飽和非線性波導(dǎo)陣列的離散孤子＊

黃文華，邱為鋼

（湖州師范學院 理學院，浙江 湖州 313000）

飽和非線性波導(dǎo)陣列的離散孤子＊

黃文華，邱為鋼

（湖州師范學院 理學院，浙江 湖州 313000）

利用擴展的雙曲函數(shù)展開法，對飽和離散非線性波導(dǎo)陣列模型離散非線性薛定諤方程進行了研究，獲得了多組新的精確解析局域解，包括亮孤子解、暗孤子解，以及亮、暗復(fù)合孤子解等，并給出了這些解存在對方程系數(shù)的特殊約束關(guān)系．

離散飽和非線性薛定諤方程；離散孤子；雙曲函數(shù)方法

0 引言

自上世紀60年代以來，克爾類型非線性光學媒質(zhì)的光孤子性質(zhì)獲得了大量的研究成果．這些光學媒質(zhì)可以用三次非線性薛定諤方程來模擬和描述．眾所周知，這種非線性薛定諤方程是可積的，并且孤子間的相互作用是彈性的［1］．近年來，一些學者對像折射媒質(zhì)的光孤子性質(zhì)進行了研究［2］，媒質(zhì)的描述方程模型有異于經(jīng)典的非線性薛定諤方程，主要在于方程中的克爾非線性項被其他飽和類型項所替代．這種飽和非線性薛定諤方程是不可積的，其孤子的碰撞是非彈性碰撞，可以導(dǎo)致孤子的湮滅、聚變和產(chǎn)生［3～5］．離散的非線性薛定諤方程可以用來描述緊制約束非線性波導(dǎo)陣列．離散非線性薛定諤格子模型中關(guān)于移動呼吸子或孤子的存在及其性質(zhì)研究已經(jīng)有了許多報道．如文獻［6］認為呼吸子能沿著格子傳播僅有少量的能量損失，并由于格子的非均勻性會被陷落；繼而，更深入的研究認為精確的行波呼吸子至少在一定參數(shù)范圍內(nèi)存在［7］．最近，關(guān)于飽和離散非線性薛定諤方程描述的像折射晶體波導(dǎo)陣列中的孤子和呼吸子的研究亦有了相應(yīng)進展的報道［8，9］．該模型系統(tǒng)如下［10］

飽和離散非線性薛定諤方程與三次離散非線性薛定諤方程的區(qū)別關(guān)鍵在于前者的Peierls-Nabarro勢壘是受限制的，而且在大多數(shù)情況下要小于后者，這使高能移動孤子得以存在．尋求非線性系統(tǒng)的精確解一直是非線性科學研究的重要課題．由于系統(tǒng)（1）的復(fù)雜性，相信還有很多精確解和離散孤子解存在，而獲得這些解有助于深入了解像折射媒質(zhì)飽和波導(dǎo)陣列的光傳輸特性及光孤子特性．由于非線性離散差分方程的特點，求其精確解相對而言比連續(xù)非線性偏微分方程要更加困難．本文利用新近提出的求解非線性離散差分方程的所謂擴展的雙曲函數(shù)方法［11］對方程（1）進行進一步研究，獲得了新的精確解和離散孤子．

1 方程（1）的精確解

為了獲得離散的飽和非線性薛定諤方程（1）的精確解，首先做以下行波變換：

其中k，c，p，q，n，η，ζ為實常數(shù)．將變換（2）和（3）代入方程（1），利用誘導(dǎo)公式：

經(jīng)整理，令方程虛部和實部都等于零，可以得到：

為得到方程（4）和（5）的精確解，利用擴展的雙曲函數(shù)展開法，基于奇次平衡原則，平衡最高階微分項和非線性項，可以假定φn有如下形式的解：

其中a0，a1，b1和r為待求實常數(shù)．將（6）、（7）式代入方程（4）和（5），合并各同階項

并令其系數(shù)為零，可以得到一組關(guān)于a0，a1，b1，k，c，p，q，r的代數(shù)方程．為避免繁冗，這里略去該超定代數(shù)方程組，借助數(shù)學符號運算軟件Maple，直接給出求解方程組所得解：

將上述關(guān)于a0，a1，b1，k，c，p，q，r的結(jié)果代入（6）和（2）式，最終可以得到飽和離散非線性薛定諤方程（1）的精確孤子解．

亮孤子解：

暗孤子解：

亮、暗復(fù)合孤子解：

2 結(jié)論

利用擴展的雙曲函數(shù)展開法對飽和非線性波導(dǎo)陣列模型離散非線性薛定諤方程進行了研究，獲得了6組新的精確解析局域解．這些局域解包括亮孤子解、暗孤子解以及亮、暗復(fù)合孤子解．對于飽和離散非線性薛定諤方程系統(tǒng)，存在另一方程形式如文獻［12］中描述的

由于該模型與方程（1）是非獨立的，可以建立以下映射關(guān)系

因而利用本文所得結(jié)果很容易獲得這一模型相應(yīng)的離散孤子解．這對于進一步研究飽和非線性波導(dǎo)陣列，研究離散孤子性質(zhì)及相互作用，具有十分重要的意義，相應(yīng)研究將另文進一步展開．擴展的雙曲函數(shù)展開法可以有效求解離散差分系統(tǒng)，值得在其他非線性離散模型中推廣應(yīng)用．

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［11］BAI C L，LI Y．A simple but efficient approach for studying on nonlinear differential-difference equations［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2009，39：130～135．

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Discrete Soliton in a Waveguide Array with Saturable Nonlinearity

HUANG Wen-Hua，QIU Wei-gang
（School of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

By applying extended hyperbolic function method，we study the saturable discrete nonlinear Schrodinger equation and obtained a number of new exact localized solutions，including discrete bright soliton solution，dark soliton solution，bright and dark soliton solution，and provide that a special relation is bound on the coefficients of the equation among the solutions obtained．

the saturable discrete nonlinear Schrodinger equation；discrete soliton；hyperbolic function method

O175．29

A

1009-1734（2011）02-0051-04

2011-03-16

浙江省教育廳科研項目（Y200908781）．

黃文華，副教授，博士，從事非線性物理研究．