2n階非線性差分方程周期解的存在性①

彭國榮 隋麗麗

(1.湖北民族學院預科教育學院，湖北 恩施 445000;2.華北科技學院基礎部，北京 東燕郊 101601)

2n階非線性差分方程周期解的存在性①

彭國榮1②隋麗麗2

(1.湖北民族學院預科教育學院，湖北 恩施 445000;2.華北科技學院基礎部，北京 東燕郊 101601)

周期解;臨界點;非線性差分方程多解性;變分方法

1 引言及主要結果

非線性泛函分析是現(xiàn)代數學的一個重要分支，它為解決當今科技領域中出現(xiàn)的各種非線性問題提供了富有成效的理論工具。在處理實際問題所對應的各種非線性方程中發(fā)揮著不可替代的作用。它的基本方法有拓撲度方法、錐與半序理論及變分方法等。

本文主要利用非線性泛函分析中的變分方法，結合臨界點理論，研究2n階非線性差分方程

周期解的存在性與多重性。其中，Z( a)={ a，a+1，…}， 當 a ≤ b 時，Z (a，b)={a，a+1，…，b}，Δ 是向前差分算子，即 Δxt=xt+1-xt，Δk+1xt=Δ ( Δkxt)。實數序列rt和非線性項f分別滿足以下條件:

(A)對給定的正整數 T，rt+T=rt＞0，t∈Z;

(B)f∈C( Z × R1→R1)，并且對任意 ( t，z)∈Z × R1，f( t+T，z)=f( t，z)。

我們的主要結論是:

定理1.1假設滿足下列條件:

(2)存在 a＞0，c＞0，使得對任意(t，z)∈Z ×

(3)存在 ρ1＞0，使得當時，F(xiàn)( t，z)＞0

則問題(1.1.1)在ET中至少有兩個非零解。

定理1.2假設下列條件滿足:

則問題(1.1.1)在ET中有三個不同的解。

2 變分結構

為了應用臨界點理論，本節(jié)將定義問題(1.1.1)所對應的能量泛函，并討論其相關性質。首先介紹一些概念和記號。

用S表示一切實數序列x= x{ }

nn∈Z所組成的集合，即

同時也用(…，x-n，x-n+1，…，x-1，x0，x1，x2，…，xn，…)表示 x={xn}n∈Z。對于給定的正整數T，集合ET定義為

則ET為S的線性子空間，并且與RT同構。定義ET上的內積為

由此內積誘導出空間ET上的范數記為:

易證明問題(1.1.1)的周期解等價于J在ET上的臨界點。

證明我們的結論需要如下引理。

引理2.1［1］設θ是J的一個臨界點且J(θ)=0，并且J在θ點有一個關于E=V1⊕V2的局部環(huán)繞，其中 k=dimV1＜∞，即存在充分小的 ρ＞0使得

那么Ck(J，θ)≠0，即θ是J的一個同調非平凡臨界點。

引理2.2［2］假設J滿足P.S.條件且有下界，如果J有一個同調非平凡、非極小的臨界點，則J至少有三個臨界點。

引理2.3［3］設 H 是實的 Hilbert空間，f:H→R1是 C1泛函，F(xiàn)=gradf，ΩR={x∈H:‖x‖ ＜R}，Ωr={x∈H:‖x‖ ＜r}，其中 R ＞r＞0是兩個實數。假定

(1)在H的任何有界集S上都滿足Lipschitz條件，即存在常數KS＞0使得‖F(xiàn)(x)-F(y)‖≤KS‖x-y‖，?x，y∈S;

(2){xn}有界，F(xiàn)(xn)→θ蘊涵{xn}有收斂子列;

(3)?x∈?Ωr，(F(x)，x)＞0;?x∈?ΩR，(F(x)，x)＜0，或者滿足?x∈?Ωr，(F(x)，x)＜0;?x∈?ΩR，(F(x)，x)＞0。

那么泛函f在ΩR內有三個臨界點。

3 主要結果的證明

為了證明主要結論我們需要如下引理

的最小非零特征值。

證明由矩陣知識知A是半正定矩陣，其特征值為 0 ＜λ1≤ λ2≤ …≤ λT-1。顯然，ξ=( v，v，…，v)T∈ET是所對應的特征向量(v≠0，v∈R1)，并且 ξ?Y。

下面用數學歸納法證明該不等式成立。

設 x=(x1，x2，…，xT)T∈Y，當 n=1 時，

下面我們將給出定理1.1和1.2的證明。

定理 1.1的證明由 F(t，z)的定義知 F(t，0)=0，從而 J(θ)=0。由假設條件(1)得 f(t，0)=0。從而J'(θ)=0。由引理3.1及假設條件(2)知J有下界，滿足P.S.條件。

從而由引理2.1知θ是J的一個同調非平凡臨界點，又因為θ是J的非極小值點，所以由引理2.2知J至少有三個臨界點。即問題(1.1.1)在ET中至少有兩個非零解。

定理1.2的證明我們證明泛函J(x)在ET中至少有三個不同的臨界點。

因此，泛函J滿足引理2.3的所有假設條件，所以由引理2.3知泛函J在ET中至少有三個不同的臨界點，即問題(1.1.1)在ET中至少有三個不同的解。

［1］ Benshi Zhu，Jianshe Yu.Multiple positive solutions for resonant difference equations［J］.Mathematics ＆ Computer Modelling，2009，(49):1928-1936

［2］ J.H.Zhang，S.J.Li，Multiple Nontrivial Solutions for some Fourth Order Semilinear Elliptic Problems［J］.Nonlinear Analysis，2005，(60):221-230

［3］ 郭大鈞.非線性泛函分析(第二版)［M］.濟南:山東科學技術出版社，2001

Existence of Periodic Solutions for A 2n Th-ordern Oolinear Difference Equation

PENG Guorong，SUI Lili

(1.Hubei institute for Nationalities Pre-Institute Department，Enshi Hubei445000;
2.Foundation department of North China Instituteof Science and Technology，Yanjiao Beijing-East 101601)

multiplicity of solutions;energy functional;variational method;critical point theory;critical group;Morse theory

O175.7

A

1672-7169(2011)03-0078-04

2011-01-12

彭國榮(1983-)，男，湖北民族學院預科教育學院教師。