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    一類Snark與k-圈的卡式積圖的連通性①

    2011-12-26 07:13:44葛國(guó)菊
    關(guān)鍵詞:記作卡式子圖

    葛國(guó)菊 王 濤

    (1.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽巢湖 238024;2.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部,北京東燕郊 101601)

    一類Snark與k-圈的卡式積圖的連通性①

    葛國(guó)菊1②王 濤2

    (1.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽巢湖 238024;2.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部,北京東燕郊 101601)

    本文主要運(yùn)用約化的方法證明了Flower snark Jk與Cm的卡式積圖Jk×Cm是Z3-連通的。

    卡式積;群連通;收縮

    1 引言

    寫本文的主要?jiǎng)訖C(jī)是由兩個(gè)猜想而引起的。

    猜想 1(Bondy[1]):4-邊連通圖有 Z3-NZF。

    猜想2(Jaeger[2]):5-邊連通圖是Z3-連通的。

    Kochol在[3]中證明了猜想1等價(jià)于5-邊連通圖有Z3-NZF,因此猜想2包含猜想1。由于Jk×Cm,m≥2為5-正則圖,且當(dāng)m≥5時(shí),Jk×Cm為5-邊連通的5-正則圖,因此根據(jù)猜想2它應(yīng)該是Z3-連通的。從而,旁證了以上兩個(gè)猜想。本文主要用約化的方法證明了Jk×Cm,m≥2是Z3-連通的。本文中的圖都是指無(wú)環(huán)的有限圖,用到的群都是Abel群,對(duì)一個(gè)有限Abel群A,G是A-連通的,記作G∈<A>。一個(gè)非平凡的2-正則的連通圖稱為一個(gè)圈,一個(gè)圈有k-條邊,稱為k-圈,記作Ck。由Ck添加一個(gè)新頂點(diǎn)x,和 k 條邊 xvi(i=1,2,…,k),其中 V(Ck)={v1,v2,…,vk},所得到的圖稱為 k- 輪圖,記作Wk。設(shè) G 是一個(gè)圖,v∈V(G),d(v)≥4,令 N(v)={v1,v2,…,vm}為 v 的鄰點(diǎn)集,令 X={vv1,vv2},則圖 G[v,X]是由 G{vv1,vv2}添加一條新邊v1v2所得到的圖。若H是G的子圖,記作H?G。以上的基本概念在[4]中有介紹。

    命題1 (H.-J.Lai[5]):對(duì)任意 Abel群A,<A>是一族連通圖滿足:

    (1)K1∈ <A >;(2)若 e∈E(G),且 G∈<A>,則G/e∈<A>;

    (3)若 H?G,且 H,G/H∈ <A>,則 G∈<A>;

    (4)若|A|≥n+1,則 Cn∈ <A >;(5)若G[v,X]∈ <A > ,則 G∈ <A >。

    命題2 (M.Devos[6]):對(duì)任意 n≥1,則有W2n∈<Z3>。

    若H?G,H∈<A>,則稱H為G的A-可收縮子圖,也可稱H上所有的點(diǎn)在A上都可收縮到H上某點(diǎn)vH;要判斷G∈<A>,根據(jù)命題1(3)知,只要判斷G/H∈<A>;G/H是把H上所有的點(diǎn)收縮成一點(diǎn)vH,再把所有的環(huán)去掉得到的圖;由命題1(4)知 C2∈ <Z3>,其中 V(C2)={v1,v2},則稱 C2可收縮到點(diǎn) v1或 v2可收縮到點(diǎn)v1?;舅枷敕椒ㄔ冢?]中有介紹。

    2 主要結(jié)論

    定義1:圖G和H的笛卡爾積,記作G×H,點(diǎn)集為 V(G)×V(H)={(g,h):g∈V(G),h∈V(H)},對(duì)任意點(diǎn)(g1,h1),(g2,h2)∈V(G × H),若((g1,h1),(g2,h2))∈E(G × H),則 g1=g2,(h1,h2)∈E(H)或(g1,g2)∈E(G),h1=h2。為了敘述方便令 V(H)={h1,h2,…,hn},V(G)={g1,g2,…,gm},在 G × H 中,一個(gè)層 G × {hi}稱為第i個(gè)G-層;一個(gè)層{gj}×H稱為第j個(gè)H-層;

    定義2:對(duì)奇整數(shù) k,k≥3,F(xiàn)lower snark Jk結(jié)構(gòu)如下:

    V(Jk)={v1,v2,...,vk}∪{1,2,...,k,k+1,k+2,...,2k,2k+1,2k+2,...,3k},圖 Jk有4k 個(gè)頂點(diǎn),是由一個(gè) k 長(zhǎng)圈1,2,...,k,1 和一個(gè)2k 長(zhǎng)圈 k+1,k+2,...,2k,2k+1,2k+2,...,3k,k+1 組成,另外添加頂點(diǎn) vi(i=1,2,...,k)與i,k+i和 2k+i都相鄰。例如 J5,J7的圖如下:

    定理1:G=Cm,m≥2的整數(shù),則 Jk×G∈<Z3>。

    為了證明這個(gè)定理,我們先看一個(gè)引理。

    引理1設(shè) G1,G2,G3滿足下列條件,則 G1,G2,G3都是 Z3- 連通的。

    (1)G1是由 K1,3× C3和點(diǎn) v 組成,設(shè) V(K1,3)={v1,1,2,3},V(C3)={g1,g2,g3},且在 G1中 v與點(diǎn)(g1,1),(g1,3),(g2,2),(g3,1),(g3,2),(g3,3)相鄰。

    (2)G2是由 K1,3× C2l+1和點(diǎn) v 組成,設(shè) V(K1,3)={v1,1,2,3},V(C2l+1)={g1,g2,...,g2l+1},且在 G2中 v 與點(diǎn)(gi,1),(gi,3),(gj,2),i=1,3,...,2l+1,j=2,4,...,2l,2l+1 都相鄰。

    (3)G3是由 K1,3× C2l和點(diǎn) v 組成,設(shè) V(K1,3)={v1,1,2,3},V(C2l)={g1,g2,...,g2l},且在 G3中 v 與點(diǎn)(gi,1),(gi,3),(gj,2),i=1,3,...,2l-1,

    2l,j=2,4,...,2l-2,2l-1 都相鄰。

    證明:(1)去掉邊(v,(g1,1)),((g1,1),(g1,v1)),((g1,v1),(g1,3)),添加邊(v,(g1,3)),則v與(g1,3)形成 2-圈,又因?yàn)?v與點(diǎn)(g3,3)相鄰,所以點(diǎn)(g1,3),(g2,3),(g3,3)依次都可收縮到 v,則 v 與點(diǎn)(g2,v1),(g3,v1)都相鄰,又因?yàn)?v與點(diǎn)(g2,2),(g3,2)相鄰,所以 v 與點(diǎn)(g2,v1),(g3,v1),(g2,2),(g3,2)形成 W4,則(g1,v1),(g2,v1),(g3,v1),(g1,2),(g2,2),(g3,2)都可收縮到v,這時(shí)v 與(g3,1)形成2-圈,v 與點(diǎn)(g2,1)相鄰,因此(g1,1),(g2,1),(g3,1)依次也都可收縮到 v,根據(jù)命題1(5)知,G1∈ <Z3>。

    (2)去掉邊(v,(g1,1)),((g1,1),(g1,v1)),((g1,v1),(g1,3)),添加邊(v,(g1,3)),則v與(g1,3)形成2-圈,又因?yàn)?v與點(diǎn)(g2l+1,3)相鄰,所點(diǎn)(g1,3),(g2l+1,3)都可收縮到 v,則 v 與點(diǎn)(g2,3),(g2l,3),(g2l+1,v1)都相鄰,再去掉邊(v,(g2l+1,2)),((g2l+1,2),(g2l+1,v1)),添加邊(v,(g2l+1,v1)),則點(diǎn)(g2l+1,v1),(g2l+1,1)依次可收縮到 v,則 v 與點(diǎn)(g2l,v1),(g2l,1)都相鄰,再去掉(v,(g2l-1,3)),((g2l-1,3),g2l-1,v1),添加邊(v,(g2l-1,v1)),則 v 與點(diǎn)(g2l,v1),(g2l-1,v1),(g2l,1),(g2l-1,1)形成 W4,把它收縮到 v,則點(diǎn)(g2l,2),(g2l-1,2),(g2l-2,2),(g2l-2,v1),(g2l-2,1),

    (g2l-3,1),(g2l-3,v1),(g2l-3,2),(g2l-4,2),...,(g2,2),(g2,v1),(g2,1),(g1,1),(g1,v1),(g1,2)依次都可收縮到 v,此時(shí) v 與(g2,3),(g3,3),(g5,3),...,(g2l-3,3),(g2l-2,3),(g2l,3)都形成 2- 圈,因此(g2,3),(g3,3),(g4,3),...,(g2l-2,3),(g2l,3)都可收縮到 v,這時(shí) v 與(g2l-1,3)也形成2-圈,根據(jù)命題1(5)知,G2∈<Z3>。

    (3)去掉邊(v,(g1,1)),((g1,1),(g1,v1)),((g1,v1),(g1,3)),添加邊(v,(g1,3)),則v與(g1,3)形成 2- 圈,又因?yàn)?v 與點(diǎn)(g2l-1,3),(g2l,3)相鄰,所以點(diǎn)(g1,3),(g2l,3),(g2l-1,3)都可收縮到 v,則 v 與點(diǎn)(g2l,v1),(g2l-1,v1)都相鄰,又因?yàn)?v 與點(diǎn)(g2l,1),(g2l,1)相鄰,所以 v 與點(diǎn)(g2l,v1),(g2l-1,v1),(g2l,1),(g2l-1,1)形成W4,把它收縮到 v,則點(diǎn) (g2l-1,2),(g2l,2),(g2l-2,2),(g2l-2,v1),(g2l-2,1),(g2l-2,3),...,(g2,2),(g2,v1),(g2,1),(g2,3),(g1,v1),(g1,1),(g1,2)都依次可收縮到 v,根據(jù)命題1(5)知,G3∈<Z3>。

    證明定理1(i)當(dāng)m=2時(shí),命題顯然成立;

    (ii)當(dāng) m=3時(shí),記 V(G)={g1,g2,g3},利用命題 1(5),去掉邊((g1,1),(g1,k)),((g1,k),(g1,vk)),((g1,vk),(g1,3k)),((g1,3k}),(g1,k+1)),添加邊((g1,1),(g1,k+1))去掉邊((g1,k+1),(g1,k+2)),((g1,k+2),(g1,k+3)),...,((g1,2k-1),(g1,2k)),((g1,2k),(g1,2k+1)),添加邊((g1,k+1),(g1,2k+1));去掉邊((g1,1),(g2,1)),((g2,1),(g2,v1)),添加邊((g1,1),(g2,v1));去掉邊((g1,2k+1),(g2,2k+1)),((g2,2k+1),(g2,v1)),添加邊((g1,2k+1),(g2,v1));使得(g1,v1)與(g1,1),(g1,k+1),(g1,2k+1),(g2,v1)形成 W4,其中(g1,v1)是中心,把這個(gè) W4收縮成一點(diǎn),記為 v,這時(shí) v與點(diǎn)(g2,k+1),(g3,v1)都形成 2- 圈,v 與點(diǎn)(g1,2),(g1,2k+2)相鄰,同時(shí) v 與(g3,1),(g3,k+1),(g3,2k+1)都相鄰,因此把點(diǎn)(g2,k+1),(g3,v1),(g3,1),(g3,k+1),(g3,2k+1)依次收縮到 v,此時(shí) v 點(diǎn)(g2,1),(g2,k+2),(g2,2k+1),(g2,3k)都相鄰,同時(shí) v 與(g3,2),(g3,k+2),(g3,2k+2),(g3,k),(g3,2k),(g3,3k)也都相鄰,此時(shí) v 與(gi,2),(gi,k+2),(gi,2k+2),(gi,v2),i=1,2,3 形成 Z3- 可收縮子圖 G1(引理1中的G1),把它收縮成一點(diǎn),仍記為v,這時(shí) v 與點(diǎn)(g2,1),(g2,2k+1)都形成 2- 圈,則點(diǎn)(g2,1),(g2,2k+1)都可收縮到 v,則類似的 v 與(gi,j),(gi,k+j),(gi,2k+j),(gi,vj),i=1,2,3,j=3,4,...,k-1 依次都可形成 Z3- 可收縮子圖G1(引理1中的G1),把它們依次收縮成一點(diǎn),仍記為 v,此時(shí) v 與(gi,k),(gi,2k),(gi,3k),i=2,3 都形成 2- 圈,則(gi,k),(gi,2k),(gi,3k),(gi,vk),i=1,2,3 都可收縮到 v,因此 Jk× G∈<Z3>。

    (iii)當(dāng) m=2l+1,l≥2,記 V(G)={g1,g2,g3,...,g2l+1},如同(ii)的操作,使得點(diǎn)(g1,v1)與(g1,1),(g1,k+1),(g1,2k+1),(g2,v1)形成以(g1,v1)為中心的W4,把這個(gè)W4收縮成一點(diǎn),記為v,這時(shí) v與點(diǎn)(g2,k+1)都形成2-圈,把(g2,k+1)收縮到 v,則 v 與(g3,k+1)相鄰,同時(shí)v 與點(diǎn)(g1,2),(g1,2k+2),(g3,v1),(g2l+1,1),(g2l+1,k+1),(g2l+1,2k+1),(g2l+1,v1)都相鄰,使用類似的方法,依次去掉邊((gj,1),(gj,k)),((gj,k),(gj,vk)),((gj,vk),(gj,3k)),((gj,3k}),(gj,k+1)),添加邊((gj,1),(gj,k+1));去掉邊((gj,k+1),(gj,k+2)),((gj,k+2),(gj,k+3)),...,((gj,2k-1),(gj,2k)),((gj,2k),(gj,2k+1)),添加邊((gj,k+1),(g1,2k+1));去掉邊((gj,1),(gj+1,1)),((gj+1,1),(gj+1,v1)),添加邊((gj,1),(gj+1,v1));去掉邊((gj,2k+1),(gj+1,2k+1)),((gj+1,2k+1),(gj+1,v1)),添加邊((gj,2k+1),(gj+1,v1));其中 j=3,5,7,...,2l-1,使得點(diǎn)(gj,v1)與(gj,1),(gj,k+1),(gj,2k+1),(gj+1,v1)形成以(gj,v1)為中心的W4,依次把這樣的W4收縮成一點(diǎn),記為v',則 v 與 v'形成 2- 圈,因?yàn)?v 與(gj,k+1),(gj,v1),j=3,5,7,...,2l-1 都相鄰,則可把這樣的 v'收縮到 v,則 v 與點(diǎn)(gn,k+1),n=2,4,...,2l都形成2-圈,把這些2-圈都收縮到 v,則 v 與(gn,1),(gn,2k+1),(gn,3k),n=2,4,...,2l都相鄰,同時(shí) v與點(diǎn)(g2l+1,v1)形成 2- 圈,由前知,v 與(g2l+1,1),(g2l+1,k+1),(g2l+1,2k+1),(g2l+1,v1)都相鄰,因此(g2l+1,1),(g2l+1,k+1),(g2l+1,2k+1),(g2l+1,v1)都可收縮到 v,得到 v 與(g2l+1,k)相鄰,則 v 與(gi,2),(gi,k+2),(gi,2k+2),(gi,v2),i=1,2,...,2l+1 形成Z3-可收縮子圖G2(引理1中的G2),把它收縮成一點(diǎn),仍記為 v,則 v 與點(diǎn)(gn,1),(gn,2k+1),n=2,4,...,2l都形成 2- 圈,把這些 2- 圈都收縮到 v,則 v 與點(diǎn)(gn,k),(gn,2k),(gn,3k),(n=2,4,...,2l)都相鄰,類似的 v 與(gi,j),(gi,k+j),(gi,2k+j),(gi,vj),i=1,2,...,2l+1,j=3,4,...,k-1依次都形成 Z3-可收縮子圖G2(引理1中的G2),把它們依次收縮成一點(diǎn),仍記為v,則 v 與(gn,k),(gn,2k),(gn,3k),(n=2,4,...,2l)以及(g2l+1,k),(g2l+1,2k),(g2l+1,3k)都形成2- 圈,所以(gi,k),(gi,2k),(gi,3k),(gi,vk),i=1,2,...,2l+1 也都可收縮到 v,因此 Jk× G∈<Z3>。

    (iv)當(dāng) m=2l,l≥2,記 V(G)={g1,g2,g3,...,g2l},如同(iii)的操作,在第 1,3,...,2l-3個(gè)Jk-層進(jìn)行同樣的操作,同時(shí)在第2l個(gè)Jk-層也進(jìn)行同樣的操作后,則v與點(diǎn)(g2l-1,v1)形成2- 圈,v 與(g2l-1,1),(g2l-1,k+1),(g2l-1,2k+1)都相鄰,同時(shí) v 與點(diǎn)(gn,k+1),(n=2,4,...,2l-2)都形成 2- 圈,則可把(gn,k+1),(n=2,4,...,2l-2),(g2l-1,v1),(g2l-1,1),(g2l-1,k+1),(g2l-1,2k+1)依次都收縮到 v,則 v 與(gi,2),(gi,k+2),(gi,2k+2),(gi,v2),i=1,2,...,2l形成Z3-可收縮子圖G3(引理1中的G3),把它收縮成一點(diǎn),仍記為 v,則 v 與(gn,1),(gn,2k+1),n=2,4,...,2l-2 都形成 2- 圈,因此(gn,1),(gn,2k+1),n=2,4,...,2l-2 都可收縮到v,則 v 與(gn,2k),n=2,4,...,2l-2 都相鄰,而v 與(gi,j),(gi,2k+j),(gi,vj),(gi,k+j),i=1,2,...,2l,j=3,4,...,k-1 依次都形成 Z3- 可收縮子圖W2l,因此依次把它們都收縮到v,這時(shí)v與(gi,k),(gi,3k),i=1,2,...,2l形成 Z3- 可收縮子圖 W2l,把它們也都收縮到 v,則 v與(gn,vk),n=2,4,...,2l-2 都形成 2- 圈,把它們也都收縮到 v,則 v 與(gn,2k),n=2,4,...,2l-2以及(g2l-1,2k)也都形成2-圈,再把它們也都收縮到 v,這時(shí)(gp,vk)(gp,2k),p=3,5,...,2l-3都可收縮到 v,則此時(shí) v 與(g1,vk),(g2l,vk),(g1,2k),(g2l,2k)形成 Z3- 可收縮子圖 W4,所以 Jk×G∈<Z3>。

    由上述(i)(ii)(iii)(iv)命題得證。

    [1] Bondy,J.A.,Murty ,U.S.R..graph Theory with Applications[M].New york:American Elsevier,1976

    [2] F.Jaeger,N.Linial.C.Payan,M.Tarsi.Group connectivity of graphs-a nonhomogeneons analogue of nowhere-zero flowproperties[J].Comb.Theory,Ser.B,1992,56(2):165-182

    [3] Kochol,M.An equivalent version of the 3-flow conjecture[J].Combin.Theory Ser.B,2001,83(2):258-261

    [4] Zhang ,C.Q..Integer flows and cycle covers of graphs[M].New york:Marcel Dekker,1997

    [5] H.J.Lai.group connectivity of 3-edge-connected chordal graphs[J].Graphs and Combinatorics,2000,16(2):165-176

    [6] M.Devos,R.Xu,G.Yu.Nowthere-zero Z3-flows through Z3-connectivity[J].Discrete Math,2006,306(1):26-30

    [7] H.J.Lai.Nowthere-zero 3-flows in locally connected graphs[J].Graph Theory,2003,42(3):211-219

    Group Connectivity of The Cartesian Product on The Snark And a k-Circuit

    GE Guoju1,WANG Tao2

    (1.Department of Mathematics,Chaohu College,Chaohu Anhui238024;2.North China Institute of Science and Technology,Yanjiao Beijing-East101601)

    In this paper,by reduction methods proved that the Cartesian product graph Jk×Cm,m≥2 is Z3-connectivity.

    Cartesian product;group-connectivity;contraction

    O157.5

    A

    1672-7169(2011)03-0074-04

    2011-04-23?;痦?xiàng)目:中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助(2011B019)。

    葛國(guó)菊(1981-),女,安徽含山人,碩士,安徽巢湖學(xué)院教師,研究方向:圖論。

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