巧構(gòu)正(長)方

　　摘 要： 正、長方體是立體幾何中兩個重要模型，其所含的線線、線面、面面的位置關(guān)系內(nèi)容豐富，各種角度及距離均可在其中得以體現(xiàn)。通過構(gòu)建這兩個模型能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化。
　　關(guān)鍵詞： 構(gòu)建 正（長）方體 立體幾何 解題
　　
　　正（長）方體圖形對稱完美，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、各種角度及距離均可在其中得以體現(xiàn)，堪稱立體幾何中的“萬花筒”.因此在解題中假如能挖掘題設(shè)條件，展開聯(lián)想，構(gòu)造出相應(yīng)的正（長）方體，往往能起到化難為易，簡捷明了的效果，使人有“柳暗花明又一村”的感覺.
　　1.求幾何體的表面積或體積
　　例1.在球面上有四點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個球面的面積是.
　　解析：這個題目直接求解很難，但注意到有三條共點(diǎn)線段兩兩垂直，且都相等，這是正方體的基本特征，因此可考慮放在正方體中來求解.以PA、PB、PC為棱作正方體，則該正方體的外接球就是題中的球，故正方體的對角線就是球的直徑，可得答案3πa.
　　例2.如圖1，已知多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為（）
　　A.2 B.4C.8D.9
　　解析：這是一個不規(guī)則的多面體，想直接求體積便要通過割補(bǔ)法把多面體分解成若干個規(guī)則的多面體來求，這樣既麻煩又易出錯.但假如把它放在正方體中去就容易得多了.如圖2，連BD、BG，易知，V=2，V＝8，因此所求多面體的體積應(yīng)介于2和8之間，故選B.
　　2.解決點(diǎn)、線、面位置關(guān)系問題
　　例3.已知l、m、n為兩兩垂直、異面的3條直線，過l作平面α與m垂直，則直線n與平面α的關(guān)系是 .
　　解析：題目沒有圖形，確實(shí)有些棘手，但注意到正方體里的異面直線、垂直關(guān)系很多，又符合題目中兩兩垂直的條件，能不能放在正方體中來解決呢？實(shí)際上只要把正方體畫出來（圖3）就可以得到答案n∥α.
　　例4.如圖4，在空間六邊形（即六個點(diǎn)中沒有任何五點(diǎn)共面）ABCCDA中，每相鄰的兩邊互相垂直，邊長均等于a，并且AA∥CC，求證：平面ABC∥平面ACD.
　　解析：問題中的空間六邊形對于學(xué)生來說是比較陌生的，待證平行的兩平面在圖中不易找到直接的證明線索.但借助正方體的空間襯托（如圖5），則可以在正方體中找到相應(yīng)的空間六邊形，那么所證的兩平行平面就成為學(xué)生十分熟悉的問題了.
　　3.求空間角
　　例5.如圖6，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，則平面ABP與平面CDP所成二面角（小于或等于90°）的度數(shù)是 .
　　解析：這道題是“無棱”二面角問題，而要求二面角的大小則需要得到二面角的棱.盡管可以過點(diǎn)作平行線得到兩平面的交線，但此交線與圖中其它線面關(guān)系不明朗.注意到圖中有兩兩互相垂直的三條直線，可以把圖放在正方體中（圖7），則易見平面ABP與平面CDP的交線為PE，而且容易得到二面角的平面角為∠DPA=45°.顯然，利用了正方體作為輔助圖形，使得圖形清晰直觀，看似棘手的問題也就輕松解決了.
　　例6.如圖8，在正四面體SABC，E、F分別是棱SC與棱AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角的大小是 .
　　解析：這道題的常規(guī)做法是通過平移作出異面直線所成角，再在所成角所在的三角形中利用余弦定理求解，但這樣做的缺點(diǎn)是計算量太大.而由于正四面體的6條棱長相等，而正方體六個面的對角線也相等且剛好能構(gòu)成一個四面體，因此可以考慮將正四面體SABC放在正方體AMBN-QCPS中（圖9），則EF正好是上下底面中心的連線，則EF∥AQ，∠QAS就是異面直線EF與SA所成的角，顯然∠QAS=45°，故異面直線EF與SA所成的角的大小是45°.從這道題中可以看出利用正方體除了可以解決一些有兩兩互相垂直的三條直線的特征的幾何體問題外，也可以解決一些正面體的問題，且同樣能起到事半功倍的效果.
　　4.求空間距離
　　例7.若空間一點(diǎn)P到兩兩垂直的射線OA、OB、OC的距離分別為a、b、c，則OP=.
　　解析：這道題初看上去毫無頭緒，連圖都不知道要怎樣畫，也不知距離應(yīng)該怎樣找.不妨換種思維，看能不能在同樣有兩兩垂直，有很多垂直關(guān)系的長方體中找到點(diǎn)到線的距離.如圖10，可證AP⊥OA，則AP表示點(diǎn)P到OA的距離a，同理，PB、PC分別表示點(diǎn)P到OB、OC的距離b、c.顯然，OP即為長方體的對角線，求其長需要長方體的長、寬、高，不妨分別設(shè)為x、y、z，則有x+y=a，x+z=b，y+z=c，將以上三式相加可得x+y+z=（a+b+c），故OP=x+y+z=（a+b+c），即OP=.
　　例8.如圖11，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=CC=1，∠ABC=90°，求C點(diǎn)到平面ABC的距離.
　　解析：此題可用等體積法，利用V=V求得點(diǎn)C到平面ABC的距離，但過程繁瑣，計算麻煩，但若如圖12把直三棱柱ABC-ABC補(bǔ)成正方體ABCD-ABCD，則點(diǎn)C到平面ABC的距離就是點(diǎn)C到平面ABCD的距離，取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)CO，則CO⊥CD，CO⊥AD.又CD⊥AD，垂足為D，∴CO⊥平面ABCD，∵AB=BC=CC=1，∴CO=.∴點(diǎn)C到平面ABC的距離是.
　　5.解決射影問題
　　例9.若直角∠ABC的一邊BC∥平面α，BA與α斜交，則∠ABC在平面α上的射影是角.（填“銳”、“直”或“鈍”）
　　解析：如圖13，在正方體中找到直角∠ABC，易知圖中∠AB′C′即∠ABC在面上的射影，顯然∠AB′C′=90°即為所求.
　　例10.如圖14，已知正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是 .
　　解析：這個問題單憑想象求解難度不小，但若能借助正方體這個模型，便能迎刃而解.將正四面體放入正方體中，使其四個頂點(diǎn)與正方體的四個頂點(diǎn)重合.正四面體的棱長為1，則相對的兩條棱互相垂直，且距離為.由于AB∥平面α，所以當(dāng)CD∥平面α或CD?奐α（即將平面AEBF或平面CHDG作為平面α）時，四面體在α內(nèi)的射影為正方形，其面積為（最大）；當(dāng)CD⊥α（即將平面ABHG作為平面α）時，四面體在α內(nèi)的射影為等腰三角形，其面積為（最?。?
　　總之，利用正（方）體的完美性質(zhì)，可以變難為易，使難題輕松獲解；可以變陌生為熟悉，使問題迎刃而解；可以優(yōu)化解題途徑，使解題過程簡捷明快，生動有趣；可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)造思維.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［4］薛金星.中學(xué)教材全解［M］.西安:陜西人民教育出版社，2008.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”