■min.
　　下面令g（x）=■，其中x∈（0，+∞）. 易得g′（x）=■=■>0，?搖因?yàn)楫?dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x>ln（x+1）恒成立（證明略）. 于是g（x）在x∈（0，+∞）上遞增，且■g（x）=■■. 由于■（x+1）ln（x+1）=0，■x=0，所以我們利用羅必達(dá)法則可得■g（x）=■■=■■=1.
　　我們利用以上信息得到函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上的大致圖象如下：
　　■
　　圖2
　　結(jié)合圖象可得，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，a≤（g（x））min=■g（x）=1.
　　例3（2008遼寧卷22）設(shè)函數(shù)f（x）=■－lnx+ln（x+1）．
　?。?）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
　?。?）是否存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．
　　解：（1）f′（x）=■－■－■+■=－■． 當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）>0；
　　當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）<0．所以f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減．
　　由此知f（x）在（0，+∞）的極大值為f（1）=ln2，沒有極小值．
　　所以結(jié)合圖象可得，要使得關(guān)于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞），只需要a≤0.
　　導(dǎo)數(shù)是一個(gè)很強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，在新課程中導(dǎo)數(shù)也占據(jù)著重要的地位.我們一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)該充分引導(dǎo)學(xué)生利用好這個(gè)工具解決問題. 有必要時(shí)，可以下放一些高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)，比如上述的羅必達(dá)法則，非常實(shí)用，操作性也很強(qiáng).這樣會(huì)使得學(xué)生解決問題的能力加強(qiáng)，也會(huì)使得學(xué)生在高考中盡顯優(yōu)勢(shì).