提高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的途徑

　　摘 要： 在解題教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)，認(rèn)真審題的習(xí)慣；掌握常用的解題思想方法；理順解題思路，規(guī)范解題過(guò)程；加強(qiáng)題后反思，從而提高中學(xué)生解題能力。
　　關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 解題能力 解題 實(shí)踐
　　
　　在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要提高學(xué)生的解題能力，除了抓好基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的學(xué)習(xí)與培養(yǎng)外，更重要的培養(yǎng)途徑就是解題實(shí)踐。下面我們討論如何指導(dǎo)學(xué)生解題。
　　一、養(yǎng)成仔細(xì)、認(rèn)真審題的習(xí)慣
　　仔細(xì)、認(rèn)真地審題是解題的前提。審題的目的是為探索解題途徑提供方向，為選擇解法提供思路。審題的基本要求為以下幾點(diǎn)。
　　1．全面了解題目的文字?jǐn)⑹?，知道題目有幾個(gè)條件，理解每個(gè)條件及由其推導(dǎo)出的結(jié)論，畫出必要的準(zhǔn)確圖形或示意圖。
　　2．整體考慮題目，將條件進(jìn)行組合推導(dǎo)以挖掘條件內(nèi)涵和相互之間的聯(lián)系。一般情況下，中等難度的習(xí)題都有兩或三個(gè)條件組合推導(dǎo)出關(guān)鍵步驟。這恰恰是許多學(xué)生做不到的。如：角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定定理，三角形相似的判定，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，等等。同時(shí)，初中數(shù)學(xué)許多性質(zhì)與定理的條件都是兩或三個(gè)。必要時(shí)，要對(duì)條件或結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)或轉(zhuǎn)化，以利于解法的探索。
　　3．挖掘隱蔽條件；如n邊形的內(nèi)角和，三角形的外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，數(shù)學(xué)式中的根式必須有意義，二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，等等。
　　4．判明題型，預(yù)見解題的策略。如初中數(shù)學(xué)基本題型：計(jì)算題、實(shí)際應(yīng)用題、規(guī)律探究題、新運(yùn)算題、統(tǒng)計(jì)與概率的計(jì)算、與圓有關(guān)的合體、解直角三角形、四邊形與多邊形、方程與函數(shù)題、數(shù)形結(jié)合、探究性與開放性題目、視圖與投影。先看準(zhǔn)題型，再使用相應(yīng)的思想方法。
　　例1：已知：如圖１，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，求證：MN⊥DE.
　　分析：第一步，根據(jù)題意畫出示意圖.本題有四個(gè)條件：兩個(gè)垂直、兩個(gè)中點(diǎn)；由垂直能推導(dǎo)出90度角和邊上的高，中點(diǎn)可推導(dǎo)出EM=MD，BN=NC第二步是將條件進(jìn)行結(jié)合推導(dǎo)：由于兩中點(diǎn)不在同一個(gè)三角形或梯形中，因而不可使用中位線，即使添加輔助線也不可以；將兩垂直結(jié)合僅僅得到∠ABD=∠ACE；一垂直與一中點(diǎn)組合，本題可添置兩條輔助線EN、DN，把題中兩條件“直角三角形”和“斜邊上中線”結(jié)合推導(dǎo)出相等的線段：EN=DN=BC再把兩條件“等腰△BEC中條件EN=DN”和“M是ED的中點(diǎn)”結(jié)合推導(dǎo)出MN⊥DE若在第二步推導(dǎo)完后，學(xué)生仍然不能看出本題的解題思想方法，建議將題中的三個(gè)條件結(jié)合，一定能找到解題方法因?yàn)槌踔辛?xí)題不可能太難第三步書寫過(guò)程按結(jié)論出現(xiàn)的先后順序書寫，同時(shí)要注意條件是否充分
　　證明：分別連結(jié)DN、EN，
　　∵N是BC的中點(diǎn)，CE⊥AB，
　　∴EN是Rt△BEC斜邊BC上的中線，
　　∴（直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)）。
　　同理可得DN=BC，∴EN=DN（等量代換）.
　　又∵M(jìn)是ED的中點(diǎn)且EN=DN.
　　∴MN⊥DE（等腰三角形底邊上的中線就是底邊上的高線）.
　　由此可見，要提高解題能力，就要在平時(shí)教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣。
　　二、掌握常用的解題思想方法
　　數(shù)學(xué)題目繁多，內(nèi)容變化萬(wàn)千，常令許多學(xué)生解題時(shí)不知從何入手，在解題中，我們必須教會(huì)學(xué)生常用的幾種解題方法。下面我通過(guò)舉例，介紹中學(xué)數(shù)學(xué)常用的幾種解題思想方法。
　　例2：比較下面兩列算術(shù)結(jié)果大小（橫線上選填“>”，“<”，“=”）
　　（1）5+3?搖?搖 ?搖?搖2×5×3
　?。?）（-2）+1?搖?搖 ?搖?搖2×（-2）×1
　　（3）0.5+3?搖?搖 ?搖?搖2×0.5×3
　?。?）4+4?搖?搖 ?搖?搖2×4×4
　　……
　　通過(guò)觀察歸納，寫出能反映這種規(guī)律的一般結(jié)論，并加以證明
　　解：橫線上填寫的分別是>，>，>，=
　　一般結(jié)論是：如果a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有a+b≥2ab
　　∵（a-b）≥0，
　　∴a-2ab+b≥0，
　　∴a+b≥2ab。
　　此題是“探索型”例題，雖重在探索，難在探索，但卻有其規(guī)律可尋，解例2類題目，常常是先考慮特殊情況，由特殊情況的結(jié)果，猜想出一般情況的結(jié)果。這里運(yùn)用了歸納推理的方法和化歸思想方法。
　　例3：已知直角三角形的面積為14，兩直角邊之差為13，求斜邊長(zhǎng)
　　分析：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為x和y（x＞y），由已知列出方程組：
　　x－y=13xy=28，
　　若解這個(gè)方程組分別求出x、y的值，再代入求值是比較復(fù)雜的我們可以從整體分析，無(wú)需求出x、y的值，直接根據(jù)已知條件，求出x+y的值
　　解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為x和y（x＞y）由已知得：
　　x－y=13xy=28，
　　所以x+y=（x－y）+2xy=13+28×2=225，
　　所以弦長(zhǎng)為15
　　此例包含著整體思想和化歸思想方法
　　三、理順解題思路，嚴(yán)格規(guī)范解題過(guò)程
　　怎樣把數(shù)學(xué)問題解答過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)⑹龀鰜?lái)？這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不是件容易的事，有著較高的能力要求。敘述要合理，對(duì)列式、計(jì)算、推理、作圖都要有充分的理由，遵循嚴(yán)格的思維規(guī)律，做到言必有據(jù)，理由充足，合乎邏輯。還要周密地考慮問題中的全部?jī)?nèi)容，不能遺漏，也不能重復(fù)。一般來(lái)說(shuō)，各種形式的數(shù)學(xué)習(xí)題都有一定的解答格式，無(wú)論哪種格式，敘述都應(yīng)層次分明，條理清楚，表述規(guī)范。這樣做，可以培養(yǎng)和提高學(xué)生的邏輯思維能力和表達(dá)能力，同時(shí)也有助于學(xué)生解題能力的提高。
　　四、回顧與探討解題過(guò)程，加強(qiáng)解后反思
　　解數(shù)學(xué)題絕不能解一題丟一題，否則無(wú)助于解題能力提高。解題后的反思是提高解題能力的一種重要途徑。
　　1．善于進(jìn)行總結(jié)
　　解題后可從知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用、解題方法、解題策略等多方面進(jìn)行多角度、多側(cè)面總結(jié)，這樣才能舉一反三、觸類旁通，提高解題能力。
　　例4：等腰三角形腰上的高與腰之比為1∶2，求此等腰三角形的底角.
　　錯(cuò)解：如圖2，BD為等腰△ABC腰上的高，且高與腰之比為1∶2.
　　∴∠A=30°，
　　∴等腰△ABC的底角為75°.
　　總結(jié)教訓(xùn)，提高辨析錯(cuò)誤的能力，也是提高解題能力的有效方法。本例構(gòu)圖過(guò)程中，應(yīng)對(duì)等腰三角形是銳角三角形還是鈍角三角形進(jìn)行分類討論，這里僅考慮了頂角是銳角的情形導(dǎo)致了漏解。如圖3，當(dāng)頂角A是鈍角時(shí)，∠CAB=150°.
　　∴等腰△ABC中的底角為15°，
　　∴本題的正確答案為75°或15°.
　　2．注意一題多變與一題多解
　　解完一道題后，教師要善于把它“改頭換面”，變成多個(gè)與原題內(nèi)容或形式不同但解題類似的題目，這樣可以擴(kuò)大學(xué)生的視野，深化知識(shí)，從而提高解題能力。
　　例5：如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，AE、DE分別為∠DAB、∠CDA的平分線，求證：∠AED=90°.
　　變式1：如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，AE為∠DAB的平分線，∠AED=90°，
　　求證：DE為∠CDA的平分線.
　　變式２：如圖5，梯形ABCD中，AB∥DC，AB+DC=AD，E為BC的中點(diǎn)，求證：∠AED=90°.
　　變式３：如圖5，梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點(diǎn)，∠AED=90°，求證：AB+DC=AD.
　　通常改變條件或改變結(jié)論，或條件和結(jié)論互換等，都是一題多變的好形式。
　　總之，學(xué)生解題能力的提高是一個(gè)潛移默化的過(guò)程，是在親自參與解題實(shí)踐中不斷提升的過(guò)程。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意結(jié)合自己班級(jí)的實(shí)際情況，不斷進(jìn)行反思，從而有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］李建才.初中數(shù)學(xué)教材教法.高等教育出版社，1995.5.
　?。?］吳葵光.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增刊.海南《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》雜志社，2006.11.
　?。?］琚林勇.新課程.《新課程》雜志社，2007.3.
　?。?］波利亞著.閻育蘇譯．怎樣解題.北京科學(xué)出版社，1982.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”