注入系統(tǒng)壓縮性和粘性流體流動對水壓致裂破碎壓力影響的模擬＊

Bunger A P，Lakirouhani A，Detournay E

1）CSIRO Earth Science and Resource Engineering，Melbourne，Australia

2）Zanjan University，Zanjan，Iran

3）University of Minnesota，Minneapolis，MN，USA

注入系統(tǒng)壓縮性和粘性流體流動對水壓致裂破碎壓力影響的模擬＊

Bunger A P1），Lakirouhani A2），Detournay E3）

1）CSIRO Earth Science and Resource Engineering，Melbourne，Australia

2）Zanjan University，Zanjan，Iran

3）University of Minnesota，Minneapolis，MN，USA

基于水壓致裂數(shù)據(jù)估計巖體的最大應力主要取決于對破裂的確定和二次破裂壓力。這種估計的誤差可歸結于注入系統(tǒng)壓縮性，耦合粘性流體在水壓裂隙中的流動和裂隙通過井孔周圍變化的應力場的增長。這些機制的作用還沒有很好的定量化。本文中的兩個數(shù)值模型為評估非理想條件下與破裂壓力分析有關的誤差提供了一個基本工具。這兩個數(shù)值模型是注入系統(tǒng)的壓縮性和各向異性的巖石應力場中粘性流體在從井孔擴展的水壓裂隙中的流動。為了保證足夠的精確性，結果對于相關的無量綱參數(shù)值采用基于模型的標準，當這些標準在現(xiàn)場條件下滿足不了時，模型可以進一步應用獲得一級校正，來解釋壓縮性、粘度和近井孔的影響。

引言

廣泛應用垂直井孔的水壓致裂方法來確定地應力[1－4]。最小水平應力σh由水壓裂隙在閉合或返流條件下結束時井孔壓力的估計值確定。普遍認為用水壓致裂法能更精確確定應力分量。另一方面，測定最大水平應力σH需要重新打開已存在的不同方向的裂隙，即HTPF試驗[5]，或者，當HTPF不能實際應用時，就需要分析破碎和／或重張壓力。后者有許多的不確定性，對地應力估算來說，經常認為對破裂壓力的分析是不可靠的。

分析非滲透性巖石中破裂壓力Pb的兩個經典方程是Hubbert和Willis（H－W）[6]

及Haimson和Fairhurst（H－F）[7]

其中σt是抗拉強度。

第一個明顯的不確定性是，H－W準則和H－F準則的差異因子是2，這可以通過從裂隙開始增長時的有限長度裂隙的引入得到解決[8－10]。H－W準則和H－F準則分別代表兩個極端情況：快速增壓（無流體滲透）和緩慢增壓（完全滲透和均勻分布的裂隙）。從井孔擴展的有限裂隙的引入使得基于準則的抗拉強度隱含的信息明朗化了：裂隙存在于物質中。本文我們延伸了這項工作，考慮到水壓裂隙是從一個來自充滿液體井孔的小裂隙增長而形成的，此時應力正好大于最小地應力σh。用兩個模型模擬水壓裂隙的增長，即用注入系統(tǒng)的壓縮性和粘性流體流動來追蹤水壓裂隙的增長。

可用相同的方法來分析注入和閉合的多周期特點，因為每個新的注入和新的裂隙長度相對應。在這種情況下，出現(xiàn)的問題是，破裂能否在后來的注入階段觀測到，并且觀測到的破裂壓力的意義是什么。此外，在實際操作中，將重張壓力Pr定義為鉆孔壓力在壓力－時間記錄曲線變成非線性時的大小，對Pr的有關解釋也一直是眾多爭論的主題。Bredehoeft等[11]提出，用σt＝0時方程（1）作為重張準則（假設σH＜3σh，因為在注入開始之前裂隙已經張開）。另一方面，Ito等[12]認為σt＝0時方程（2）是適合的準則，因為裂隙在關閉時有殘留的縫隙，假如注入速度足夠小的話，這就使得裂隙在重新張開之前不均勻受壓。然而，低于注入速率臨界值時方程（2）（σt＝0）是相關的重張準則，關于該值的依賴性還沒有充分研究。最后，就像Ito等人[12]指出的那樣，重張壓力受到注入系統(tǒng)液壓屈服度的影響。

最終目標是闡明關于解釋破裂壓力Pb的另外一個重要的不確定性，Pb一般比裂隙增長開始時的壓力Pi要大。Detournay和Carbonell[13]預測，Pb≥Pi建立在對極限平衡曲線的分析上，對平面應變裂隙來說，曲線本質上就是應力強度的變化。該預測被Zhao等人[14]通過試驗所證實，他們的結果和預測是一致的：當σH＝σh時，Pb＝Pi；當σH＞σh時，Pb＞Pi。Ito等人[15]也預測Pb＞Pi，原因是注入系統(tǒng)的壓縮性。Lakirouhani等[16]指出第3個因素是壓縮系統(tǒng)和粘性流體流動的耦合。雖然認為所有這些機制都起著作用，但是這些影響還都沒有定量化。因此，為了定量化近井孔應力場、注入系統(tǒng)壓縮性和粘性流體流動對破裂和重張壓力的作用，本文運用Lakirouhani等[17]給出的算法來模擬水壓裂隙初始和破裂狀態(tài)。

1 數(shù)學模型

1.1 問題描述和主要方程

圖1 示意圖

在非滲透線彈性巖石中兩個對稱破裂面的平面應變半徑為a的井孔傳播受以下幾個量影響：楊氏模量E、泊松比ν和破裂韌度KIc（圖1）。因為是對稱的，方程只需求右邊破裂，即a≤x≤l（t）＋a，破裂長度為l（t）。解決這個問題必須確定l（t），張開w（x，t），流體壓力分布Pf（x，t）和流體流量q（x，t）。這些量在如下方程中：

其中，彈性核心函數(shù)H（x，s，a）隱含井孔[18]。E′＝E／（1－ν2）是平面應變彈性系數(shù)，Pw（t）＝Pf（0，t）是井孔的流體壓力。

考慮到裂隙中不可壓縮的牛頓流體的層流，流量q可通過泊肅葉方程給出：

其中，μ′＝12μ是動態(tài)粘滯度。需要注意的是，注入系統(tǒng)是可壓縮的，但是我們認為流體的壓縮性對方程（4）和以下連續(xù)方程是可忽略的：

第四，我們需要一個移動邊界方程調整l（t），在KI＝KIc條件下從線彈性破裂機制（linear elastic fracture mechanics，LEFM）給出，其中，KI是模式I的應力強度，KIc是模式I的破裂韌度。LEFM傳播條件可由下式表達：

兩個邊界條件在裂隙尾端張開和流體流量條件下給出：

第3個邊界條件是，考慮到注入系統(tǒng)的壓縮性，進入裂隙的流體流量和鉆孔壓力變化速率之間的線性關系如下：

其中，H（t）是Heaviside單位階躍函數(shù)。這里我們看到，注入的凈流體（沿井孔坐標軸單位裂隙的高度）是以一個常數(shù)Qo注入的液體減去儲存在可壓縮的注入系統(tǒng)的那部分U?Pw／?t，其中U是沿井孔坐標軸單位裂隙的高度注入系統(tǒng)的體積縮小。如果大部分注入系統(tǒng)壓縮性都歸為液體體積的壓縮，那么U≈CfVo，其中Cf是液體壓縮系數(shù)，Vo是沿井孔坐標軸單位裂隙高度注入系統(tǒng)的體積。初始條件為：

其中，Ps是一個小的初始凈壓力，假設最初就存在于裂隙中。這在算法上是必需的，因為解答必須以一些小的初始張開開始。在物理上，相對于最小應力σh來說，這是一個小小的過壓，假設它已經存在了很長時間并且已經滲透到了最初的裂隙中。

1.2 比例法

控制方程的無量綱形式的比例法的應用可以減少參數(shù)空間的量綱，只考慮無量綱參數(shù)。如果Ps足夠小，不影響結果的話，我們有3個獨立的量（即，力、長度和時間）和10個獨立的變量（x，t，a，U，K′，μ′，E′，σd，σh，lo）。因此，我們需要最多考慮7個獨立的無量綱參數(shù)[19]。這里，為了方便數(shù)值解法，我們選擇了特殊比例。特別是，我們尋找了一個有固定空間坐標的尺度，作為相對于移動或拉伸的坐標系。最后，如果這個比例能對結果的解釋有一些最直觀的幫助是最好的。

令L為一個特征長度，即γ＝l／L是一個無量綱長度。我們選它作為破裂體積Vcrack，類似于儲存在注入系統(tǒng)的液體的體積Vcomp。對于具有均勻凈壓力Pw－σh的裂隙，Vcrack～（Pw－σh）L2／E′。正如1.1部分討論的那樣，Vcomp＝（Pw－σh）U。因此得出下式：

另外，由于系統(tǒng)的線性特征，特征長度可以理解為裂隙壓縮性和注入系統(tǒng)類似時裂隙的長度。可以得出在注入速率為Qo時，達到特征長度的時間：

如果裂隙中的壓力接近Pw－σh，LEFM預測，加上初始及邊界條件：

其中：

注意，下面的計算中初始條件是初始壓力Πs＝0.01。

因此，｛γ，Π，Ω，Ψ｝是ξ，τ，A，M，D和γo的函數(shù)。當γ和τ很小時，l＜＜L，因此壓縮性的影響很大。當γ和τ趨向無限大時，壓縮性的影響消失。參數(shù)D包含了偏應力，當γ和τ趨向無限大時該量隨時間減小并消失。參數(shù)M是個無量綱粘度，通過裂隙傳播決定粘性流動。最后，A是井孔半徑和特征長度L之比。因此，A＜＜1?a＜＜L，井孔半徑比特征裂隙長度小很多。也就是，對于A＜＜1，注入系統(tǒng)的影響是持續(xù)的，直到接近井孔的應力集中可以忽略。

1.3 數(shù)值解

數(shù)值解是通過基于位移不連續(xù)（displacement discontinuity，DD）算法離散化彈性方程和基于有限差方法解出潤滑方程計算得出的[20]。算法運用離散單元尺寸為△ξ的固定格網，和基于具有相同位移的DD單元。每一步，裂隙的長度相對于最初未知的時間間隔△τ都以一個固定的增量△ξ增加。因此，未知的不是裂隙的長度，而是時間。該方法的優(yōu)點在于不需要特殊的邏輯去處理單元之間落下的裂隙尖端。

2 水壓裂隙初始狀態(tài)和增長

2.1 裂隙長度和井孔壓力的演化

在τ＝0，開始注水，井孔壓力增加，流體在傳播準則滿足之前流進裂隙一段時間，然后傳播才開始。圖2展示了長度γ和井孔壓力Πw隨τ的變化。當初始裂隙大小γo較小時，開始之前的注入階段要持續(xù)較長的時間才會使壓力增大為較高的值。一旦傳播開始，γ快速增大，因為注入系統(tǒng)的體積釋放了。圖2展示了非粘性流體的數(shù)值結果[1617]，與Lhomme等人[21]認為的一分錢形狀的裂隙的結果是一致的。當M≡0時，隨著γ從較低向較高的數(shù)值跳躍，裂隙長度瞬間增長。圖2展示了M＝0.001和M＝0.1的情況。當M＝0.001時，γ確實瞬間就增大，而井孔壓力卻瞬間下降。相反，當M＝0.1時，γ的增長就緩慢多了，井孔壓力的下降也是如此。

圖2 裂隙長度γ（a）和井孔壓力Πw（b）曲線。其中D＝0，A＝0.4。虛線是粘度為0的情況[17]

圖3 裂隙長度γ（a）和井孔壓力Πw（b）在不同井孔半徑A條件下隨τ的變化曲線。其中D＝0，γo＝0.08，虛線是粘度為0的情況[17]

圖3和圖4展示了最初增壓、裂紋萌生的類似情況，及裂紋長度急速增長的最初趨勢，這種增長因粘度M變得緩慢。圖中展示了不同井孔半徑A和偏應力D對應的結果。很明顯，在γo固定的情況下，無論哪個參數(shù)值的增大都對減少初始時間和初始井孔壓力有影響。

2.2 初始值和破裂壓力

以前的預測[13]和實驗[14]證實，破裂壓力被定義為峰值壓力或最大壓力，它在裂隙最初增長時能超出最初壓力。圖2～圖4顯示最初井孔壓力Πi小于破裂井孔壓力Πb。差值主要依賴于γo，D和A，當D和A足夠小時，差值消失。圖5a顯示了這種情形，此時粘度為0，M≡0。破裂壓力和初始壓力差值隨初始裂隙長度和壓縮性長度的比率γo的變化而變化。解釋數(shù)據(jù)時假設Πi＝Πb，這樣產生的誤差與γo的中間范圍有關。當γo足夠大或者足夠小時，誤差消失。拋開γo的中間值，假設Πi＝Πb時，誤差的意義是深遠的。因此，從數(shù)據(jù)解釋、注入工具設計和運作協(xié)議的角度來說，我們能看到，如果解釋要準確的話，必須小心避開那些清晰的參數(shù)空間區(qū)域。

圖4 裂隙長度γ（a）和鉆孔壓力Πw（b）在不同D值情況下隨τ的變化曲線，此時A＝0.4，γo＝0.08，虛線是粘度為0的情況[17]

Πi和Πb的差值也隨著M增加。圖5b闡述了這種相關性。這種影響是雙重的：第一，當M＝0時，Πi＝Πb，圖5b中只有一個是這種情況，很顯然，M＝0.1時，Πi＜Πb。第二，在M＝0，Πi＜Πb的情況下，當M＞0時，差異變大；很顯然在γo很大時，差異沒有消失。

2.3 二次破裂壓力和重張壓力

最初注入階段的破裂壓力觀測反映出一種情況，即最初的裂隙變得非常不穩(wěn)定。如果粘度M＜＜1，則裂隙長度從初始值γo很快跳躍到一個新值（圖2）。數(shù)值解從不穩(wěn)定到穩(wěn)定的過渡隨著粘度的增加而更緩慢。只要γo比γ＊小，破裂不穩(wěn)定就會發(fā)生（γ＊是臨界裂隙長度，非粘性數(shù)值解的兩支在此合并）。γ＊取決于A和D，數(shù)值解的不穩(wěn)定只是受M微弱地影響。在A＝0.2，0.4時，γ＊隨D變化（圖6）。

圖5 破裂壓力Πb和初始井孔壓力Πi的差值在不同D和A值條件下隨γo的變化曲線。（a）M＝0；（b）M＝0.1

圖6 臨界裂隙長度γ＊解從穩(wěn)定向不穩(wěn)定過渡的曲線

伴隨初始注入／閉合周期，任何新的注入都會導致進一步的裂隙傳播。一般而言，新的注入是以壓力－時間曲線記錄上的峰值為特征的。然而，峰值壓力有時被稱為二次破裂壓力，有時被稱為重張壓力，該概念有不同的含義，用下面的例子來說明。在圖2中，γo＝0.08，M＝0.001，A＝0.4。在破裂處，Π?0.35。當裂隙快速傳播至γ?0.25時，壓力Πw降至約0.24。假設第一次注入進行到裂隙γ＝0.32時，相應的Πw?0.22，此時回流突然產生引起裂隙降壓而不是進一步的傳播。一旦恢復到平衡（Π?0），就開始新的注入。相關的壓力－時間記錄在Π?0.22之前是準線性的，之后裂隙傳播重新開始。

兩個含義值得進一步檢驗。第一，例子中觀測到的峰值壓力與數(shù)值解從非穩(wěn)定支到穩(wěn)定支的跳躍是無關聯(lián)的，就像在第一個注入階段。事實上，從圖2可以很明顯地看出，壓力峰值隨著裂隙長度的增長逐漸變得不清楚，這是由于受到隨著γ變化的水力屈服增大和凈壓力傳播減小的共同影響。因此，對于第二個注入階段壓力－時間曲線上可輕易辨認的頂點的存在極大地取決于最初增壓／減壓周期結束時裂隙達到的長度。另外，隨著注入系統(tǒng)屈從U的增大，分辨試驗壓力－時間曲線上的峰值的能力也會進一步減小，因為實際時間軸通過與U3／4成比例的值拉伸了時間τ軸。

第二，模型預測的重張壓力將會和閉合壓力基本相同。在重張壓力的例子中，我們希望最初裂隙長度γo大于破裂長度，我們也希望僅僅是由于最初壓力和破裂壓力的差異而出現(xiàn)不同，并且當M→0時，差異消失（圖5）。閉合壓力和重張壓力的接近相等是數(shù)值解的一個屬性，這是由于我們使裂隙重張之后再開始使水壓裂隙擴展。重張機制本質上像初始破裂，但是由于巖石已經破裂，韌度或抗拉強度為0[3]。但是，由Sano等[4]提供的大范圍的場地試驗數(shù)據(jù)論證了重張壓力和閉合壓力接近等值，看起來可以支持這里的重張模型。

重張壓力有一個重要的應用含義。很顯然，σH對裂隙初始和破裂時的影響和近井影響有關，也就是說，在沒有井孔條件下，σH和Griffith破裂無關。因此，如果想從重張壓力中獲得相關信息來決定σH，那么我們的結果表明，在初始注入階段的末期，裂隙長度沒有那么長以致使近井影響消失。也就是說，在二次注入階段，想要取得σH可靠信息的可能性隨著初始注入階段的延續(xù)而減小。而且，較小的初始裂隙長度和穩(wěn)定傳播重新開始時的較大的裂隙長度相符合。因此，當初始注入時，γo非常小，在σH條件下，破譯出重張壓力的可能性也很小。

3 破裂壓力模型的比較

模型結果可以用來估算經典的基于抗拉強度的模型的情況，如方程（1）或（2），預計會對破裂壓力給出一個很好的估計。當然，需要有一定的條件，即在現(xiàn)場應用中測量的破裂壓力評估希望能產生一個準確的σH。在M≡0和完全滲透性及均勻壓力下，流體滲透進初始裂隙。由于傳播條件，我們僅限于M?0.1的情況，因此，比較將會集中在全滲透的H－F準則上[方程（2）]。

首先，抗拉強度σt必須和斷裂韌度KIc及初始裂隙長度lo有關[10]。當lo／a＜＜1時，有凹口的井孔可看作邊緣裂隙?？估瓘姸绕屏褖毫δＰ桶薛襱假想為裂隙開始增長時作用在非常小的裂隙上的均勻拉張有效應力。因此，從斷裂力學觀點來看，考慮受到均勻抗拉強度σt的有限裂隙，令KI＝KIc，則破裂傳播為

對邊緣裂隙[22]，δ＝1.121 5。再聯(lián)合方程（12），方程（2）變?yōu)椋?/p>

數(shù)值模型和方程（22）的H－F準則的潛在分歧的兩個源頭是很明顯的。這涉及到先前討論的問題，即破裂壓力有時可能比初始壓力大很多。然而，檢查該問題之前，讓我們首先考慮由有限裂隙長度lo產生的矛盾。考慮M≡0即零粘度的情況，Pf為常數(shù)，并且Pw＝Pf。令P＝Pf－σh，則模型I的應力強度由下式給出[16－17]：

其中β＝lo／a，f1、f2如圖7所示。令KI＝KIc，求P，代入方程（12），得出非粘性流體破裂準則：

圖7 當β＝lo／a時的函數(shù)f 1（β）和f 2（β）

檢查f1、f2會發(fā)現(xiàn)：

因此，方程（24）在β→0時變?yōu)榉匠蹋?2）。當β為有限值時，誤差出現(xiàn)了。利用方程（21），β可以由下式估計：

其中δ＝1，因為假設σt是在配置中獨立測量得到的。如果實際容差在5%，這和β?0.02相符合。如果容差放寬到10%，利用抗拉強度標準的準則也放寬到β?0.05；如果考慮KIc／σt≈1／8 m1／2，那么β≈5 mm／a。因此，有限尺寸的初始裂隙的影響是很重要的，除非井孔半徑超過100 mm。實驗室內，影響可能是巨大的。Haimson和Fairhurst[23]通過有井套的井孔的增壓測量抗拉強度是Brazilian在不同巖石類型中間接測定的結果的1.3～2.4倍，而這種影響可能就是導致以上這種現(xiàn)象的一個原因。因此，無論是在現(xiàn)場還是在實驗室，為了能根據(jù)方程（24）計算正確的破裂準則，實用的方法是用方程（26）估計β。

利用方程（2）估算σH誤差的可能性超出了有限裂隙尺寸的問題。第二個可能的矛盾來自于這樣一種事實，即破裂壓力經常超出裂隙初始壓力（圖5）。圖8表示在所有情況下，初始壓力Πi都非常接近方程（24）。確實是這樣，尤其是當M→0時，小誤差與尖端條件有關[17]。另一方面，大多數(shù)情況下破裂壓力顯著偏離方程（24）。這種偏離表明方程（24）的應用傾向于顯著誤差，而顯著誤差隨著M，D和γo的增加而增加。

圖8 初始壓力Πi和破裂壓力Πb在不同M值下隨D變化，其中γo＝0.08，A＝0.4

4 結論

為了估計最大地應力，采用基于計算水壓裂隙破裂壓力方程的標準抗拉強度，這依賴于以下兩點：一是假設初始裂隙相對于井孔半徑來說非常小，二是破裂壓力和裂隙初始壓力一致。由于場地和實驗室條件，這兩個假設都可能達不到。在理想情況下，粘性流體流動、注入系統(tǒng)井孔滲透性、近井孔應力影響和初始裂隙長度都可以忽略，測量才能進行。這些機制都確實可以忽略的情況已經由耦合的水壓致裂模型Ⅰ闡明。另外，實踐中不可能總能獲得參數(shù)值的合適范圍，在非理想情況下進行的應力測試總會帶來誤差，模型只是一個對這種誤差進行定量和糾正的有用工具。最后，也檢驗了二次注入，如果初始注入階段持續(xù)足夠長時間以致于近井孔影響消失時，那么基于所謂的重張壓力能可靠地確定σH的能力就減小了。

致謝

感謝Rob Jeffrey和Xi Zhang富有幫助的討論。AL在對CSIRO訪問時開發(fā)了數(shù)值模型，并作為他博士研究的一部分。非常感謝CSIRO的資金支持。

譯自：Proceedings of the 5thInternational Symposium on In－Situ Rock Stress“Rock Stress and Earthquake”，Edited by Furen Xie，CRC Press／Balkema，Leiden，The Netherlands：59－68，2010

原題：Modelling the effect of injection system compressibility and viscous fluid flow on hydraulic fracture breakdown pressure

（中國地震局地殼應力研究所研究生 扈桂讓譯；徐 偉，姚 瑞 校）

（譯者電子郵箱，扈桂讓：huguirang＠163.com）

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