非自治退化拋物方程柯西問題熵解的存在性＊

郝興文

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

非自治退化拋物方程柯西問題熵解的存在性＊

郝興文

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

非自治的二階退化拋物型方程是物理、金融中常見的數(shù)學(xué)模型。本文將利用粘性消去法，證明這類方程的柯西問題熵解的存在性。

退化拋物方程；熵解；柯西問題

1 問題與主要結(jié)果

考慮如下非自治退化拋物方程的柯西問題：

式中，u為未知函數(shù)；T為R＋上任意時(shí)刻。f（u，t）＝（f1（u，t），f2（u，t），…，fn（u，t））是流函數(shù)，A（u，t）是對(duì)稱、非負(fù)定矩陣，其元素可以寫成aij＝∑kk＝1σikσkj。在本文中，假定fi，aij，g具備所需的光滑性，且g（0）＝0。這個(gè)模型可以用來描述許多現(xiàn)象，如多孔介質(zhì)中的熱傳輸［1］、沉降－凝固過程［2］、金融決策［3］等。方程（1）是下列一般形式的退化拋物－雙曲方程的一個(gè)特殊形式，

由于這個(gè)方程的解有間斷，大家在不同的解空間尋找弱解，例如文獻(xiàn)［8］中給出了方程（2）的BV解的存在性，文獻(xiàn)［4］中得到了在方程（2）中不顯含x，t形式的方程動(dòng)力學(xué)解的存在唯一性，其它形式的解可以見文獻(xiàn)［5－7，9－10］。本文將利用粘性消去法，證明方程（1）的L1熵解的存在性。在給出主要結(jié)果之前，首先給出一些必要地符號(hào)和方程（1）的熵解的定義。

對(duì)任意的凸函數(shù)S，記

定義1 一個(gè)可測(cè)函數(shù)u∈L∞（［0，T）×Rn）∩L∞（［0，T），L1（Rn））是方程（1）的熵解，如果u滿足：

（2）對(duì)任意的κ＝1，2，…，K以及φ∈C（R），下面的鏈?zhǔn)椒▌t成立

（3）對(duì)任意的φ∈C（R），φ≥0，下列關(guān)系式成立

（4）對(duì)任意的凸函數(shù)S（u），熵不等式在D′（［0，T）×Rn）中成立

并且滿足S（u）｜t＝0＝S（u0）。

定理1 如果初值u0（x）∈W2，1（Rn）∩H1（Rn）∩L∞（Rn），則方程（1）存在熵解u∈L∞（［0，T）×Rn）∩L∞（［0，T），L1（Rn））。

注：借助于熵解的收縮性，可以證明初值u0∈L1（Rn）∩L∞（Rn）時(shí)，熵解的存在性以及唯一性。

2 定理的證明

在證明定理之前，首先給出粘性方程光滑解的先驗(yàn)估計(jì)。考慮如下方程

其中，I是單位矩陣。其柯西問題的解具有下列估計(jì)。

引理 設(shè)uε是方程（3）的柯西問題的C2光滑解，那么存在常數(shù)M1，M2，使得下列不等式成立

證明 （1）式可以由Volpert—Hudjaev定理直接得到。下面證明（2）式成立。

在方程（3）兩邊同乘以wλ（x）sgn u，然后在［0，T）×Rn上積分，得到

這里，σij是Christoffel記號(hào)。經(jīng)過計(jì)算，可以得到

利用Gronwall不等式，得

在上式中令λ→0，利用法圖引理和勒貝格控制收斂定理，得

證畢。（2）和（3）的證明與（1）類似，我們略去其過程。

由緊嵌入定理可知，存在uε的子列（仍記為uε）及函數(shù)u，使得

下面證明u是（1）的熵解。由于初值u0∈L1（Rn）∩L2（Rn）∩L∞（Rn），可知

事實(shí)上，對(duì)于任意凸函數(shù)S（u），在D′（［0，T）×Rn）中，uε滿足下式

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（責(zé)任編輯：肖恩忠）

Existence of the Entropy Solutions to Cauchy Problem for Autonomous Degenerate Parabolic Equation

HAO Xing－wen
（Weifang University，Weifang 261061，China）

Second order degenerate parabolic equation models many phenomenons arising in physics and financial decision etc.In this paper，existence of entropy solution to cauchy problem is obtained by the a prior estimates of the smooth solutions to the viscous equation.

degenerate parabolic equation，entropy solutions，cauchy problem

2010－08－10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10571120）；濰坊學(xué)院博士基金項(xiàng)目（2011BS11）

郝興文（1973－），男，山東濰坊人，濰坊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，博士。研究方向：非線性偏微分方程。

O175.27 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671－4288（2011）06－0020－03