自旋1／2粒子的Anandan量子相位

王 龍，李 康

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

自旋1／2粒子的Anandan量子相位

王 龍，李 康

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

通過求解狄拉克方程，得出了一個(gè)自旋為1／2且具有永久磁偶極矩和電偶極矩的中性粒子在通過電磁場時(shí)波函數(shù)在非對(duì)易空間和非對(duì)易相空間的相位變化，并討論了與之相關(guān)的AC效應(yīng)和HMW效應(yīng).

自旋1／2粒子；非對(duì)易空間；非對(duì)易相空間；Bopp's變換；Anandan相位

近年來，越來越多的人開始關(guān)注非對(duì)易空間上的物理效應(yīng).這是因?yàn)椴粌H在具有背景場的D膜理論低能效應(yīng)中，而且在弦的尺度下，非對(duì)易空間效應(yīng)問題的研究都具有重大意義.它可能給人們帶來時(shí)間和空間觀念的量子革命.通常研究非對(duì)易空間問題的理論主要是非對(duì)易量子場論.

對(duì)于自旋為1／2的粒子在非對(duì)易空間和非對(duì)易相空間的AC效應(yīng)和HMW效應(yīng)，此前已有很多物理學(xué)家做了研究［1－11］，但對(duì)于自旋為1／2粒子的Anandan效應(yīng)，現(xiàn)在的研究很少涉及到，該文在這方面做了一些有用的探究.在非對(duì)易空間和非對(duì)易相空間中，筆者將重點(diǎn)利用Bopp變換求解自旋為1／2粒子的包含Anandan效應(yīng)的狄拉克方程，得到一個(gè)Anandan相位，并由此出發(fā)得到HMW相位和AC相位.

1 對(duì)易時(shí)空Anandan效應(yīng)的描述

在對(duì)易時(shí)空中，坐標(biāo)和動(dòng)量滿足下列關(guān)系：

在2＋1維對(duì)易時(shí)空中，一個(gè)具有固有電矩和固有磁矩且自旋為1／2的中性粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的拉氏量具有如下形式：

式中后兩項(xiàng)分別是粒子的磁矩和電矩與電磁場的相互作用項(xiàng).又因?yàn)棣姚苔挺?＝（i／2）∈μναβσαβ，所以拉式量變?yōu)橄铝行问剑?/p>

筆者在此用了3個(gè)4×4矩陣來描述自旋向上及向下投影在z方向分量.在2＋1維空間，這些矩陣滿足下列關(guān)系式：

代入式（3）可得

由歐拉—拉格朗日方程可以推出粒子的運(yùn)動(dòng)方程為

上式可以化簡為

把式（9）的解寫成如下形式：

其中ψ0是無電磁場外作用時(shí)的解.

則相位φ具有如下形式：

如果考慮一種特殊情形，即粒子在平面運(yùn)動(dòng)且處在一根均勻的、無限長的細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電磁場中，則

當(dāng)中性粒子的電矩μe＝0時(shí)，可得到AC效應(yīng)的幾何相：

當(dāng)中性粒子的磁矩為μm＝0時(shí)，可得到HMW效應(yīng)的幾何相：

2 非對(duì)易空間的Anandan效應(yīng)

非對(duì)易空間下，坐標(biāo)和動(dòng)量算符滿足下列對(duì)易關(guān)系：

式中：Θij是一個(gè)反對(duì)稱矩陣元素，它的值很小且與能標(biāo)有關(guān)，代表了空間的非對(duì)性；x＾i，p＾j是非對(duì)易空間的坐標(biāo)和動(dòng)量算符.對(duì)易空間的量子力學(xué)方程只需將普通乘積改為星號(hào)（＊）乘積就可轉(zhuǎn)變?yōu)榉菍?duì)易空間的量子力學(xué)方程［9］，所以在非對(duì)空間中，自旋為1／2的且具有固有電矩和磁矩的中性粒子，其狄拉克運(yùn)動(dòng)方程可以寫為

兩個(gè)任意函數(shù)之間的星乘定義如下：

這里的f（x）和g（x）是兩個(gè)獨(dú)立的函數(shù).

已有的研究大多是通過直接求解含有星乘運(yùn)算的運(yùn)動(dòng)方程完成的.星乘運(yùn)算可以用Bopp's變換轉(zhuǎn)換成普通乘法.此時(shí)，相應(yīng)的坐標(biāo)和動(dòng)量要做如下變換：

Bopp變換后中性粒子在非對(duì)易空間的運(yùn)動(dòng)方程為

上述狄拉克方程有如下形式的解：

這里ψ0是電磁場無外作用時(shí)的解.非對(duì)易空間相φ＾具有如下形式：

這是自旋為1／2的中性粒子在一般電磁場中的Anandan量子相位.

當(dāng)中性粒子的電矩μe＝0時(shí)，可以得到在非對(duì)易空間AC效應(yīng)的幾何相：

當(dāng)中性粒子的磁矩μm＝0時(shí)，可以得到非對(duì)易空間HMW效應(yīng)的幾何相：

在電磁場存在情況下，粒子在對(duì)易空間的哈密頓量具有如下形式：

上式的φ為前文討論過的對(duì)易空間的相位，而δφNCS是與非對(duì)易空間的相位相聯(lián)系的.

在磁場中，自旋為12的粒子的動(dòng)量可以寫作

式中kj＝mvj.此結(jié)果和已有文獻(xiàn)［10］星乘法計(jì)算結(jié)果一致.第一項(xiàng)依賴于速度項(xiàng)的修正，能夠修正相位的變換；第二項(xiàng)是對(duì)渦流的校正，對(duì)線性光譜沒有貢獻(xiàn).

3 非對(duì)易相空間的Anandan效應(yīng)

在非對(duì)易相空間，坐標(biāo)和動(dòng)量算符滿足下列對(duì)易關(guān)系：

類似非對(duì)易空間的變換方法，非對(duì)易相空間的狄拉克方程變成

這里ψ0是無電磁場外作用時(shí)且質(zhì)量為m′時(shí)的解.φ對(duì)應(yīng)于粒子在非對(duì)易空間的相位，它有如下形式：

當(dāng)中性粒子的電矩μe＝0時(shí)，可得到AC效應(yīng)的幾何相：

當(dāng)中性粒子的磁矩μm＝0時(shí)，可得到HMW效應(yīng)的幾何相：

在非對(duì)易相空間，粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)，Anandan量子相位可以寫作

這里φ對(duì)應(yīng)于對(duì)易空間的相位，δφNCS對(duì)應(yīng)于非對(duì)易空間對(duì)相位的貢獻(xiàn)，δφNCPS為非對(duì)易相空間對(duì)相位的貢獻(xiàn).

4 結(jié) 論

該文研究了非對(duì)易空間和非對(duì)易相空間的Anandan效應(yīng).相對(duì)于傳統(tǒng)的直接求解含有星乘運(yùn)算的運(yùn)動(dòng)方程的方法，文中采用的是用Bopp's變換把非對(duì)易空間和非對(duì)易相空間的含有星乘運(yùn)算的運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)易空間的含有普通乘法的運(yùn)動(dòng)方程，然后再求出相應(yīng)的Anandan的量子相位，并且從Anandan的量子相位又推導(dǎo)出了AC效應(yīng)和HMW效應(yīng)的相位.這種求解方法使原本復(fù)雜的求解過程變得簡單明了，它對(duì)于解決其它粒子相位問題也具有一定的啟示性作用.

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Anandan Quantum Phase of Spin-1／2Particles

WANG Long，LI Kang

（College of Sciences，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

By solving the Dirac function，the paper obtained the phase changes of the wave function in non-commutative space and non-commutative phase space when a neutral spin-1／2particle with nonzero magnetic and electric dipoles moved in an external electromagnetic field，and discussed the related Aharonov-Casher effect and the He-McKellar-Wilkens effect.

spin-1／2particle；non-commutative space；non-commutative phase space；Bopp's shift；Anandan p hase

O413.3 MSC2010：81Q99；14M99；53Z05

A

1674-232X（2011）03-0262-05

10.3969／j.issn.1674-232X.2011.03.015

2010-11-16

王 龍（1977—），男，山西臨汾人，理論物理專業(yè)碩士研究生，主要從事量子場論與量子力學(xué)及其前沿相關(guān)問題研究.E-mail：386349745＠qq.com