一個改進的二階Boussinesq方程模型在線性波浪反射問題中的適用性研究

蒲高軍，劉忠波，康海貴

（1. 大連理工大學，遼寧 大連 116024；2. 大連海事大學， 遼寧 大連 116024）3. 勝利油田勝利勘察設(shè)計研究院有限公司，山東 東營 257026）

一個改進的二階Boussinesq方程模型在線性波浪反射問題中的適用性研究

蒲高軍1,3，劉忠波1,2，康海貴1

（1. 大連理工大學，遼寧 大連 116024；2. 大連海事大學， 遼寧 大連 116024）3. 勝利油田勝利勘察設(shè)計研究院有限公司，山東 東營 257026）

基于改進型的二階Boussinesq方程，在交錯網(wǎng)絡(luò)下建立數(shù)值模型。利用模型模擬波浪在常水深情況下的傳播，波浪反射系數(shù)均低于2%。利用該模型模擬波浪在平斜坡前的反射，并將數(shù)值結(jié)果與解析解進行對比。結(jié)果表明，對于相對水深較大情況，坡度較陡時模擬結(jié)果明顯偏大；對于相對水深較小情況，坡度超過1∶ 1時，數(shù)值結(jié)果仍與解析解有較好的吻合。最后將模型分別應(yīng)用到有限個連續(xù)沙壩上Bragg反射問題和弧型地形上的波浪反射問題中，并將數(shù)值結(jié)果與相應(yīng)的實驗結(jié)果進行了比較。前者對比表明，整體數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好，但在雙沙壩問題上共振點處反射系數(shù)明顯偏大；后者對比表明，當弧型地形切角角度小于 40°，數(shù)值結(jié)果與解析解吻合較好。

Boussinesq方程；波浪；反射

1 引 言

改進型的二階Boussinesq水波方程是能綜合考慮波浪折射、繞射、淺水等綜合性能，被廣泛的用來求解各類波浪問題：如潛堤上或沙壩上的波浪傳播變形以及三維復雜地形上的波浪折射繞射等問題[1-3]，因此它是一種高效的時域計算數(shù)學模型。但是二階Boussinesq水波方程在線性波浪反射問題上的適用性如何，目前相關(guān)的研究不多。同時在解決這個問題前，須考慮到所建立的Boussinesq數(shù)值波浪水槽在平底情況下邊界條件的反射程度，只有建立的模型在平底條件下的反射系數(shù)小，才能利用它們求解其他線性波浪反射問題。因此本文將選擇筆者給出的改進型 Boussinesq水波方程作為研究對象[4]，先建立低反射性能的波浪水槽，進而利用該模型模擬在平斜坡、沙壩地形以及弧型地形上的波浪傳播變形，通過二點法求出在這些復雜地形上的線性波浪反射系數(shù)，并將這些系數(shù)與相關(guān)解析解、實驗結(jié)果進行了比較，綜合考察了該方程在線性波浪反射問題上的適用性。

2 改進型Boussinesq方程及模型

2.1 基本方程

劉忠波等推導了改進型的 Boussinesq水波方程[4]，其表達形式為：

2.2 數(shù)值模型

在方程(1)和(2)的基礎(chǔ)上，筆者分別基于交錯網(wǎng)格和非交錯網(wǎng)格體系下，建立了不同的有限差分數(shù)值計算模型，在交錯網(wǎng)格下采用Crank-Nicolson格式進行求解方程，在非交錯網(wǎng)格下采用混合四階Adams-Bashforth-Moulton格式進行求解方程。綜合考慮到交錯網(wǎng)格下數(shù)值計算更穩(wěn)定的特點以及四階Adams-Bashforth-Moulton格式的高精度特點，建立了數(shù)值模型。模型中的變量的一階導數(shù)采用4階精度，二階導數(shù)采用2階精度，需要注意的是由于交錯網(wǎng)格的存在，當連續(xù)方程和動量方程出現(xiàn)同樣項時采用的格式是不一樣的。在一維模型中引入內(nèi)部造波源項（單點源項），并且在兩邊界 2倍波長范圍內(nèi)設(shè)置海綿邊界層進行消波處理。

3 數(shù)值模型的應(yīng)用

3.1 常水深情況下的數(shù)值水槽反射

將數(shù)值模型應(yīng)用到平斜坡等地形上波浪反射情況計算前，先進行了常水深情況下波浪水槽的反射系數(shù)情況對比（計算結(jié)果見圖1）。圖1中給出了不同無因次水深下的波浪反射系數(shù)，其中反射系數(shù)值均低于2%，且h/L處于區(qū)間[0.1，0.38]時，系數(shù)值低于0.5%，這說明該模型可用于求解其他情況的波浪反射問題。

圖 1 常水深情況下的波浪反射系數(shù)Fig. 1 Numerical wave reflection coefficient in a constant wave flume

3.2 平斜坡上的波浪反射

這里考慮的地形是兩個平水深0.6 m和0.2 m，兩個不同水深間是一個平斜坡，坡度變化有 4∶1到1∶25。Suh等[5]給出了有限元模型的線性數(shù)值結(jié)果作為考察本文模型在這一問題適用性的比較對象。圖2－圖6給出了波浪周期為1.0～5.0 s的數(shù)值波浪反射系數(shù)，圖中b代表斜坡的水平長度。當波浪周期不同時，反射系數(shù)與b之間存在明顯的周期變化特點，這種周期的震蕩幅值隨著坡度的減緩而變?。辉诮o定的坡度變化范圍內(nèi)，周期越大，反射系數(shù)的周期變化個數(shù)越少，反之越多。由圖2和圖3可知，對于相對水深較大的小周期波浪，當坡度較陡時，該方程模擬結(jié)果明顯偏大，與有限元解吻合程度差，該方程只適用于坡度較小的情況，圖 2給出最大適應(yīng)坡度約為1∶2.5，而圖3給出的坡度是1∶1。對于相對水深較小的長周期波浪（見圖4－圖6），當波浪周期等于2 s時，且坡度等于4∶3時，數(shù)值結(jié)果仍與有限元數(shù)值解有較好的吻合；而當波浪等于5 s時，數(shù)值解在坡度4∶1的情況下，與有限元數(shù)值解的吻合也很好，這說明本文方程更適合于長波問題的求解。此外，圖4也給出了利用鄒志利[6]模型計算的結(jié)果，二者在色散性和變淺作用是一致的，它們存在的差異主要源自于鄒的方程中含有(hx)2項和不同的hxx項，而在這一地形上的hxx=0。因此這是(hx)2項的引入導致利用該模型計算的結(jié)果比有限元數(shù)值解更偏大的主要原因。結(jié)合圖2－圖6，我們也可得到下面結(jié)論：當給定坡度時，隨著周期的變化，反射系數(shù)也存在周期性的震蕩。

圖 2 平斜坡上的波浪反射系數(shù)（1.0 s）Fig. 2 Wave reflection coefficient of a plane slope （1.0 s）

圖 3 平斜坡上的波浪反射系數(shù)（1.33s）Fig. 3 Wave reflection coefficient of a plane slope （1.33s）

圖 4 平斜坡上的波浪反射系數(shù)（2.0s）Fig. 4 Wave reflection coefficient of a plane slope （2.0s）

圖 5 平斜坡上的波浪反射系數(shù)（2.86s）Fig. 5 Wave reflection coefficient of a plane slope （2.86s）

圖 6 平斜坡上的波浪反射系數(shù)（5s）Fig. 6 Wave reflection coefficient of a plane slope （5.0s）

3.3 有限沙壩上的波浪反射

Davies和 Heathershaw[7]和 Guazzeli等[8]分別進行了沙壩上Bragg反射的實驗。前者實驗中分別采用了2個、4個和10個沙壩，每個沙壩長為1 m，沙壩波幅為5 cm；2個沙壩和4個沙壩存在時的平底水深為0.156 m，10個沙壩存在時的平底水深為0.313 m；后者采用的沙壩為雙正弦型。

為了簡便起見，給出了兩組數(shù)值計算結(jié)果，見圖7和圖8。 圖7也給出了利用鄒志利模型的數(shù)值計算結(jié)果，由圖7可以看出，盡管缺少（hx）2項，本文數(shù)值結(jié)果與實驗吻合程度很好，同時與鄒[6]的模型計算相比，二者計算結(jié)果相差不大，僅當波長等于沙壩長度時，二者存在一定的差異，且鄒的模型計算結(jié)果偏大，該差異源自后者模型中含有（hx）2項和不同的hxx項。由圖8可以看出，雖然共振的位置時模擬的與實驗結(jié)果一致，但計算值比實驗值偏大。

圖 7 數(shù)值計算結(jié)果與Davies和Heathershaw[7]實驗結(jié)果的比較Fig. 7 Comparisons of the simulated results with experimental results for sine topography

圖 8 雙正弦地形上計算結(jié)果與Guazzeli等[8]實驗結(jié)果的比較Fig. 8 Comparisons of the simulated results with experimental results for two-sine topography

3.4 弧型地形上的波浪反射

Lee等[9]給出了弧型地形上的數(shù)值解結(jié)果，本文利用該數(shù)值結(jié)果檢驗了本文方程的適用性，對比結(jié)果見圖 9。由圖可見當弧型地形切角角度超過40°，數(shù)值結(jié)果與邊界元數(shù)值解存在明顯 的差別，而實際中海岸沙壩的迎浪面能維持住的相對穩(wěn)定坡度一般低于該值，這說明就線性波浪反射問題，該方程仍然是可用的。

圖 9 弧型地形上的波浪反射系數(shù)Fig. 9 Wave reflection coefficient of an arc-shape topography

4 結(jié) 論

本文建立了一改進型Boussinesq水波方程的數(shù)值模型，通過數(shù)值計算波浪在不同地形的傳播變形，利用兩點法分解出波浪的反射系數(shù)，考察了該方程在計算波浪反射問題的適用性，得出以下主要結(jié)論：

（1）本文建立的波浪水槽是低反射的，平地常水深情況下，無因次水深在 0.05～0.5之間，最大反射系數(shù)不超過 2%；無因次水深在區(qū)間[0.1，0.38]，反射系數(shù)值低于0. 5%。

（2）在模擬平斜坡上的波浪反射特性準確度較高，無因次水深小于0.05時，最大適用坡度為4∶1；無因次水深小于0.14時，最大適用坡度為4∶3；無因次水深小于0.39時，最大的適用坡度約為1∶2.5。

（3）在模擬雙沙壩地形時，共振點的數(shù)值計算結(jié)果偏大。

（4）在模擬弧型地形上的波浪反射問題時，可達到的最大角度為40°。

此外本文的研究僅限于線性波浪的反射問題，有關(guān)非線性波浪反射的問題，將另行研究給出。

[1] 鄒志利. 水波理論及其應(yīng)用 [M]. 北京: 科技出版社, 2005.

[2] 王本龍. 基于高階Boussinesq方程的海岸破波帶數(shù)學模型研 [D].上海: 上海交通大學, 2005.

[3] Hong G W. High order models of nonlinear and dispersive wave in water of varying depth with arbitrary slopping bottom [J]. China Ocean Engineering, 1997, 11(3): 243-260.

[4] 劉忠波, 張日向, 姜萌. 簡便推導改進 Boussinesq方程的一種方法 [J]. 大連理工大學學報, 2005, 45(1): 118-120.

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[6] 劉忠波, 鄒志利, 孫昭晨. 適用于沙壩上 Bragg反射的二階Boussinesq方程數(shù)學模型及其數(shù)值驗證 [J]. 海洋通報, 2009,28(1): 75-80.

[7] Davies A G, Heathershershaw A D. Surface-wave propagation over sinusoidally varying topography [J]. Journal of Fluid Mechanics,1984, 144: 419-443.

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Applicability of one second-order Boussinesq model in the linear wave reflection problem

PU Gao-jun1,3, LIU Zhong-bo1,2, KANG Hai-gui1

(1. Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2. Dalian Maritime University, Dalian 116024, China 3. Shengli Engineering & Consulting Co Ltd, Dongying 257026, China)

A numerical model in staggered grids was established based on the second order Boussinesq equations.Numerical simulations were carried out in a constant water depth in a flume, and the simulated wave reflection values were lower than 2%. The model was applied to calculate wave reflection from a plane slope, and the calculated reflection values were compared with analytical solution. Numerical results were larger than analytical solution only for steep cases in relative water depth, and numerical results agreed well with the analytical solution even for steep slope more than 1:1 in relative shallow water depth. Finally, the models were applied to Bragg reflection from a finite number of consecutive sills and wave reflection for wave propagating over arc-shape topography, and the numerical results were compared with the corresponding experimental results. The former comparison showed that the overall numerical results were in good agreement with the experimental results, but the reflection coefficients were clearly too large around the peak reflection for dual-resonance sills cases. And the latter comparison showed that when the arc terrain angle was over 40 degrees, the numerical results agreed well with the analytical results.

Boussinesq equations; wave; reflection

TV139.26

A

1001-6932(2011)06-0688-04

2010-09-05；

2011-06-13

蒲高軍( 1964－ )，男，在讀博士生, 高工，主要從事海洋工程研究。電子郵箱：liujinkun.slyt@sinopec.com。

康海貴，教授。電子郵箱：hgkang@dlut.edu.cn。