高等數(shù)學(xué)中整體思想的具體運(yùn)用

　　摘 要： 整體思想在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，本文主要從整體解析、整體換元、整體配湊三個(gè)方面用具體的例子來說明整體思想在教學(xué)過程中的應(yīng)用。
　　關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 整體思想 具體運(yùn)用
　　
　　數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅滿足數(shù)學(xué)知識的灌輸，還應(yīng)重視能力和素質(zhì)的培養(yǎng)，使學(xué)生掌握最本質(zhì)的東西——數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是對數(shù)學(xué)知識、方法和數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)認(rèn)識;而整體思想正是數(shù)學(xué)思想中的重要組成部分，是解決數(shù)學(xué)問題的重要策略.整體思想是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，觸及問題的本質(zhì)，從而進(jìn)行有目的的、有意識的整體處理.將整體思想滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)及解題中，使學(xué)生體會(huì)并能靈活運(yùn)用，這將有利于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).教師應(yīng)該仔細(xì)專研教材，挖掘教材中的整體思想，設(shè)計(jì)整體思想的講授方法.本文將從以下幾個(gè)方面說明整體思想的具體運(yùn)用.
　　一、整體解析
　　縱觀全局或改變思考問題的角度，或調(diào)整問題的結(jié)構(gòu)形式，將問題的規(guī)律、特征明朗化，從而得到全新的思路.高等數(shù)學(xué)中復(fù)合函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容都應(yīng)該用整體思想去分析和思考，具體地應(yīng)用在復(fù)合函數(shù)的解析式分析、定義域的求解、求導(dǎo)運(yùn)算，以及冪級數(shù)展開，當(dāng)然還有變限積分函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算也離不開整體思想.
　　例1：設(shè)f（x）=x-x，求f（-x），f［f（x）］.
　　分析:其運(yùn)算規(guī)則看成是f（）=（）-（），那么（）就是一個(gè)整體符號，要求f（-x）及f［f（x）］，就是將-x，f（x）為一整體分別代入（）即可，即
　　f（-x）=（-x）-（-x）=x+x.
　　f［f（x）］=f（x-x）=（x-x）-（x-x）=x-2x+x.
　　例2:求函數(shù)y=arcsin+的定義域.
　　分析:函數(shù)的定義域就是使f（x）有意義的全體x的集合.我們對自然定義域的幾種情況已經(jīng)很熟悉，這里涉及到反正弦y=arcsinx中的x必須滿足-1≤x≤1，負(fù)數(shù)不能開偶次方及分母不等于零.在求解過程中引入整體概念，可將、25-x看成整體，其中整體充當(dāng)y=arcsinx中x的位置，所以應(yīng)當(dāng)介于-1到1之間，即-1≤≤1;同時(shí)25-x整體充當(dāng)y=中的x，并且還在分母的位置上，所以有25-x>0，然后求兩個(gè)不等式解集并求交集即可.
　　例3:已知y=（x+2），求y′.
　　分析:對于一般函數(shù)都有［f（）］′=f′（）?（）′，那么對于復(fù)合函數(shù)y=（x+2）（由y=u與u=x+2復(fù)合而成）就是將x+2作為一整體放入到（）中，這樣對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)就非常方便和簡單了，即：
　　y′=30（x+2）?（x+2）′=60x（x+2）.
　　并且整體解析還可用于函數(shù)式子的求解及冪級數(shù)展開中.
　　例4:將f（x）=e展開為x的冪級數(shù).
　　分析:由于我們用直接展開法計(jì)算知道e=1+x+x+x+…+x+…，可將其展開規(guī)則看成是e=1+（）+（）+（）+…+（）+…，那么（）就是一個(gè)整體符號，要求f（x）=e的展開式，就是將x為一整體代入到（）中，即
　　e=1+（x）+（x）+（x）+…+（x）+…
　　=1+x+++…++….
　　例5:已知y=?蘩dt，求y′.
　　分析:這個(gè)函數(shù)就是y=?蘩dt與（）=sinx復(fù)合而成，所以y′=［fdt］′?（）′=?（）′，即：y′=?（sinx）′=cosx?.
　　二、整體換元
　　對有的數(shù)學(xué)問題，注意其整體結(jié)構(gòu)，可以采用整體換元，改變解題角度，這樣能避免冗長的運(yùn)算，使問題簡化.定積分中的換元積分法就是整體換元思想的一個(gè)很好體現(xiàn).
　　例6:求?蘩（2x-3）dx.
　　分析:已知?蘩f（x）dx=F（x）+C，其運(yùn)算法則是?蘩f（）d（）=F（）+C，那么（）就是一個(gè)整體符號，要求?蘩（2x-3）dx，則被積函數(shù)中的2x-3與積分變量不“協(xié)同”，所以我們就要想辦法湊成一致的整體，即
　　?蘩（2x-3）dx=?蘩（2x-3）d（2x-3）?=?蘩（2x-3）d（2x-3）
　　再令2x-3這一整體式子為變量u，所以
　　?蘩（2x-3）dx=?蘩（2x-3）d（2x-3）=?蘩udu=u+C
　　最后再將u=2x-3整體回代即可.
　　例7:求?蘩dx.
　　分析:被積函數(shù)中含有，這屬于第二換元法中的根代換，即將根式看成一個(gè)整體=u，則x=u-2，用一個(gè)整體代換后將原先含根式的式子轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，方便積分.
　　?蘩dx=?蘩•2udu=2?蘩du=2?蘩1-du，
　　=2（u-ln|1+u|）+C
　　最后再將u=整體回代即可.
　　三、整體配湊
　　對一些以固定條件形式出現(xiàn)的命題，只有通過配式湊項(xiàng)，設(shè)置待定常量，才能使用固定已知結(jié)論，去解決問題.整體配湊在高等數(shù)學(xué)極限這一章中應(yīng)用廣泛，集中體現(xiàn)在兩個(gè)重要極限的應(yīng)用，以及等價(jià)無窮小量的替換.
　　其中兩個(gè)重要極限有其固定的形式，分別為=1、（1+x）=e.之所以稱為兩個(gè)重要極限是因?yàn)閼?yīng)用非常廣泛，大量的（主要指式子中含有三角函數(shù)的型）型，1型都可以用這兩個(gè)重要極限去計(jì)算.在分析的過程中就是運(yùn)用到了整體思想，將其推廣為
　　=1［1+（）］=e，
　　那么（）就是一個(gè)整體符號，只要符合要求“趨近于0”即可以隨便填;同樣若不統(tǒng)一則需要有技巧地配湊以達(dá)到一致就可以利用固定的形式解題.
　　例8:求
　　分析:首先將3x看成一個(gè)整體，然后將極限過程中的x及分母中的x配湊成一相同整體，
　　=?3＝3?＝3.
　　例9:求1-
　　分析:根據(jù)［1+（）］=e的固定形式，知道“1+（）”中的（）就是一個(gè)整體，只要極限是0就可以，而題目中是-→0，因此極限過程與指數(shù)向著-去湊，即：
　　1-=li1+-?搖=e.
　　而等價(jià)無窮小量的替換作為極限計(jì)算的一種重要方法，它的廣泛使用也要被熟練掌握.我們建議熟記幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小量，比如當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，1-cosx～x，ln（1+x）～x，e-1～x等，其實(shí)這些都可以推廣為:當(dāng)（）→0時(shí)，sin（）～（），1-cos（）～（），ln［1+（）］～（），e-1～（）.
　　例10:求
　　分析:分母ln（1-x）相當(dāng)于（-x）作為整體，即ln（1-x）～-x，因此
　　==-.
　　綜上所述，從整體上去認(rèn)識、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性;并且整體思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)的各個(gè)教學(xué)內(nèi)容中，我們要充分挖掘教材內(nèi)涵，在課堂教學(xué)中適時(shí)滲透整體思想，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用整體思想解題，讓學(xué)生體會(huì)整體思想的奇妙作用，享受成功，從整體著眼，巧妙構(gòu)思，靈活應(yīng)用整體思想解決問題，提高數(shù)學(xué)素質(zhì).
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”