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    基于非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)的公鑰密碼體制

    2011-12-25 09:20:56李紹華尚緒鳳
    關(guān)鍵詞:同態(tài)共軛公鑰

    李紹華,尚緒鳳

    (中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,浙江杭州 310018)

    基于非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)的公鑰密碼體制

    李紹華,尚緒鳳

    (中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,浙江杭州 310018)

    提出了一個(gè)新的基于非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)的Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議,并在此基礎(chǔ)上建立了一個(gè)新的公鑰密碼體制.它的安全性取決于一個(gè)基本問(wèn)題的困難性,而這個(gè)基本問(wèn)題是共軛搜索問(wèn)題和Diffie-Hellman問(wèn)題的結(jié)合變形問(wèn)題.最后將提出的體制應(yīng)用到數(shù)字簽名方案中,并給出一個(gè)類似于ElGamal的簽名方案.

    非交換代數(shù)結(jié)構(gòu);Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議;扭共軛搜索問(wèn)題;公鑰密碼體制

    0 引言

    隨著密碼技術(shù)的發(fā)展,非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)已成為構(gòu)造密碼體制的一個(gè)趨勢(shì),也引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.許多優(yōu)秀的以非交換結(jié)構(gòu)為平臺(tái)的密碼體制相繼提出[1-2],例如辮群就是一個(gè)很好也很重要的平臺(tái).非交換結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的問(wèn)題是共軛搜索問(wèn)題和Diffie-Hellman問(wèn)題.本文將提出一個(gè)基本問(wèn)題,它是共軛搜索問(wèn)題和Diffie-Hellman問(wèn)題的結(jié)合問(wèn)題,本文提出的方案就是基于該基本問(wèn)題,并且適用于一般的非交換結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[1]也提出了一個(gè)類似的問(wèn)題,但是是以辮群為指定的平臺(tái)進(jìn)行討論的.

    共軛搜索問(wèn)題:已知x,y∈G,且x與y互為共軛的,找出a∈G,s.t:y=axa-1.共軛搜索問(wèn)題還有一個(gè)推廣,即扭共軛搜索問(wèn)題[3]:已知x,y∈G,φ,ψ∈End( G),*為G上的反同態(tài),找出a∈G,s.t:y=ψ(a) xφ( a*).這一問(wèn)題比一般的共軛搜索問(wèn)題更為不平凡,并且更適合于構(gòu)造復(fù)雜的密碼體制.再給出DH問(wèn)題:已知g,gkA,gkB∈F,計(jì)算gkAkB.Diffie-Hellman問(wèn)題也有一個(gè)推廣的問(wèn)題,即:令φ,ψ∈Aut( G),且φψ=ψφ,已知a,φ(a),ψ(a),求φ( ψ(a)).本文使用的基本問(wèn)題:設(shè)G是非交換的代數(shù)結(jié)構(gòu),已知x∈G且x?Z( G),φ,ψ是G到Z( G)上的同態(tài),*為G上的反同態(tài),y1=ψ(a) xφ( a*),y2=ψ(b) xφ( b*),a,b∈G是隱藏的,計(jì)算ψ(a) y2φ( a*)或ψ(b) y1φ( b*).此問(wèn)題可以看成共軛搜索問(wèn)題和Diffie-Hellman問(wèn)題的一個(gè)變形,它顯然比一般的共軛搜索問(wèn)題和Diffie-Hellman問(wèn)題更難解決.一般的共軛搜索問(wèn)題存在所謂的“基于長(zhǎng)度的攻擊”,一些試探性的算法已經(jīng)顯示出非常高的成功率[4-7].而考慮我們所提出的基本問(wèn)題時(shí),線性攻擊似乎是不可行的,見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中的具體分析.

    注:在非交換結(jié)構(gòu)中,ψ(a) y2φ( a*)不一定等于ψ(b) y1φ( b*),而由于φ,ψ是G到Z( G)上的同態(tài),故兩者是相等的.這是共軛問(wèn)題應(yīng)用到Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議的關(guān)鍵問(wèn)題,文獻(xiàn)[1]中是利用辮群的自身結(jié)構(gòu)來(lái)解決這一問(wèn)題的,而本文通過(guò)同態(tài)的選取可將方案推廣到一般的非交換結(jié)構(gòu)中.

    1 提出的方案

    1.1 非交換群上的Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議

    假設(shè)Alice想與Bob達(dá)成一個(gè)會(huì)話密鑰,G是非交換群,公開(kāi)信息為x∈G-Z(G),φ,ψ:G→Z( G),G上的反同態(tài)*,協(xié)議如下

    (1)Alice選取隨機(jī)元a∈G,計(jì)算y1=ψ(a) xφ( a*),并將y1發(fā)給Bob;

    (2)Bob選取隨機(jī)元b∈G,計(jì)算y2=ψ(b) xφ( b*),并將y2發(fā)給Alice;

    (3)Alice和Bob分別計(jì)算KA=ψ(a) y2φ( a*)和KB=ψ(b) y1φ( b*).

    由于

    故達(dá)成的會(huì)話密鑰為K=KA=KB.

    1.2 非交換群上的公鑰密碼體制

    利用上面的協(xié)議,建立一個(gè)新的公鑰密碼體制.令G為非交換群,H:G→{0,1}k是一個(gè)適當(dāng)選取的雜湊函數(shù).

    (1)密鑰生成系統(tǒng)選擇x∈G-Z( G),兩同態(tài)φ,ψ:G→Z( G),和G上的一個(gè)反同態(tài)*.A選擇隨機(jī)元a∈G,計(jì)算y= ψ(a) xφ( a*),則A的公鑰為(x,y),私鑰為a.

    (2)加密給定消息m∈{0,1}k,假設(shè)B要將m發(fā)給A,則B選擇隨機(jī)元b∈G,利用A的公鑰計(jì)算c=ψ(b) xφ( b*),d= H( ψ(b) yφ( b*))⊕m,密文為(c,d).

    (3)解密A收到密文(c,d),利用私鑰解密得m=H( ψ(a) cφ( a*))⊕d.

    以上體制是正確的,因?yàn)?/p>

    2 應(yīng)用

    上一節(jié)提出的公鑰密碼體制可以用于構(gòu)造各種數(shù)字簽名方案.下面給出一個(gè)類似于ElGamal的簽名方案.

    設(shè)G為非交換群,x∈G-Z( G),兩同態(tài)φ,ψ:G→Z( G),反同態(tài)設(shè)為元素的逆運(yùn)算.假設(shè)用戶要為消息m簽名.

    (1)選擇隨機(jī)元a∈G,計(jì)算y=ψ(a) xφ( a*);

    (2)選擇隨機(jī)元k∈G,計(jì)算r=ψ( k-1)xφ(k),z=ψ( r-1)yφ(r);

    (3)計(jì)算δ,s.t:m=δk(ar)-1.

    最后得到的簽名為(m,z,δk).這里a可以看做簽名人的私鑰,公鑰為y,保密信息為(a,k,r,δ).

    接收者收到簽名后,計(jì)算L=ψ(m) xφ( m-1),R=ψ( δk) zφ((δk)-1),當(dāng)且僅當(dāng)L=R時(shí)接受簽名.

    此簽名方案是正確的,因?yàn)?/p>

    3 結(jié)束語(yǔ)

    本文將一般的共軛搜索問(wèn)題與Diffie-Hellman問(wèn)題相結(jié)合提出了一個(gè)基本問(wèn)題,這個(gè)問(wèn)題的困難性不低于共軛搜索問(wèn)題和Diffie-Hellman問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上提出了新的Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議和新的公鑰密碼體制,并且提出了一個(gè)數(shù)字簽名方案.我們的體制比一般的基于共軛搜索問(wèn)題或Diffie-Hellman問(wèn)題的方案更有優(yōu)勢(shì).一方面是提出的基本問(wèn)題能更好地抵抗線性攻擊,另一方面我們的方案對(duì)一般的非交換結(jié)構(gòu)都是適用的,更具有普遍性.

    [1]KO K H,LEE S J,CHEON J H.New public key cryptosystem using braid groups[J].Lecture Notes in Computer Science,2000,30(1880): 166-183.

    [2]PAENG S H,HA K C,KIM J H,et al.New public key cryptosystem using finite non Abelian groups[J].Lecture Notes in Computer Science,2001,31(2139):470-485.

    [3]SHPILRAIN V,USHAKOV A.An authentication scheme based on the twisted conjugacy problem[J].Lecture Notes in Computer Science,2008,38(5037):366-372.

    [4]GARBER D,KAPLAN S,TEICHER M,et al.Probabilistic solutions of equations in the Braid group[J].Advances in Applied Mathematics,2005,35(3):323-334.

    [5]GARBER D,KAPLAN S,TEICHER M,et al.Length-based conjugacy search in the Braid group[J].Contemp Math Amer Math Soc,2006,54 (418):75-87.

    [6]MYASNIKOV A D,USHAKOV A.Length based attack in braid groups[J].Lecture Notes in Computer Science,2007,37(4450):76-88.

    [7]RUINSKIY D,SHAMIR A,TSABAN B.Cryptanalysis of group-based key agreement protocols using subgroup distance functions[J].Lecture Notes in Computer Science,2007,37(4450):61-75.

    NEW Public Key Cryptosystem Using Non-Abelian Algebra Structures

    LI Shao-hua,SHANG Xu-feng

    (Colleg of Science,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)

    Propose a new Diffie-Hellman key exchange scheme based on non-Abelian algebra structures and also propose a new public key cryptosystem based on the proposed scheme.The security of this scheme relies on the difficulty of a base problem,which combines the conjugacy search problem with the Diffie-Hellman problem,and which is a transformation problem.At last,apply the proposed cryptosystem to a signature scheme which is similar to ElGamal scheme.

    non-Abelian algebra structure;Diffie-Hellman key exchange scheme;twisted conjugacy search problem;public key cryptosystem

    TP309.7

    A

    1007-0834(2011)03-0035-02

    10.3969/j.issn.1007-0834.2011.03.012

    2011-05-23

    國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071081);浙江省自然科學(xué)基金杰出青年團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(R1090138)

    李紹華(1986—),男,黑龍江哈爾濱人,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院.

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