案例與實(shí)驗(yàn)教學(xué)法在大學(xué)數(shù)學(xué)通識(shí)課教學(xué)中的應(yīng)用

　　摘 要： 數(shù)學(xué)通識(shí)課是大學(xué)工科的公共基礎(chǔ)課，是培養(yǎng)學(xué)生思維、掌握數(shù)學(xué)基本理論和方法的重要課程。而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)存在的一個(gè)最主要的問(wèn)題就是理論與實(shí)踐聯(lián)系不夠密切。為改變這種狀況，本文采用“案例與實(shí)驗(yàn)”相結(jié)合的方法，通過(guò)利用數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)軟件，做到實(shí)踐與理論有機(jī)結(jié)合，從而培養(yǎng)工科大學(xué)學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)通識(shí)課 案例 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)
　　
　　一、 引言
　　工科類(lèi)數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)面向生產(chǎn)、管理、服務(wù)等第一線(xiàn)工作的高級(jí)技術(shù)應(yīng)用型人才，工科類(lèi)數(shù)學(xué)教育與專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)教育有著根本的區(qū)別，工科類(lèi)教育強(qiáng)調(diào)在所有的教學(xué)過(guò)程中必須注重學(xué)生能力的培養(yǎng)［１］。數(shù)學(xué)通識(shí)課作為高等學(xué)校重要的基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)和思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著重要的作用。這就要求數(shù)學(xué)教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更要注重培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，適當(dāng)擴(kuò)大知識(shí)面，使他們?cè)谒季S、認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)方法上有根本的轉(zhuǎn)變。從目前大多教材與教法看，教學(xué)內(nèi)容仍然未脫離數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的模式，注重結(jié)論的推斷和理論方法的研究。導(dǎo)致許多學(xué)生不明白開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)這門(mén)課的真正目的，不知道學(xué)數(shù)學(xué)有什么用，甚至在學(xué)完該課程后還不知道如何用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。所以，我們有必要對(duì)工科數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法進(jìn)行改革研討。本文結(jié)合一般本科工科院校的教學(xué)實(shí)際情況，提出了案例與實(shí)驗(yàn)教學(xué)法。案例教學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)相結(jié)合是一種新穎的教學(xué)法，它將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用三者融為一體。將數(shù)學(xué)建模的案例恰當(dāng)?shù)厝谌氲綌?shù)學(xué)通識(shí)課教學(xué)中，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型，并且通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使學(xué)生熟悉常用的數(shù)學(xué)軟件，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
　　二、案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)
　　案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)法［２］是以實(shí)際工作中遇到的問(wèn)題為背景，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、總結(jié)、分析與互相討論，通過(guò)數(shù)學(xué)的理論和方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)的手段解決問(wèn)題。即從一個(gè)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，來(lái)討論分析如何解決這個(gè)問(wèn)題。每個(gè)問(wèn)題的解決基本上是通過(guò)“問(wèn)題的提出→建立數(shù)學(xué)模型→分析研討→計(jì)算機(jī)處理→小結(jié)與進(jìn)一步思考”等幾個(gè)過(guò)程。
　　與傳統(tǒng)的教學(xué)法相比，案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)法有以下幾方面的優(yōu)勢(shì)。
　?。?）案例可以把抽象的原理、概念等具體化，把它們置于一定的實(shí)際情境中，學(xué)生可以清楚地認(rèn)識(shí)到這些原理、概念在實(shí)際生活中的用處和表現(xiàn)；
　?。?）案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)注重的是學(xué)生的創(chuàng)造能力與解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)，充分體現(xiàn)了學(xué)生的個(gè)體的自主性，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握；
　　（3）案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)大大縮短了教學(xué)情境與實(shí)際生活情境的差距，還可以改變學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是紙上談兵的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。
　　三、案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)在數(shù)學(xué)通識(shí)課教學(xué)中的實(shí)踐
　　大學(xué)數(shù)學(xué)通識(shí)課由多門(mén)數(shù)學(xué)課程組成，它的涉及面很廣，教學(xué)內(nèi)容隨著學(xué)生的專(zhuān)業(yè)與方向不同而不同，案例選取時(shí)應(yīng)舍去部分?jǐn)?shù)學(xué)教材中純數(shù)學(xué)的例題，以激起學(xué)生的興趣和求知欲，強(qiáng)化他們的數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高他們的專(zhuān)業(yè)能力。如：對(duì)機(jī)械學(xué)院的學(xué)生可引用圖解法和解析法設(shè)計(jì)盤(pán)形凸輪輪廓的例子。在講授函數(shù)的最值時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)可選取最小投入、最大收益、利潤(rùn)等典型例題，有條件的話(huà)，還可以讓學(xué)生課外調(diào)查物品進(jìn)價(jià)、售價(jià)與銷(xiāo)售量的關(guān)系，尋找模擬函數(shù)，找出物品的最佳售價(jià)，等等。
　　我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)中，將案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)法運(yùn)用到《高等數(shù)學(xué)》、《線(xiàn)性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》三門(mén)公共基礎(chǔ)課中，具體實(shí)施如下。
　　1?郾案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。
　　高等數(shù)學(xué)是最基礎(chǔ)并且是課時(shí)最多的一門(mén)課，這門(mén)課的內(nèi)容較多，課程時(shí)間也較長(zhǎng)，所以在合理安排好課時(shí)的基礎(chǔ)上，融入精心選好的案例，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。比如在講解微分方程時(shí)，可以引入微分方程案例。
　?。?）問(wèn)題。
　　傳染病高潮的來(lái)到是醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)所關(guān)注的，可以通過(guò)改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平推遲傳染病高潮的來(lái)到。因此，預(yù)測(cè)傳染病高潮的來(lái)到時(shí)刻十分必要，而預(yù)測(cè)此時(shí)刻的惟一方法就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立方程，求解。
　?。?）問(wèn)題分析與建立模型。
　　設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x（t）是連續(xù)的可微函數(shù)，并且每天每個(gè)病人有效接觸（足以使人致病的接觸）的人數(shù)為常數(shù)λ，考察t到t+Δt病人人數(shù)的增加，就有：
　　x（t+Δt）-x（t）=λx（t）Δ（t），再設(shè)t=0時(shí)有x個(gè)病人，即得微分方程=λx，x（0）=x。
　?。?）學(xué)生利用計(jì)算機(jī)計(jì)算，得出結(jié)論。
　　首先教師引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)了哪些數(shù)學(xué)軟件知識(shí)，哪種軟件適合求解微分方程。這里，教師很自然地利用啟發(fā)式強(qiáng)調(diào)個(gè)體自主活動(dòng)，將學(xué)生引入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中去。學(xué)生選擇了軟件Maple，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Maple判斷它是變量可分離方程，并且用Maple來(lái)求其通解和其滿(mǎn)足初始條件的解。具體過(guò)程如下：先定義方程，利用語(yǔ)句odel:diff（x（t），t）=λx;回車(chē)后Maple輸出的結(jié)果為odel:=（x（t））=λx，接下來(lái)調(diào)入Maple解微分方程的軟件包，判斷所給方程是否為變量可分離方程，其指令為with（DEools）;odeadvisor（odel）;回車(chē)后Maple的輸出結(jié)果為［-Separable］，這表明上方程是變量可分離的，利用下面的指令都可以求方程的通解，dsolve（odel，x（t））;，回車(chē)后Maple的輸出結(jié)果為x（t）=Ce，得到方程的顯式通解。將初始條件代入，得到方程的特解x（t）=xe。
　?。?）小結(jié)與進(jìn)一步思考。
　　在學(xué)生學(xué)完利用Maple軟件命令進(jìn)行數(shù)值計(jì)算之后，教師在知識(shí)間的聯(lián)系上做了細(xì)致扎實(shí)的引導(dǎo)工作，既便于學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間記憶，又能激活將要學(xué)習(xí)的相關(guān)的新知識(shí)。
　　分析結(jié)果表明，隨著時(shí)間t的增加，病人人數(shù)x（t）無(wú)限增長(zhǎng)，這顯然是不符合實(shí)際的。因?yàn)槊刻烀總€(gè)病人有效接觸的人數(shù)為常數(shù)，傳染病傳播后期，病人有效接觸的人群中，健康人少，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在新的模型中要區(qū)別這兩種人。這就進(jìn)一步吸引學(xué)生去求解更為復(fù)雜的微分方程。
　　2?郾案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)法在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用。
　　線(xiàn)性代數(shù)是一門(mén)高度抽象的學(xué)科，學(xué)生普遍反映比較難學(xué)，由于這門(mén)課的特點(diǎn)，我們認(rèn)為更有必要選擇一些案例應(yīng)用于教學(xué)，比如可用矩陣知識(shí)破譯密碼，預(yù)測(cè)動(dòng)物繁殖，計(jì)算交通流量，求解投入產(chǎn)出問(wèn)題，用向量的定義和計(jì)算及多步?jīng)Q策理論可以解決怎樣安全過(guò)河問(wèn)題，等等，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的熱情。
　　在線(xiàn)性代數(shù)課程中運(yùn)用案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)法主要分為三步：第一步，講授基本概念、基本理論和基本計(jì)算方法，并布置課堂作業(yè)。第二步，上機(jī)實(shí)驗(yàn)，用Matlab數(shù)學(xué)軟件求解本章的習(xí)題和課外做的習(xí)題，讓學(xué)生比較兩種方式做習(xí)題難易程度。一般計(jì)算機(jī)解題速度很快，而用筆解習(xí)題速度很慢。第三步，講授與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)建模案例，對(duì)每個(gè)案例進(jìn)行：（1）分析問(wèn)題；（2）建立數(shù)學(xué)模型；（3）用計(jì)算機(jī)求解。講完案例后，再布置1-2大作業(yè)題讓學(xué)生自己模仿去做。例如：在講完矩陣和線(xiàn)性方程組的內(nèi)容后，我們講授“工資問(wèn)題的設(shè)計(jì)”，“交通流量問(wèn)題“具體案例，讓學(xué)生清楚地意識(shí)到我們的身邊所發(fā)生的事情常常要用到數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能，在解決問(wèn)題的過(guò)程中加強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的訓(xùn)練。
　　3?郾案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用。
　　概率統(tǒng)計(jì)是大學(xué)課程中的最重要的公共基礎(chǔ)課程之一，具有很強(qiáng)的應(yīng)用背景。我們結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用性較強(qiáng)的特點(diǎn)，在課堂教學(xué)中，還注意收集經(jīng)濟(jì)生活中的實(shí)例，并根據(jù)各章節(jié)的內(nèi)容選擇適當(dāng)?shù)陌咐?wù)于教學(xué)。比如：有趣的婚姻配對(duì)問(wèn)題、生日問(wèn)題、彩票的發(fā)行及購(gòu)買(mǎi)問(wèn)題、組合證券投資決策問(wèn)題、平均值的質(zhì)量控制圖、教育經(jīng)費(fèi)問(wèn)題等應(yīng)用實(shí)例，通過(guò)這些實(shí)例的閱讀和講解，將理論教學(xué)與實(shí)際案例有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，縮短了數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用的距離，使學(xué)生確實(shí)感到數(shù)學(xué)有用。例如在講解中心極限定理時(shí)，可以引入學(xué)生最熟悉的生活案例。
　　打開(kāi)水問(wèn)題：某學(xué)校有5000名學(xué)生，每天傍晚打開(kāi)水的人較多，開(kāi)水房經(jīng)常出現(xiàn)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，應(yīng)增加多少個(gè)水龍頭才能解決這種現(xiàn)象？
　　分析：首先讓學(xué)生統(tǒng)計(jì)開(kāi)水房現(xiàn)有多少水龍頭個(gè)數(shù)，再調(diào)查每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有多少時(shí)間占用一個(gè)水龍頭（如2%），最后分析發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生占用水龍頭是相互獨(dú)立的，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到中心極限定理，又考慮到每個(gè)人有兩種情況：占用水龍頭和不占用水龍頭，占用水龍頭的概率為0.02，所以學(xué)生是否占用水龍頭可以看作是一次獨(dú)立試驗(yàn)。該問(wèn)題就可以看作是n=5000的n重伯努利試驗(yàn)，設(shè)用水龍頭學(xué)生數(shù)位x，x~B（5000，0.02），可以使用拉普拉斯中心極限定理及Matlab數(shù)學(xué)軟件解決此問(wèn)題。
　　四、結(jié)語(yǔ)
　　總之，數(shù)學(xué)案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)法的實(shí)施無(wú)論從教學(xué)內(nèi)容，還是從教學(xué)形式、教學(xué)方法和手段上講，都是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的一種發(fā)展和補(bǔ)充，使數(shù)學(xué)教學(xué)更加開(kāi)放和更具有活力，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)代感。它也必將對(duì)數(shù)學(xué)教育改革起著積極的促進(jìn)作用。
　　
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　　基金項(xiàng)目：淮陰工學(xué)院教育教學(xué)研究項(xiàng)目［2009］76號(hào)（JYC200929）。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”