例談數(shù)學(xué)思想方法在“解決問題”中的滲透

　　小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教材將“解決問題”貫穿在小學(xué)數(shù)學(xué)課程的全部?jī)?nèi)容之中，顯然，“解決問題”是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本形式。作為一種基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生在“解決問題”的過程中，不僅需要獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及必要的應(yīng)用技能，更需要獲得作為數(shù)學(xué)靈魂的思想方法。因此，在“解決問題”的教學(xué)過程中，教師要精心挖掘、滲透知識(shí)和問題背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生在掌握知識(shí)、解決問題的同時(shí)，體驗(yàn)和領(lǐng)悟作為精髓的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為今后的持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
　　一、 滲透化歸的思想方法
　　數(shù)學(xué)家雅諾夫斯卡婭說：“解題就是意味著把所要解的問題轉(zhuǎn)化為已解過的問題。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遇到一些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、隱蔽而難以解決的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸的思想方法，通過某種轉(zhuǎn)化過程，把未知的復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化、一般問題特殊化，從而求得原來(lái)數(shù)學(xué)問題的解決。
　　例：“小紅看一本故事書，看了一些后，已看的與剩下的比是1∶4，又看了25頁(yè)，現(xiàn)在已看的與剩下的比是3∶7。這本故事書共多少頁(yè)？”
　　分析：直接解答本題有一定困難，可以將題中條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，成為常見的分?jǐn)?shù)問題。即“已看的與剩下的比是1∶4”轉(zhuǎn)化為“已看的頁(yè)數(shù)是總頁(yè)數(shù)的＝”，“現(xiàn)在已看的與剩下的比是3∶7”轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)在已看的頁(yè)數(shù)是總頁(yè)數(shù)的＝”。已看的頁(yè)數(shù)占總頁(yè)數(shù)的分率發(fā)生變化，是因?yàn)椤坝挚戳?5頁(yè)”，因此，25頁(yè)相當(dāng)于這本故事書總頁(yè)數(shù)的（－）＝。所以這本故事書共有25÷＝250（頁(yè)）。
　　二、 滲透分類的思想方法
　　有些數(shù)學(xué)問題，由于條件與問題之間的聯(lián)系不是單一的，情況比較復(fù)雜，用一般的思維方法難以解決。不妨根據(jù)問題的實(shí)際情況和需要恰當(dāng)分類，并逐類分析思考求解，從而順利解決問題。需要注意的是，應(yīng)用分類思想方法解決問題時(shí)要抓住問題的本質(zhì)特征合理分類，做到不重復(fù)、不遺漏。
　　例：從1、2、3……20中任選兩個(gè)不同的數(shù)可以組成兩個(gè)加法算式。在這些算式中，有的和是奇數(shù)，有的和是偶數(shù)。那么，在所有的這些算式中，和為奇數(shù)的多還是和為偶數(shù)的多？多多少個(gè)？
　　分析：顯然，把這些算式一一寫出來(lái)，求和以后再比較和為奇數(shù)、偶數(shù)誰(shuí)多，比較繁瑣?？梢愿鶕?jù)第1個(gè)加數(shù)分類考慮：在第1類19個(gè)算式中缺少了“1＋1=2”，這樣，和是奇數(shù)的算式比和是偶數(shù)的算式多1個(gè)。同樣，在第2類、第3類……第20類中，依次少了“2＋2”、“3＋3”……“20＋20”這些和為偶數(shù)的算式，共少了20個(gè)和為偶數(shù)的算式。因此，和為奇數(shù)的算式比和為偶數(shù)的算式多20個(gè)。
　　三、 滲透類比的思想方法
　　G·波里亞說過：“類比似乎在一切數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用。”類比思想方法就是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象的相同或相似方面來(lái)推斷它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗤蛳嗨?，是一種從特殊到特殊的思想方法。解決某些看似復(fù)雜困難或生疏的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以從結(jié)構(gòu)特征、數(shù)量關(guān)系、情節(jié)內(nèi)容等方面把需要解決的問題與能夠解決的問題進(jìn)行類比，從而豐富認(rèn)識(shí)，啟迪思維，明確探究方向，迅速找到解決問題的途徑和方法。
　　例：甲、乙兩校共有學(xué)生2200人，甲校人數(shù)的與乙校人數(shù)的共930人。甲、乙兩校各有學(xué)生多少人？
　　分析：題中數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，仔細(xì)觀察分析，其結(jié)構(gòu)與“雞兔同籠”問題非常相似：雞和兔——甲校學(xué)生和乙校學(xué)生，頭的總數(shù)——學(xué)生總數(shù)2200人，腿的總數(shù)——甲校人數(shù)的與乙校人數(shù)的共930人，雞、兔各幾條腿——甲的和乙的。這樣一類比，就可以按照“雞兔同籠”問題的解題思路來(lái)解決所求的問題：
　　甲校學(xué)生：（2200×－930）÷（－）=60÷=1200（人）；
　　乙校學(xué)生：（930－2200×）÷（－）=50÷=1000（人）。
　　四、 滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法
　　數(shù)形結(jié)合思想方法，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式相互滲透、相互轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使得抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化、生動(dòng)化、簡(jiǎn)單化，有助于學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。正如數(shù)學(xué)家華羅庚的精辟論述：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微”。解決一些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、一般思考方法難以解決的問題時(shí)，可以把問題中的數(shù)量關(guān)系用圖形直觀形象地表示出來(lái)，變抽象思維為形象思維，然后“按圖索驥”，迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方法和途徑。這樣，不僅使得數(shù)學(xué)問題得到順利解決，還培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力和多角度思考問題的習(xí)慣。
　　例：六年級(jí)同學(xué)表演團(tuán)體操，如果每排少站3人，正好排10行；如果每排多站5人，正好站6排。六年級(jí)有多少名同學(xué)參加團(tuán)體操表演？
　　分析：題中數(shù)量關(guān)系比較抽象復(fù)雜，可以通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化將復(fù)雜而抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地呈現(xiàn)出來(lái)，從而迅速解題。如圖，用長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)表示團(tuán)體操隊(duì)列的排數(shù)，寬表示每排的人數(shù)，用長(zhǎng)方形的面積表示參加團(tuán)體操表演的人數(shù)?！叭绻颗派僬?人，正好排10行”即長(zhǎng)方形ABCD的寬減少3，長(zhǎng)增加到10；“如果每排多站5人，正好排6行”即長(zhǎng)方形的寬增加5，長(zhǎng)減少到6。由于參加團(tuán)體操表演的人數(shù)不變，也就是長(zhǎng)方形的面積不變，即長(zhǎng)方形ABCD的面積=長(zhǎng)方形ALJG=長(zhǎng)方形AEFH的面積，所以圖中S1（長(zhǎng)方形ELJK）=S2（長(zhǎng)方形GKFH），而長(zhǎng)方形ALJG=6×（3＋5）÷（10－6）×10=120，即六年級(jí)有120名同學(xué)參加團(tuán)體操表演。
　　五、 滲透建模的思想方法
　　數(shù)學(xué)模型一般地說，是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（張奠宙語(yǔ)）?！敖鉀Q問題”教學(xué)過程中，教師要善于抓住一類問題的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生透過不斷變換的問題情境，經(jīng)歷觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等思維過程，歸納數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，逐步形成一類數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型及其解決策略體系，從而提升學(xué)生的思維水平，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力。
　　例：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？
　　在學(xué)生解決問題后，出示如下一組形式各異、本質(zhì)特征相同的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生分析解決：
　?、倭昙?jí)同學(xué)分組開展課外實(shí)踐活動(dòng)。環(huán)保宣傳類每5人一組，社會(huì)調(diào)查類3人一組，共有37名同學(xué)報(bào)名參加，正好分成9個(gè)組。參加環(huán)保宣傳類和社會(huì)調(diào)查類的學(xué)生各有多少人？
　?、?6張桌子共44名同學(xué)，正在進(jìn)行乒乓球單打、雙打比賽。單打和雙打的各有幾張桌子？
　?、奂住⒁覂蓚€(gè)車間共126人，如果從甲車間每8人中選一名代表，從乙車間每6人中選一名代表，正好選出17名代表。甲、乙兩個(gè)車間各有多少人？
　　分析：上述問題情境不同，但本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系是相同的，解決問題的策略和思想是一致的，學(xué)生通過分析、解決這些問題，思維逐步深入，領(lǐng)悟到這類問題的本質(zhì)和規(guī)律，構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型得以豐富和拓展，初步形成模型思想。