含有軸向裂紋的圓柱薄殼的模態(tài)分析

王曉波，李鳳琴

（1.新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 新鄉(xiāng)453000；2.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475003）

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)和科技的發(fā)展，圓柱薄殼越來越成為常用的工程結(jié)構(gòu)。 它不僅應(yīng)用于火箭、潛艇、壓力容器等，也應(yīng)用于一些大型建筑物。 但是，由于材料或生產(chǎn)等各種原因，圓柱薄殼常含有各類裂紋。 裂紋改變了圓柱薄殼的力學(xué)性能，對(duì)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、抗振能力等方面都有重要影響。

對(duì)含裂紋的圓板或圓柱殼的研究，大部分是用理論或試驗(yàn)的方法，李天均、劉理等利用振動(dòng)功率流方法對(duì)有周向表面裂紋的圓板進(jìn)行了研究，分析了在集中應(yīng)力作用下，裂紋位置與振動(dòng)功率流的關(guān)系[1]。 石煥文、尚志遠(yuǎn)等用分區(qū)技術(shù)的瑞利-里茲方法，求解了含不同徑向裂紋的周邊界固定的圓板振動(dòng)時(shí)的頻率,并將理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較[2]。 許德剛、許俊萍等研究了裂紋對(duì)圓柱薄殼的固有頻率和主振型的影響，并拍攝了全息振型圖[3]。 由于模態(tài)分析是其他動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)，因此對(duì)含有裂紋的圓柱薄殼進(jìn)行模態(tài)分析具有重要意義。 使用有限元軟件ANSYS 對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，不僅計(jì)算快，而且可以得到清晰的振型圖。 王曉波、蘇會(huì)朋使用ANSYS 對(duì)碟簧的模態(tài)進(jìn)行了計(jì)算，得到了固有頻率和主振型圖[4]。 本文試?yán)肁NSYS 對(duì)含有軸向裂紋的圓柱薄殼進(jìn)行模態(tài)分析，以期了解不同長度的裂紋對(duì)圓柱薄殼的固有頻率和振動(dòng)特性的影響。

1 建立圓柱薄殼體有限元模型

采用圓柱薄殼的長度為300mm，外徑為150 mm，壁厚為1 mm。 建立軸向穿透裂紋，裂紋尖端呈圓角形，寬度為1 mm。其有限元模型采用Shell Elastic 4node 63 單元（如圖1 所示）。 有限元定義的材料參數(shù)為：彈性模量E=201 GPa、泊松比μ=0.3、材料密度ρ=7 800 kg/m3。 其中，由于裂紋處的振型往往非常復(fù)雜， 所以對(duì)裂紋附近區(qū)域的單元進(jìn)行單獨(dú)劃分，而且尺寸也小得多。裂紋附近的網(wǎng)格尺寸為0.0002 m，在遠(yuǎn)離裂紋處的網(wǎng)格尺寸為0.002 m。計(jì)算時(shí)的約束條件為兩端固定，用子空間迭代法求解。

圖1 圓柱薄殼體網(wǎng)格圖Fig. 1 Cylindrical thin shell gridding

2 圓柱薄殼體振動(dòng)計(jì)算分析

在正常情況下，當(dāng)圓柱殼體自由振動(dòng)時(shí)，一個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)著兩個(gè)振型。 這兩個(gè)振型的軸向半波數(shù)（m）與環(huán)向波數(shù)（n）相同，但相位成正交（如圖2所示）。 當(dāng)有裂紋時(shí)，圓柱薄殼有兩種振動(dòng)：裂紋周圍的局部振動(dòng)和殼體的原振動(dòng)。

2.1 裂紋長度對(duì)局部振動(dòng)特性的影響

圖2 無裂紋的圓柱薄殼的振型Fig. 2 No-crack cylindrical thin shell vibration model

為了清楚了解裂紋長度對(duì)局部振動(dòng)特性（固有頻率和振型）的影響，分別對(duì)無裂紋以及不同長度裂紋的圓柱薄殼進(jìn)行計(jì)算。 經(jīng)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)當(dāng)裂紋較短時(shí)， 局部振動(dòng)的固有頻率與沒有裂紋時(shí)的差不多，但當(dāng)裂紋達(dá)到一定長度時(shí)，固有頻率隨著裂紋的增長而減小，振幅隨著裂紋的增長越來越大，具體如圖3 和圖4 所示。

圖3 局部振動(dòng)的固有頻率隨裂紋長度變化Fig. 3 Natural frequency changes of partial vibration of different crack lengths

圖4 局部振動(dòng)的振幅隨裂紋長度變化Fig. 4 Pure partial vibration amplitude changes of different crack lengths

對(duì)比在相同的軸向半波條件下不同裂紋出現(xiàn)局部振動(dòng)的固有頻率，當(dāng)軸向半波m=3，裂紋長度分別為50 mm、60 mm、70 mm 時(shí)， 出現(xiàn)局部振動(dòng)的固有頻率f 分別為1 700 Hz、1 500Hz、1 420Hz。從這些數(shù)據(jù)可以看出，局部振動(dòng)的固有頻率是隨著裂紋長度的增加而減小。

2.2 裂紋長度對(duì)殼體原振動(dòng)的影響

由于圓柱薄殼含有的裂紋產(chǎn)生的局部振動(dòng)，改變了殼體的原有振動(dòng)，因此，要把局部振動(dòng)和殼體的整體振動(dòng)聯(lián)系起來考察。 通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)當(dāng)裂紋較短時(shí)，對(duì)應(yīng)一些固有頻率的振型又變得較復(fù)雜，有時(shí)裂紋處的振幅不大，遠(yuǎn)離裂紋的地方振動(dòng)很微弱，裂紋附近的振動(dòng)也很??；有時(shí)裂紋和裂紋附近處都會(huì)明顯振動(dòng)。 隨著裂紋長度的增加，當(dāng)裂紋長度為45 mm、軸向半波m=1、環(huán)向波n=9，固有頻率f=1 635 Hz 時(shí)，在裂紋兩端的振動(dòng)減弱，遠(yuǎn)離裂紋地方的振幅無明顯變化， 而裂紋附近的振幅明顯加大。 這與局部振動(dòng)和殼體原振動(dòng)都不一樣。 這種情況說明，當(dāng)局部振動(dòng)的固有頻率和殼體原振動(dòng)的頻率相近時(shí)， 在裂紋附近引起了局部振動(dòng)的疊加，出現(xiàn)了第三種振動(dòng)。

在相同的軸向半波數(shù)和環(huán)向波數(shù)情況下，隨著裂紋長度的增加，3 種振動(dòng)同時(shí)出現(xiàn)的固有頻率在減小，而且，裂紋長度從50 mm 增加到70 mm，頻率下降得很快，然后隨裂紋長度的增加，頻率減小的幅度趨向減緩（如圖5 所示）。 這說明，局部振動(dòng)的固有頻率、殼體的原頻率和第三種振動(dòng)的頻率都是隨著裂紋長度的增加而減小的。

圖5 m/n=1/9 同時(shí)出現(xiàn)三種振動(dòng)的固有頻率隨裂紋長度的變化Fig. 5 Natural frequency changes of three vibration of m/n=1/9 of different crack lengths

3 結(jié)語

（1）通過對(duì)含不同長度裂紋的圓柱薄殼進(jìn)行模態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)短裂紋對(duì)振動(dòng)的影響要小。 當(dāng)裂紋達(dá)到一定長度時(shí)，對(duì)振動(dòng)的影響就會(huì)非常復(fù)雜，出現(xiàn)局部振動(dòng)。 局部振動(dòng)不僅有自己的振動(dòng)特征，而且隨著裂紋長度的增長，對(duì)殼體原振動(dòng)的影響也會(huì)更顯著。 特別是，局部的固有頻率接近殼體的原頻率時(shí)，又會(huì)出現(xiàn)第三種振動(dòng)。 殼體原振動(dòng)和局部振動(dòng)的固有頻率都有隨裂紋長度增加而減小的趨勢(shì)。 這是因?yàn)殡S裂紋的變長，殼體的剛度隨之下降。

（2）利用有限元軟件對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，不但計(jì)算速度快、結(jié)果準(zhǔn)確，而且可以靈活地對(duì)各種情況進(jìn)行計(jì)算，降低成本。 該軟件不僅可以應(yīng)用于力學(xué)分析，還可以廣泛應(yīng)用于各種工程實(shí)際中。

[1] 李天均，劉理，劉士光. 圓板結(jié)構(gòu)周向表面裂紋識(shí)別的振動(dòng)功率流方法[J]. 海洋工程，2000，18(2): 68-73.

[2] 石煥文,尚志遠(yuǎn)，楊富社. 徑向裂紋對(duì)周界固定薄圓板振動(dòng)頻率的影響[J]. 長安大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，23(6): 62-65.

[3] 許德剛，許俊萍，沈亞鵬. 含裂紋圓柱薄殼的動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)研究[J]. 力學(xué)與實(shí)踐，2002，24(5): 43-47.

[4] 王曉波，蘇會(huì)朋. 碟簧模態(tài)的ANSYS 分析[J]. 科協(xié)論壇，2001(8):101-102.