一道解析幾何定點(diǎn)問題的解法探究與推廣

金保源

(華南師范大學(xué)附屬惠陽(yáng)學(xué)校,廣東 惠州 516200)

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考中的?？碱}型,難度較大,考查知識(shí)間的聯(lián)系與綜合,并且此類題一般計(jì)算量都較大,費(fèi)時(shí)費(fèi)力難以攻破,令很多學(xué)生望而生畏.本文以2023屆惠州市第一次調(diào)研考試第21題為例,從數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度給出該題的幾種典型解法,并進(jìn)行了一般性推廣,以期對(duì)圓錐曲線教學(xué)備考有所啟發(fā).

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖1, 橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B, 點(diǎn)M,N是橢圓上異于A,B的不同兩點(diǎn), 直線BN的斜率為k(k≠0), 直線AM的斜率為3k,求證:直線MN過定點(diǎn).

圖1 2023年惠州市第一次調(diào)研考試題圖

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

所以a2=4,b2=3.

2.2 第(2)問解析

解法1 (設(shè)線解點(diǎn))由于BN的斜率為k, 設(shè)直線BN的方程為y=k(x-2),

整理,得

(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

同理可得:由于AM的斜率為3k, 則直線AM的方程為y=3k(x+2)[1].

(36k2+3)x2+144k2x+144k2-12=0.

即 (12k2+1)x2+48k2x+48k2-4=0.

所以直線MN為

即直線MN過定點(diǎn)P(-1,0)[2].

綜上可得, 直線MN過定點(diǎn)P(-1,0).

點(diǎn)評(píng)本解法為參考答案提供的方法,設(shè)直線方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,求解點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到直線MN的方程,即可求得直線MN過定點(diǎn).該方法思路較為簡(jiǎn)單自然,屬于高中圓錐曲線問題的常規(guī)解法,但選擇這一方法的學(xué)生并不多,一是計(jì)算非常麻煩,二是學(xué)生更習(xí)慣于聯(lián)立后使用韋達(dá)定理.

(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0.

即2my1y2-(n-2)y1+(3n+6)y2=0.

解得n=-1.

所以直線MN過定點(diǎn)(-1,0).

解法3 (齊次化平移)由橢圓第三定義可得

3x′2+12x′+4y′2=0.

直線M′N′的方程為x′=my′+n,

3x′2+4y′2+12x′·(mx′+ny′)=0,

(3+12m)x′2+4y′2+12nx′y′=0,

兩邊同除x′2,得

由此直線M′N′過定點(diǎn)(-3,0).

又x=x′+2=-3+2=-1,y=y′=0,

故直線MN過定點(diǎn)P(-1,0).

解得n=-1.

所以直線MN過定點(diǎn)(-1,0).

解法5 (極點(diǎn)極線)設(shè)直線AM,BN交于點(diǎn)P(x0,y0),

即直線AM,BN的交點(diǎn)P在定直線x=-4上.

所以直線MN過定點(diǎn)(-1,0).

評(píng)注曲線系和極點(diǎn)與極線屬于高等幾何范圍,在解題中不能直接使用.對(duì)本題而言,使用這兩種方法解答的過程快速簡(jiǎn)潔,體現(xiàn)了高觀點(diǎn)低運(yùn)算的特點(diǎn),老師可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際,給優(yōu)秀的學(xué)生進(jìn)行拓展,幫助他們快速得出結(jié)論,從而明確解答的方向[5].

3 結(jié)論推廣

證明設(shè)直線AM,BN,MN,AB的方程分別為lAM:y=tk(x+a),lBN:y=k(x-a),lMN:x=my+n,lAB:y=0,

則過A,B,C,D四點(diǎn)的曲線系方程為

化簡(jiǎn),得

比較式子系數(shù),得

上述問題中,若點(diǎn)A,B不是橢圓的左右頂點(diǎn),還有類似結(jié)論嗎? 筆者發(fā)現(xiàn),只要點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線依然過定點(diǎn).

結(jié)論2證明方式和結(jié)論1類似,這里不再贅述.本文已證明若兩直線的斜率比值為定值,可引出直線過定點(diǎn).若已知直線過定點(diǎn),能引出直線斜率比值為定值的結(jié)論嗎?將橢圓改成雙曲線是否依然有類似的結(jié)論?限于篇幅,本文不再展開,有興趣的讀者可以進(jìn)一步探究.

4 備考啟示

4.1 注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力對(duì)解析幾何的學(xué)習(xí)具有舉足輕重的作用.現(xiàn)實(shí)是學(xué)生運(yùn)算能力普遍不高,我們?cè)趯?shí)際教學(xué)過程中需要循序漸進(jìn),適當(dāng)降低運(yùn)算難度.但必要的運(yùn)算是不可避免的,這是由解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)決定的.在教學(xué)過程中,教師要做好運(yùn)算示范,帶學(xué)生經(jīng)歷完整運(yùn)算過程,進(jìn)行算理分析和運(yùn)算訓(xùn)練,逐步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

4.2 注重一題多解

在教學(xué)過程中,我們不能就題講題,要引導(dǎo)學(xué)生從不同的方向去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題,進(jìn)一步解決問題,通過一題多解體會(huì)不同方法的區(qū)別與作用,加深對(duì)知識(shí)的理解.我們通過解法1進(jìn)行通性通法的分析,然后逐步對(duì)優(yōu)化計(jì)算進(jìn)行了一些有益的探索,體現(xiàn)了高觀點(diǎn)低運(yùn)算的特點(diǎn),有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4.3 注重對(duì)問題的推廣

對(duì)典型試題的研究不能停留在解法的多樣性上,還需要進(jìn)行深入挖掘題目背后隱含的性質(zhì),往往可以得到一些優(yōu)美的結(jié)論.在教學(xué)中,教師只有從更高的角度看待問題, 更深的角度揭露本質(zhì),才能真正讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到樂趣, 開拓學(xué)生眼界,開闊學(xué)生思維,培育學(xué)生優(yōu)秀的個(gè)性,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).