有限弱Y-穩(wěn)定變換半群的最大冪等分離同余

馮正浩，楊秀良

（杭州師范大學理學院，浙江杭州 310036）

有限弱Y-穩(wěn)定變換半群的最大冪等分離同余

馮正浩，楊秀良＊

（杭州師范大學理學院，浙江杭州 310036）

文章利用有限半群最大冪等分離同余的一般結(jié)論，首先研究有限弱Y-穩(wěn)定變換半群W（Y）＝｛α∈T（X）∶Yα?Y｝上任意元的弱逆元，進而刻劃出W（Y）上最大冪等分離同余的具體形式.

最大冪等分離同余；弱逆元；正則元

0 引 言

設(shè)T（X）為非空集合X上的全變換半群，對于X的任意非空子集Y，令

則W（Y）顯然是T（X）的一個子半群，并稱W（Y）為弱Y-穩(wěn)定變換半群.特別地，當X為有限集時，W（Y）稱為有限弱Y-穩(wěn)定變換半群.1966年，Magill［1］首先對W（Y）進行了研究.隨后Higgins和Umar刻劃出了W（Y）上的Green關(guān)系和Green＊關(guān)系，證得W（Y）為富足半群，并且還刻劃出了當X為有限集時W（Y）的核.最近，Nenthein等人［2］刻劃出了W（Y）上的正則元以及等價條件，并計算出了當X為有限集時正則元的個數(shù).此外，Nenthein和Kemprasit［3］還得到了W（Y）為BL-半群的必要條件.

令S為一個有限半群且a∈S.若S中的元x滿足x＝xax，那么稱x是a的一個弱逆元.記a的所有弱逆元組成的集合為WI（a）.在［4］中已經(jīng)成功刻劃出了S上的最大冪等分離同余，并且此種刻劃是從弱逆元的角度出發(fā)的.

該文將根據(jù)此結(jié)論具體刻劃出有限弱Y-穩(wěn)定變換半群W（Y）的最大冪等分離同余.首先刻劃W（Y）中任意元α的弱逆元，然后根據(jù)所得到的弱逆元具體形式刻劃出W（Y）的最大冪等分離同余.值得注意的是W（Y）有兩種特殊情況：1）當｜Y｜＝｜X｜時，有W（Y）＝T（X）；2）當1＝｜Y｜＜｜X｜時，有W（Y）?PT（X＼Y），其中PT（X＼Y）是X＼Y上的部分變換半群.T（X）和PT（X）上的所有同余均已被構(gòu)造［5］.因此下文假設(shè)W（Y）滿足｜X｜＝n，｜Y｜＝k且1＜k＜n.

1 弱逆元

定理1 令α∈W（Y），則以下條件等價：

命題1 對于任意α∈W（Y），若α′為α的一個極大弱逆元，則

2 最大冪等分離同余

首先，由［4，定理2.6］可得：

引理1 在W（Y）上定義關(guān)系τ如下：

則τ是WY的最大冪等分離同余.

以下利用引理1的結(jié)論和上文得到的W（Y）中任意元α的弱逆元來嘗試刻劃W（Y）上最大冪等分離同余的具體形式.

引理2 若α，β∈W（Y）且ατβ，則

其中y是Y中的任意元.

定義1 在W（Y）上定義關(guān)系θ如下：

其中idW（Y）是W（Y）上的恒等關(guān)系.

定理2θ是W（Y）的最大冪等分離同余.

證明 先證τ?θ.

任?。é?，β）∈τ，由引理2可知Yα＝Y(jié)β，imα＼Y＝imβ＼Y.記｜Yα｜＝｜Yβ｜＝p，｜imα＼Y｜＝｜imβ＼Y｜＝q.下面對pq進行討論：

情況1p＝1，q＝0.

此時顯然有（α，β）∈θ1?θ.

情況2p＝1，q＞0.

運用情況2和情況3中的證明技巧，可得β＝α，于是有（α，β）∈idW（Y）?θ.

再證θ?τ.

任?。é力隆师?只需考慮（αβ∈θ1和（αβ∈θ2兩種情況.

當（α，β）∈θ1時，有WI（α）＝WI（β）＝I1（I1為W（Y）中所有常值變換組成的集合）.則對于任意α′∈WI（α），只要取β′＝α′，顯然有β′∈WI（β）且β′β＝α′α，ββ′＝αα′.而對于任意β′∈WI（β），只要取α′＝β′，顯然有α′∈WI（α）且α′α＝β′β，αα′＝ββ′.故（α，β）∈τ.

［1］Magill K D.Subsemigroups ofS（X）［J］.Math Japon，1966，11：109-115.

［2］Nenthein S，Youngkhong P，Kemprasit Y.Regular elements of some transformation semigroups［J］.PU M A，2005，16（3）：307-314.

［3］Nenthein S，Kemprasit Y.On transformation semigroups which are BL-semigroups［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，2006（1）：1-10.

［4］Luo Yanfeng，Li Xiaoling.The maximum idempotent-separating congruence on eventually regular semigroups［J］.Semigroup Forum，2007，74：306-318.

［5］Ganyushkin O，Mazorchuk V.Classical finite transformation semigroups：an induction［M］.New York：Springer-Verlag，2009：100-107.

The Maximum Idempotent-Separating Congruence in Finite Transformation Semigroups of WeakY-Stabilizer

FENG Zheng-hao，YANG Xiu-liang

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

Using the results of the maximum idempotent-separating congruence on finite semigroups，this paper investigated the weak inverse in finite transformation semigroups of weakY-stabilizer，which wasW（Y）＝｛α∈T（X）∶Yα?Y｝，and described the concrete forms of maximum idempotent-separating congruence inW（Y）.

maximum idempotent-separating congruence；weak inverse；regular element

O152.7 MSC2010：20M10

A

1674-232X（2011）03-0208-05

10.3969／j.issn.1674-232X.2011.03.004

2010-10-20

馮正浩（1985—），男，浙江湖州人，基礎(chǔ)數(shù)學專業(yè)碩士研究生，主要從事半群代數(shù)理論研究.

＊通信作者：楊秀良（1963—），男，貴州黎平人，教授，主要從事半群代數(shù)理論研究.E-mail：yxl＠hznu.edu.cn